2.3 平面的投影在线视频

下面我们来研究平面的投影

首先研究平面的表示方法

从几何学我们知道 表示平面的方法有多种

这里给出几种常见的表示平面的方法

用几何元素来表示

我们可以用三个点来表示一个平面

也可以用一条直线和一个点来表示平面

可以以用两条平行线来表示平面

也可以用两条相交直线来表示平面

我们还可以利用任何一个平面图形来表示平面

下面我们分析一下平面的投影特性

同样我们先分析平面对一个投影面的投影特性

请看图 在第一个图上 平面ABC平行于投影面

在第二个图上 平面ABC垂直于投影面

在第三个图上 平面ABC与投影面倾斜

那么他们的投影特性呢

当平面平行于投影面的时候

它的投影反映实形 如第一个图所示

这时候我们说平面的投影具有实形性

当平面垂直于投影面的时候

如第二个图所示

平面的投影积聚成一条直线

我们说平面的投影具有积聚性

当平面与投影面呈倾斜位置的时候

如第三个图所示

平面的投影与空间形状具有类似性

下面我们分析一下

平面在三投影面体系中的投影特性

也要把平面进行分类

第一类是投影面平行面

平行于一个投影的平面

就叫投影面平行面

当一个平面平行于某一个投影面的时候

它必然与另外两个投影面 是垂直的

平行于正面的平面 我们叫做正平面

平行于水平面的平面 我们叫水平面

平行于侧面的平面 我们叫侧平面

第二类平面是投影面垂直面

垂直于一个投影面

同时与另外两个投影面是倾斜位置的平面

我们叫做投影面垂直面

在这里强调一下

投影面垂直面一定是只垂直于一个投影面

同时和另外两个投影面是倾斜位置

才叫投影面垂直面

如果同时垂直于两个投影面 会是什么情况呢

请大家想想 如果同时垂直于两个投影面

那么它一定是平行于某一个投影面

它就叫投影面平行面了

好 我们还回到投影面垂直面上来

垂直于V面的平面 我们叫正垂面

垂直于H面的平面 我们叫铅垂面

垂直于W面的平面 我们叫侧垂面

第三类平面是投影面倾斜面

与三个投影面都呈倾斜位置的平面

我们叫做投影面倾斜面 也叫一般位置平面

投影面平行面和投影面垂直面

都是特殊位置的平面

他们的投影特性具有特殊性

利用它们的投影特性

可以很方便的解决空间的问题

我们先来研究投影面平行面

我们首先进行空间分析

由于投影面平行面是平行于一个投影面

与另外两个投影面都垂直

那么大家想一想

它的投影特性具有什么样的特点

我们来分析一下 请看这个图

这个图表示的是一个投影面平行面

它平行于V面

现在我们求解一下它的侧面投影

好 那么从它的水平投影和侧面投影

我们就可以看出 对于投影面平行面

它一个投影要反映实形

另外两个投影具有积聚性

因此我们总结一下投影面平行面的投影特性

在所平行的投影面上的投影反映实形

另外两个投影积聚成直线

并且与相应的投影轴平行

下面我们分析一下投影面垂直面

先做一下空间分析

投影面垂直面的含义

是只垂直于一个投影面

与另外两个投影面都是倾斜的位置

那么它垂直于哪一个投影面

在那个投影面上的投影就有积聚性

在另外两个投影面上就有类似性

我们同样先看一下这个图

这是一个平面的两个投影

我们把第三个投影也就是在H面上的投影做出来

好 通过做出的结果我们发现ABC平面

在H面上的投影积聚成一条直线

因此平面ABC是一个铅垂面

它在H面上的投影积聚

在另外两个面上的投影具有类似性

我们来看一下投影面垂直面的投影特性

在所垂直的投影面上的投影具有积聚性

如水平投影 另外两个投影具有类似性

如正面投影和侧面投影

好 那我们再看一下一般位置平面它的投影特性

首先进行空间分析

一般位置平面对三个投影面都呈倾斜位置

所以三个投影都不反映实形 也没有积聚性

我们来看这个图

已知ABC平面的两个投影

我们把第三个投影做出来

好 我们得到了第三个投影

从这三个投影上我们就可以判断

平面ABC是一般位置平面

因为它的三个投影都具有类似性

因此 一般位置平面的投影特性

是三个投影都具有类似性

研究完了平面的投影

我们同样也可以想到

直线 点和平面有什么关系

下面我们就研究平面上的直线和点

首先研究一个问题

怎样在平面上确定出一条直线

也就是面上取线的问题

在这里 首先给出一个定理

如果一条直线经过平面上的两个点

那么这条直线就在平面内

第二个定理

如果一条直线过平面上的一个点

同时平行于平面内的一条直线

那么该直线也在平面内

好 下面我们做一个小例题

把这些定理进行应用

请看图 已知平面由AB CD两条相交直线所确定

试在平面上做出任意一条直线

根据刚才的定理

只要平面上确定两个点

那么把两个点连接起来得到的直线

就一定在平面上

B点和C点是平面上的两个点

因此我们把B点和C点连接起来

BC这条直线一定也在平面上

当然如果应用第二个定理

也可以用另外一种方法

我们确定B点是在平面上

过B点做平面内AC这条直线的平行线BD

正面投影和水平投影分别作出平行线

这样得到的BD这条直线也一定在平面内

利用这两个定理

我们可以很方便的在平面上确定出来直线

下一个问题我们研究平面上取点的方法

我们是没有办法直接在平面的投影上

直接确定出一个点

利用前面所学的方法

我们首先在平面内做出一条直线

然后在这条直线上再确定出个点

这样就可以得到在平面内的一个点

也就是说面上取点先取线

线上再确定点

下边我们看一个小例题

已知平面ABC的两个投影

同时已知K点在平面ABC上

K点的正面投影k'已知

求出K点的水平投影

利用上边给出的方法

我们先在平面ABC上找出一条包含K点的直线

然后在这条直线上再确定出来K点

下面我们利用正面投影连接a' k'

并延长与b' c'相交

这条直线一定在平面ABC上

同时这条直线也经过K点

因此我们先把这条直线确定下来

这条直线的水平投影

先找出BC上相应的点

然后将水平投影a点和所确定的点连接起来

因此就可以的到包含K点的这条直线

那么K点一定在这条直线上

我们利用投影关系就可以做出K点的水平投影

当然也可以用另外一种方法

来确定平面ABC上的一条线

经过k'点做a' b'的平行线

那么这条平行线一定也在ABC上

把这条平行线的水平投影做出来

那么K点一定在这条直线上

利用投影关系就可以求出K点的水平投影

这道题的两个解决方法

都说明了前边总结出来的结论

面上求点应该先确定出来一条直线

然后在直线上再取点

最后一个问题 是关于平面的迹线问题

用迹线可以表示平面

但是这部分内容在我们这门课程中

不是最基本的要求

但是我在这里给大家介绍一些基本的概念

你以后遇到了用迹线表示的平面

你只要能够认识它 能够使用它就可以了

好 下面我们看一下什么叫迹线

平面与投影面的交线就叫迹线

我们规定平面的正面迹线 水平迹线 侧面迹线

分别用Pv、Ph、Pw表示

大家看这张图 P平面是一个一般位置的平面

P平面与三个投影面V H W 都分别具有交线

这三个交线就是P平面的迹线

与V面的迹线记为Pv

与H面的迹线记为Ph

与W面的迹线记为Pw

那么我们现在就可以利用Pv Ph Pw这三条迹线

来表示平面P

在这个投影图上 这是三条迹线

我们用着三条迹线就表示了一个平面P

大家注意 三条迹线必须标注上

它的名称 PV Ph Pw

下边看Q平面 Q平面是一个铅垂面

它的迹线是什么样呢 Qv Qh Qw

因此我们用这三条迹线就可以表示出来Q平面

以后大家看到迹线表示的平面

你就可以正常使用

这个平面 P平面是一个正平面

它的迹线Ph、Pw

我们就用如图所示的投影图来表示这个平面

好 关于平面的部分我们做一下小结

对平面部分大家重点要掌握

投影面的平行面 垂直面

和一般位置平面的投影特性

同时要掌握在平面上做出一条直线的方法

以及在平面上做出一个点的方法

好 这一章的内容就学习到这