8.3 平面与回转体相交（一）在线视频

现在我们来研究平面与回转体相交的第一部分

一般方法和圆柱的截切

我们先来看回转体被平面截切的基本形式

这是一个圆锥被一个平面所截切 这是截交线

这是一个圆球被三个平面所截切 这是截交线

这是一个复合起来的回转体

由圆锥和圆柱构成的复合回转体

被两个平面截切 这是截交线

我们分析一下截交线的性质

首先截交线既在回转体的表面上

又在截平面上

因此截交线是截平面与回转体表面的共有线

第二截交线都是封闭的平面图形

第三截交线的形状取决于回转体表面的形状

以及截平面与回转体轴线的相对位置

也就是说截交线的形状取决于什么样的

回转体被切和怎样切

下面我们来分析一下

求回转体截交线的一般步骤

首先还是要进行空间分析

空间分析是分析回转体的形状

以及截平面与回转体轴线的相对位置

目的确定截交线的空间形状

我们看这个模型 圆锥被三个平面截切

截平面与轴线的相对位置不同就得到不的截交线

确定了截交线的空间形状之后

就要进行投影分析

投影分析就是要分析截平面与投影面的相对位置

明确截交线的投影特性

在空间分析和投影分析的基础上

就可以来画截交线的投影

当截交线的投影为直线或者圆的时候

投影是比较容易画出的

当截交线的投影为非圆曲线的时候

作图的方法如下

先找特殊点再补充中间点

特殊点是确定截交线范围和趋势的点

需要我们首先来找出

在找出特殊点的基础上再补充若干中间点

将特殊点和中间点光滑的连接起来

就可以得到截交线

同时还要注意判断截交线的可见性

下面我们来研究圆柱的截切

圆柱被平面截切时截交线的形状取决于

截平面与圆柱轴线的相对位置

请看图 当截平面与圆柱的轴线垂直的时候

截交线的空间形状是圆

当截平面与圆柱的轴线成倾斜位置时

截交线的空间形状是椭圆

当截平面与圆柱的轴线平行时

截交线的空间形状是两条直线

如果考虑圆柱的上下底面也可以认为截交线是矩形

下面我们看一个例题

已知一个圆柱被两个平面截切

我们要求出左视图

当同一个立体被多个平面截切时

要对每个截平面进行截交线的分析和作图

首先进行空间分析

分析截平面与圆柱的相对位置

蓝色的水平面截切圆柱

截交线的空间形状是圆

红色的平面截切圆柱

由于截平面与轴线是平行的

所以截交线的空间形状是两条直线

下面我们进行投影分析

蓝色的截平面是水平面

它截切圆柱得到的截交线

在俯视图上的投影具有实行性

在主视图上具有积聚性

红色平面得到的截交线在俯视图上

具有积聚性 在主视图上反应实形

在左视图上也反应实形

下面我们来求截交线

红色截平面所得到的截交线在俯视图上

积聚在两个点上

蓝色截平面得到的截交线在俯视图上

积聚在圆柱的外表面上

是这一段圆弧

现在我们来求截交线的左视图

先确定出截交线的位置

利用宽相等的方法 这是红色的截交线

它反应实形 另外一端截交线

好 蓝色的截交线具有积聚性

最后检查轮廓线的投影并补充完全

我们看一下由于截平面在这个位置

因此轮廓线是完整的保留

下面我们考虑一下

如果在所给出的圆柱上增加一个孔 会是什么情况

好 我们在圆柱上增加了一个孔

我们通过空间分析可以想象到

截平面与圆柱的外表面具有截交线

同时它和孔也就是圆柱的内表面

同样具有截交线

内外表面的截交线求解的方法是一样的

我们用类似的方法可以把截平面

与孔的截交线求解出来

好 这是最后求出来的左视图的情况

下面我们改变截平面的位置

如图所示得到的截交线会是什么样呢

我们首先进行空间分析

水平面得到的截交线同样在空间是圆

侧平面得到的截交线仍然是两条平行线

我们利用与刚才相同的方法

求解出它的左视图

确定出俯视图上具有积聚性的

红色的截交线的投影位置

求出它的左视图

好我们把外表面上的截交线求解出来

水平面截切在外表面上得到圆的一部分

它在左视图上的投影具有积聚性

这时我们要注意由于截切位置的不同

轮廓线被切断 因此在左视图上

轮廓线的投影应该去掉

同样我们求出内表面上的截交线

好 这是内表面上截交线的投影

同样内表面的轮廓线也被截切掉

这是最后得到的截交线的投影

注意截平面与圆柱的外表面和孔的内表面都要相交

都要产生截交线

在解决这一类问题的时候 需要依次分别的来画出

好 下面我们再看一个例题

请看图 这是一个圆柱被一个平面截切

我们首先进行空间分析

分析截交线的空间形状

我们看截平面与圆柱的轴线是成倾斜位置

因此截交线的空间形状是椭圆

好 下面我们进行投影分析

在我们所给的这个题目中

截交线在主视图上具有积聚性

积聚在这条直线上

截交线在俯视图上具有类似性

因为截交线既在截平面上

又在圆柱的表面上

它在俯视图就积聚在圆柱的表面上

因此俯视图的投影是这个圆

好 那么截交线在左视图上的投影呢

由于截平面是一个正垂面

它与侧平面成倾斜位置

因此截交线在左视图上的投影是椭圆

下面我们进行截交线的投影作图

也就是求出左视图上的椭圆

先找特殊点 截交线上的空间形状是椭圆

它的特殊点就是长短轴的端点

我们来看主视图 这是一个轴的端点

它在最左侧的这根竖线上

因此对应着左视图上的投影

在中间这个位置 这是另外一个端点

它在左视图的投影在这个位置

这是一对轴的端点 另外一根轴的端点

在中间位置 它在主视图最前边和最后边的竖线上

好 这是另外一个端点

这样我们就把椭圆的四个特殊点求解出来

下面我们再找中间点

求解中间点的方法 最简单的就是用面上找点

我们先确定这个点 它的主视图的位置在这里

俯视图 利用投影关系可以直接确定出来俯视图

利用点的二求三的方法

可以求出左视图上的投影

好 我们把左视图上的投影确定出来

用同样的方法可以确定另外的中间点

好 确定了中间点之后

我们利用光滑的曲线把各个点连接起来

这样就得到截交线的投影

最后还要分析一下轮廓线的投影

在左视图上轮廓线它的中值点

是在椭圆长轴的端点上

好 我们把轮廓线补充完全

最后我们就得到了圆柱被截切后的左视图

下面我们做一下讨论和分析

我们分析一下 截平面与圆柱体的轴线

的角度发生变化的时候

对截交线有什么影响

第一个图是我们刚才求解的例题

当截平面与圆柱轴线的夹角发生变化的时候

所得到的椭圆的长短轴就会发生了变化

当这个夹角变小的时候

椭圆的长轴和短轴方向发生了变化

如第二个图所示

当截平面与圆柱的轴线成45°角的时候

截交线的投影变成了圆

利用这个特点有的时候会给我们的解题带来很大的方便

因此大家在求解圆柱截交线的时候

要注意分析截平面与轴线的夹角

如果截平面与轴线的夹角是45°的时候

它的投影是圆就可以直接画出来了

下面我们再分析一个例题

这个题同样是一个圆柱

被两个平面所截切

要求求出它的左视图

我们首先来进行一下空间分析

圆柱被两个平面截切

一个平面与圆柱的轴线是平行的

它得到的截交线的空间形状是两条直线

另外一个平面与圆柱的轴线成倾斜位置

它截切圆柱时得到的截交线的空间形状是椭圆

对应着的立体应该是这样一个形状

下面我们进一步来分析 两个截平面之间有一个交线

我们先把交线的位置确定下来

在左视图中交线的位置在这里

那么交线的端点对应着直线部分的截交线

我们把这一部分截交线可以直接做出

交线在左视图上的投影是虚线

下面我们来求椭圆部分的截交线的投影

首先找特殊点这是一个轴的端点所在的位置

好在这里 这是另外一个轴端点所在的位置

我们再求一个中间点

好 这是主视图和俯视图上的投影

利用二求三可以求出左视图上的投影

我们可以再求一个中间点

这是主视图 这是俯视图的位置

利用二求三可以求出左视图的位置

同时我们还可以再做一些中间点

用同样的方法

在这里我们进一步分析一下这个点

它是椭圆的端点 同时它又是一个虚实的分界点

因为在这个投影中椭圆下边这部分

是不可见的 上边这部分是可见的

我们用光滑的曲线连接起来

实线这部分是可见的

虚线这部分是不可见的

最后我们得到这样一个图形

大家课外可以自己思考一下

如果在这样一个圆柱上打一个孔

会得到什么样的图形呢

同时你也考虑一下如果这个孔打的比较小

或比较大会得到什么样的结果呢

我们来看一个模型

这就是在圆柱上加了孔

然后截切所形成的截交线

你可以在课后尝试一下自己来做一下这个题