4.4.1 四个基本问题（一）在线视频

我们接下来讨论四个基本问题

那么这四个基本问题呢

实际上是我们运用换面法

解决空间问题的一个基础

那么这四个基本问题呢

可以看成四个不同的工具

那么大家遇到问题呢可以先把它进行归类

归结于到底属于哪类问题

然后呢 再在四个基本问题中呢

选取相应的工具来进行解题

也可以把这四个基本问题呢

归结为四把钥匙

那么我们要开不同的锁

那么我们就需要用不同的钥匙

好 我们首先讨论第一个基本问题

我们是将一般位置直线变换成投影面的平行线

看一个例子

求AB的实长以及对H面的倾角α

那么我们首先分析

在原投影体系当中AB呢是一条一般位置的直线

一般位置直线我们怎么来求它的实长和倾角呢

那么以前我们是用直角三角形法去求解

那么今天呢 我们给大家讲一讲

如何利用换面法来求解这个实长和夹角的问题

首先我们进行空间分析

我们请问大家 什么情况下我们可以直接求取

这个直线的长度以及和投影面的夹角

是不是当AB为投影面的平行线的时候

投影可以直接反映它的实长

我们就知道 我们的换面目标是要

把这个空间一般位置直线换成投影面的平行线

那么我再问一个问题

请问大家 需要几次换面才能将一般位置的直线

换成投影面的平行线

一次呢还是两次

我们刚才已经好几个例子讲了这个问题

那么将一般位置的直线换成投影面的平行线

一次换面就可以了

然后我们就可以直接

量取它的实长和与投影面的夹角

再问一个问题

那么对于这一题而言

它具体要换哪个投影面

具体换哪个投影面 我们一般由两个方面来考虑

第一个就是题目要求 第二个呢就是作图空间

那么大家想一想

我们这个题目呢 看看题目要求

它要求H面的倾角α

大家想一想 那么我们只能换哪个面

是换V面还是H面

大家回忆一下 两投影面体系当中

投影面平行线的投影特性

水平线 它的水平投影会反映实长

并且能够反映出与正面投影的夹角

正平线呢 那么它的正面投影反映实长

并且能够反映与水平面的夹角的大小 对不对

好 那么换个角度考虑

那么我们这一题是要求这个直线与H面的倾角

所以我们这道题目只能换正面

根据这个投影特性我们可以知道

同样我们也可以从题目要求来分析

这道题目要求我们求它与H面的倾角α

所以我们必须要保留H面

你把H面换了他还怎么求和H面的夹角呢

所以说我们这道题目一看就知道

它只能换V面保留H面

所以这道题目 无论是从几何元素投影特性分析

还是从题目要求来看

我们都只能换V面

那么下面我们就是建立这个新投影面体系

我们新建的这个投影面呢

必须要和空间的这个直线AB平行

同时呢要垂直于我们这个H面

我们这里就不再说了

那么我们下面重点来分析它的投影

这个投影作图的重点是要选择它的投影轴

那么这个投影轴的选择就有技巧了

不能随便选取了

作图的关键呢

就是要确定这个P1的新投影轴的X1的位置

请问大家 这一题如何确定这个新投影轴

那么这个时候

大家还是回忆一下这个直线的投影特性

如果一条直线平行于某一个投影面

那么在该投影面内反映实长

对不对 在该投影面内反映实长

在另外一个投影面呢

投影呢 具有什么特性

是不是投影轴的平行线

换句话说 那么我们如何确定这个投影轴呢

也就是看这个图 我们要使得这个空间的AB

在新投影面P1内反映实长

那么它在这个被保留的原投影面H面内呢

必须要平行于这个新投影轴X1

这样我们就可以确定它的这个投影轴

所以我们确定投影轴的时候呢

我们往往是利用

这个几何元素的投影特性来确定的

所以大家呢 在做这个投影变换之前呢

一定要好好复习一下这个几何元素的投影特性

好 这个投影轴就分析完了

下面呢 我们就根据这个投影轴的分析呢

以及投影变换的规律呢进行具体的作图步骤

这是一条空间的一般位置的直线

那么我们要把它变成投影面的平行线

那么这个轴呢具体放哪呢 放这

根据作图空间呢

我们只要保证X1平行于ab就可以了对不对

放的位置是不是不定的

可以放这 也可以放更远一点 对不对

有些同学就会偷懒了

那么 欸 我可不可以直接利用这个ab呢

那么我这里呢 劝大家

千万千万不要让图形重叠

那么虽然你这个X1轴放在任何地方

那么它不影响我这个做题的结果

但是你一旦图形重叠了的话

那么你将来量取距离的时候

就会容易量错

同时呢也使得你这个图形呢变得不清晰

所以说我希望大家尽可能把这个图形给分开

不要重叠

我们选择X1轴的时候

千万不要偷懒利用这个原有的ab投影

作为X1轴

好 第二步 我们要写上符号

这是被保留的原投影 这是新投影面P1

被保留的原投影H 这是新投影P1

好 然后呢 我们利用前面点的投影变换规律

进行作图

点的投影变换规律大家还记得吗

我们简单作一下图

过被保留的这个原投影

那么我们过他的水平投影 小写的b

作这个新投影轴X1的垂线

那么这个新投影b1肯定是在这条直线上

那么具体在哪呢

大家想一想怎么办

我们利用点的投影变换规律

那么这个b1的新投影到新投影轴X1

距离等于被代替的投影b'到原投影轴X的距离

好 那么我们可以量取这一段 等于这一段

这样呢 我们就获得b1

同样的道理我们可以获得它的a1

我们这里就不再重复

好 同样这段距离等于这段距离

大家不要量错

好 那么呢我们连接a1b1

这条线是不是就是我们

空间直线AB在新投影面P1当中的投影

好 因为我们知道

这个直线啊是由两个端点确定的 对不对

我们两个端点分别用点的投影变换规律获得了

那么这个直线也就相应的确定了

这样我们就可以获得它的这个投影了

这时候看看 这个线段a1b1是不是反映了实长

这就是我们要求的实长

夹角在哪 大家想一想 夹角在哪

夹角是不是就这个

这个角就代表了AB和水平面的夹角α

好 大家总结一下

拿到一个题目之后

我们第一个思考的问题

那么就是他需要几次换面

才能达到我们的换面目标

当然 再回忆一下

我们将一般位置直线变换成投影面的平行线

我们需要一次换面

好 这里给大家留一个思考题

那么让你求和正面的投影夹角β

那你该怎么求 你该换哪个面

保留哪个面

大家课后思考一下

这就是我们四个基本问题的第一个问题

那么我们看 四个基本问题的第二个问题

将一般位置直线变换成投影面的垂直线

那么我们刚才讲 平行

现在我们把它变换成垂直

我们大家需要几次换面

大家想一想

一次换面可不可以

我们空间分析一下

那么一次换面肯定是不行的

那么将一般位置直线通过一次换面

是不能转换成投影面的垂直线的

我们给大家解释一下

为什么不能转换成投影面的垂直线

通过一次换面

好 这是一个空间一般位置的直线

如果我把它转换成投影面的垂直线

通过一次换面的话

那么它在新投影面内

必然是积聚成一个点

那么这又是一般位置的直线

那么这个平面呢 新投影面呢

是垂直于我这个一般位置的直线的

那么这个新投影面呢就是一般位置的平面

那么一般位置的平面

肯定不和我们原有的两投影面体系当中

V面和H面保证垂直

这就不满足我们这个投影变换的原则

新投影面必须要垂直于某一个原投影面 对不对

所以说我们一般位置直线

不能通过一次换面直接换成投影面的垂直线

好 那么一般位置的直线

不能通过一次换面转换成投影面的垂直线

投影面的平行线

能不能通过一次换面转换成投影面的垂直线呢

大家想一想

我们回忆一下这个投影面垂直线的投影特性

它是在某一个投影面内具有积聚

在另外一个投影面内呢是反映实长

并平行于那个投影轴 对不对

那么这样的话我们用投影面的平行线

通过一次换面能不能转换成投影面的垂直线呢

是可以的

大家想一想

欸 这是一个AB是这个P1面的平行线

那么我们通过一次换面

能不能换成投影面的垂直线呢

可以

我们怎么办

我们过这个 这个AB作一个新的投影面

垂直于这个AB 垂直于它

这样呢 AB呢在这个新投影面内呢

它就积聚成一个点

同时呢 在这个被保留的原投影面中呢

它是反映实长 并且呢是垂直于这个轴X2的

正好满足我们这个垂线的投影特性 对不对

好 所以说通过投影面的平行线

进行一次换面

可以转换成投影面的垂直线

我们刚刚讲过 将一般位置的直线

经过一次换面我们可以转换成投影面的平行线

所以我们先建一个投影面P1

将P1垂直于这个H

将一般位置直线AB转换为投影面的平行线

欸 这时候呢 AB呢就是这个新投影面P1的平行线

然后我们再建一个新投影面P2

欸 这时候呢 我们进一步呢

将这个投影面的平行线呢

就可以转换成投影面的垂直线

所以说呢 将一般位置的直线呢

转换成投影面的垂直线

需要两次换面

第一次呢

是将一般位置直线转化为投影面的平行线

第二次换面呢

是将投影面的平行线转换为投影面的垂直线

所以 大家拿到题目一看呢

涉及到需要把一般位置直线

转换成投影面的垂直线的

大家脑子里马上反应过来

应该是两次换面

一次换面肯定解决不了

大家可以好好回忆一下这个直观图

加深大家的理解

好 然后呢 我们可以把这个直观图进行展开

我们研究一下 如何进行作投影图

那么呢 这是一般位置直线

我们展开

那么第一步呢 我们是将一般位置直线

转换成投影面的平行线

我们讲过了

就研究过了 已经不管它了

我们只要新作一个投影轴

那么呢

使得这个投影轴呢平行于被保留的投影呢

欸 我们这里面呢

是 被保留的是水平面

由于作图空间

当然我们也可以更换H面

保留V面 但是上面没有作图空间了

所以说 我们刚刚强调过

选择替换哪个 那么我们有两个

第一个情况是 题目要求

第二个情况就是 作图空间

那么这一题呢 我们一看作图空间

只能替换V面 保留H面

好 那么我们这里就保留H面

我们新作一个投影轴X1平行于ab

然后呢 分别上面标上H表示被保留的原投影面

下面呢写上P1表示新投影面

然后呢我们分别过它的被保留的投影a

作这个新投影轴的垂线

然后呢在上面量取距离

是新投影到新投影轴X1的距离

等于被代替的原投影到原投影轴X的距离

这一段 那么就是a1 同样的道理我们可以获得b1

过b作垂线 然后在上面量取距离

这个b1到X1轴的距离

等于b'到X轴的距离

那么这样我们就得到经过一次换面

获得它的这个投影面的平行线

第二次换面

我们要将投影面的平行线

转换为投影面的垂直线

转换的过程中呢

我们重点来研究一下如何选择这个投影轴

投影轴怎么选

这一条投影面的平行线

转换为投影面的垂直线呢

欸 我们需要什么 这有什么特点

在新投影面中呢 它具有积聚

在原投影中呢 欸 它反映实长

并且 这段反映实长的这个投影呢

和这个新投影轴之间是什么

具有垂直关系

所以呢 我们这个新投影轴X2呢

一定是垂直于这个被保留的

原投影a1b1这一段的

这样呢我们就可以确定相应的投影轴了

我们做一个投影轴X2

X2呢一定是垂直于这个a1b1

那么至于放在哪 哪都可以

但原则是不要使得图形重叠

这个X2是垂直于a1b1的

然后呢我们分别写上这个P1和P2

P1表示什么

欸 P1表示被保留的投影面

那么P2表示什么

P2表示新投影面

通过这个呢 我们就可以发现

二次换面的时候我们换的是哪个

是用P2换掉了H

那么被保留的呢 是P1

好 通过这个符号呢就提醒大家

特别是呆会量距离的时候 不要量错

好 我们来写

利用点的投影变换规律怎么来的

过被保留的原投影

作新投影轴的垂线

那么并且在上面量距离

什么距离呢

是新投影a2到新投影轴X2的距离

等于被代替的原投影

这里被代替的投影是哪个

被代替的投影是不是这个

a对不对 到原投影轴

原投影轴这时候是哪个 是X1了

原投影轴之间的距离呢相等

好 那么呢 我们分别量过来

这样我们就可以得到

这个直线的两次换面的投影

那么呢 a2和b2是积聚的

对不对 这段直线在P2平面上是积聚的

积聚我们这里用≡来表示

这样我们就得到直线AB在新投影面P2中的投影

这就是将一般位置直线转换为投影面的垂直线

需要两次换面 这是四个基本问题的第二个

好 那么我们在作图过程中呢

尤其要注意这个新投影轴方向如何确定

怎么正确确定这个新投影轴呢

那么呢 我们的前提是要对空间几何元素的这个

投影特性呢 要特别的熟悉

所以大家呢 有时间还是把前面

空间几何元素的投影特性呢再复习复习

到目前为止我们讲了 直线的投影变换

将一般位置直线转换为投影面的平行线需要一次换面

将一般位置直线转换为投影面的垂直线需要两次换面