6.2.1 正等轴测图（一）在线视频

现在介绍知识点 6.2正等轴测图

在这一节里头我们主要要介绍一下

正等轴测图的画法

先介绍正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数

因为正等轴测图三个轴向伸缩系数是相等的

所以三个坐标轴与轴测投影面的倾角都相等

这个角度可通过数学建模推导得到

即使立方体最长对角线垂直于投影面

则建立在其长宽高三个方向上的坐标轴

相对投影面的倾角就相等了

这个角度均为是35°16′

由于物体上三个坐标轴与轴测投影面的倾角均相等

因此三个轴间角也必然相等

即∠x1o1y1=∠x1o1z1=∠y1o1z1=120°

作图时使o1z1轴竖直向上

o1x1 x1y1轴与水平方向分别成30°夹角

用一对直角三角板即可画出三个轴

其中30°角可以用30°的直角板画出

三个轴向伸缩系数的值为35°16′这个角度的余弦值

这个余弦值约等于0.82

按照这个值绘图实际上并不方便

为此采用简化轴向伸缩系数

简化轴向伸缩系数是取p=q=r=1

这样用简化系数画出来的图形相比空间实际物体

在各轴向长度上均分别放大到了1.22倍

但这并不影响正等轴测图的立体感以及物体各部分的比例

后面会分别介绍平面体和回转体正等轴测图的画法

先介绍平面体的正等轴测图的画法

我们以举例的方式来介绍画法

首先看如何画一个三棱椎的正等轴测图

这个地方给出了三棱锥的三视图

画正等轴测图的时候

我们以这样的一个步骤进行

首先要在三棱锥上建立空间直角坐标系

并且画出坐标轴

怎么样建立空间直角坐标系呢

实际上可以任意建立的

但是有一个总体的原则

应该是使得所建立的直角坐标系

让我们绘图的时候简便一些

三棱锥有什么样的特点呢

它是由底面是个三角形三个顶点

加上锥顶组成

我们可以把这四个点用符号标出来

三个底面上的顶点分别是ABC

顶点用S来表示

考虑到绘图的方便性可以使其中的一个点呢

位于坐标原点使得其它点呢

可以位于坐标轴上或者坐标面上

按照这个原则我们考虑一下怎么样建立方便呢

现在我们把c点放在坐标原点上

让底面三角形在xoy坐标面上

a点呢是在ox轴上b点在xoy坐标面上

这个时候的s点在空间是一个一般位置的点

大家画图的时候

也建议大家把建立的空间直角坐标系

也按照这个方式在三视图上表示出来

那么在画图的时候水平投影这儿呢是ox轴

oy轴与ox轴垂直

正面投影呢可以看到这是OX轴的正面投影

这个是OZ轴的正面投影

OZ轴的正面投影和OX轴的正面投影也是垂直的

下面我们做第二步画轴测图先画轴测轴

按照前面的正等轴测图的轴测轴的画法

我们先画出三个轴测轴

这个时候轴测轴用细实线来绘制

然后在下面第三步就按照每个点的坐标

在轴测投影图里头

沿着轴向方向进行度量来画出它们的投影

刚才我们说到了c点因为在坐标原点

所以呢C点的投影就在o1这个地方

A点呢是在坐标轴上o1x1已经有了

所以呢根据点在线上的投影特性

那么这儿呢是xa 把xa度量出来

在o1x1上就得到了a1

B的投影b1怎么求呢

我们知道xb和yb

所以先度量xb的长度

然后在o1x1上截取这个长度找到交点

再从这个点出发做o1y1的平行线

然后在这一条辅助线上度量出yb

yb的值我们可以在左视图度量出来

这就是b1

然后再来求S的投影

用类似的方法

我们先把xs也就是S的横坐标度量出来

然后在o1x1轴上找到相应的位置再过这一个点

做o1y1的平行线在平行线上截取ys

然后再从这一点出发

向上做o1z1轴的平行线在这一条直线上

按照S的z坐标值找到s1点

这个就是s1点

那么从S的投影作图里面我们可以看到

根据S的x坐标值y坐标值z坐标志

分别在o1x1方向o1y1方向o1z1方向

沿着三个轴的方向进行度量然后求取s1

这样我们就做出了三棱锥的四个顶点

下面我们就连线加深

分别连接s1a1 s1b1和s1c1

再把底面也连接起来

这样就得到了三棱椎的正等轴测图

那么在这个里面呢大家要注意一下

我们画的这个正等轴测图其中有一个边

三棱锥的o1a1边它是被遮挡的

被遮挡的时候前面我们在讲三视图的时候

应该画虚线

那么在立体图里头虚线一般是不用再画出来的

而且在画完立体图的时候

也可以把轴测轴

包括一些辅助的作图线全部都擦掉

直接得到这个立体

那这个上面就是擦掉

所有的作图辅助线之后的三棱锥的图形

我们作图的时候可以就以最后的结果为准

刚才我们画三棱椎的正等轴测图的时候

实际上是按照它上面的各个顶点的坐标值

画出的它的轴测投影

然后连线形成三棱锥的轴测图这种方法

称之为坐标法

刚才介绍了棱椎的正等轴测图的画法

下面介绍棱柱的正等轴测图的画法

现在已知一个五棱柱画出它的正等轴测图

大家看这个五棱柱

实际上也就是一个长方体的板

切去一个角形成的

画图的方法和刚才类似

第一个步骤就是建立空间直角作标系

请看我这样建立的一个空间直角作标系

大家说作标原点在什么地方呢

实际上就是在这个五棱柱的上表面的

最右边的一个角点上

我们把坐标系之所以建立在形体的上表面上的原因呢

是因为这样建立有一个好处

这个好处就是它下表面的虚线自然就可以不画了

后面大家画轴测图的时候

也建议大家在取坐标系的时候按照这个方法

来选取会更方便一点

然后第二步画轴测轴

当然这个五棱柱可以

按照前面的坐标法

我们可以把它各个顶点的坐标找到

然后绘制出轴测投影然后再连线就形成了

实际上我们发现了长方体

对于我们大家来说很熟

我们也可以把这个立体

看做一个长方体截掉一个角而形成的话

那么我们可以先画出长方体的轴测投影

然后再画出这个截面的轴测投影

那也能够得到最终的结果

现在我们补画出长方体的

它没有切割之前的投影线

先画长方体的上表面的轴测投影

上表面是一个矩形

矩形对边平行且相等

现在后面这个边

是在ox轴上直接以矩形的长

这个长边的值L在o1x1轴上度量

那么就得到这个边的投影

然后过这个点作o1y1轴的平行线

在这条线上按照这个矩形的宽B进行度量

画对边的平行线这样就得到了

长方体板的上表面的投影

然后过着三个点分别做oz轴的平行线

以这个板的高度H为长方体的高

在平行线上度量出H再连线

这样就画出了长方体的轴测图

下面我们做矩形截断面的轴测投影

这个长方体它的左前角被切断了

是被一个铅垂面所截切

铅垂面根据投影的特性

它的正面投影按照我们前面学到的

它应该是长相等

正面就应该是有一个类似图形

所以正面就是这个矩形1234

1234的水平投影我们可以在俯视图上标示出来

在下面我们分别求出这四个顶点

就得到了截断面的轴测投影

1点是在最前面这条边上

2点是在最左边这条边上

所以按照点在线上的投影规律

直接按照K这个值度量就得到1点

按照A这个值度量就得到2点

这样连接12

就画出了截断面上12这条

与坐标轴不平行的直线的轴测投影

然后分别过1和2向下

做o1z1轴的平行线分别和底边相交

交于4和3点

然后连接34这样就得到了截断面的轴测投影

从1234这个截面开始

前面这一部分是被切掉了

所以要擦掉多余的线

最后把可见的线用粗实线表达

得到这个五棱柱的正等轴测图

大家看这个五棱柱的正等轴测图里面

虚线也是不用画出来的

这个就是最终的结果

那我们回顾一下

被切掉一个角的棱柱我们怎么绘制出来的呢

我们是先画出没有截切前的

这个物体它的轴测图

然后再把截断面绘制出来

完成整个轴测图

所以这种方法称为切割式作图方法

称为切割法

切割法要注意里面斜线的作图

它是不能够直接作出的

需要先把这个线段的两个端点的投影找到

然后再连线也就是说

当物体上有线段与坐标轴不平行的时候

是不能够直接求解的

而是需要按照一定的作图方式

找到线段上的两个端点

先做出端点再连接

才能正确的作出斜线的轴测投影

对于一个立体上有切的槽或者挖的孔等等

这种方式所形成的结构

都可以用切割法完成作图

下面我们再看一个例子

这是已知一个物体的三视图

要画出它的正等轴测图

这图比刚才的图复杂了一些

为了帮助大家画图

我们先看一看它实际上是什么样的

实际上是由两块组成

底下一个底板上面还有一个立板

底板是五棱柱立板也是一个五棱柱

它是由这两块板通过叠加的方式组成的

所以这样的形体我们又称之为叠加式的组合体

叠加它是形成复杂形体的一种方式

刚才我们讲的切割

也是形成复杂形体的一种方式

叠加体的轴测图怎么画呢

先在其中一个立体上

建立空间直角坐标系

画出这个立体的轴测投影图

然后再画其它立体

如果这个叠加体由多个立体组成

就依次画出

下面我们以这个题为例

来介绍一下叠加体的画法

首先要建立空间直角坐标系

建立在什么地方比较方便呢

一般来说建在两个体的结合面比较方便

因此我们就把空间直角坐标系

建在下面这个底板的上表面上

注意一下这个坐标系的正面投影o'x'和o'z'

从这可以看出来

它是建立在两个板的结合面上的

然后再画出底板的轴测图

因为这个底板是五棱柱我们前面刚刚画过

所以直接把前面的结果搬过来

然后下面就画第二个叠加体

画第二个立体的时候

要注意正确地画出

它在底板上的贴合的这个面的投影

那这个面呢实际上是一个矩形的平面

在这用蓝色的线条显示出来

那么为了正确画出来

我们对这个矩形进行编号

标出它的顶点为1234

1234点按照投影特性在正面投影上

可以找到它的位置都在ox轴的正面投影上

14积聚23也积聚了

那么下面我们就把1423在轴测投影图上标识出来

3点是在坐标原点上

4点是在ox轴上2点是在oy轴上

那么我们根据这个特点

就可以把3点的投影4点的投影

2点的投影找到

然后分别做轴的平行线

就得到1点的投影

这样就做出了底面的投影

然后就直接画出上面这个板没有切角之前的图形

根据这个板的高度直接过124点

做o1z1轴的平行线

保证它的高度相等

在画平行线就得到了没切之前的棱柱

然后用前面切割的方法

把斜面求出来

这个是上面切出来的x方向的值

这个是oz轴方向剩下的高度

这个虚线现在画的就是斜面的投影

然后把多余的线擦掉

可见的线画粗线就得到了最后的结果

这种画图的方法就叫做叠加法

它是依次画出组成立体的每一小块

合成而得到的最终的图形

那我们画轴测图的时候要注意

最后要作图进行检查

检查什么呢

主要检查每个顶点实际上

应该是有三条线连出来的

我们称之为一点三线

大家看这个点它实际上连出来是三条棱线

而三条棱线都是可见的

大家再看上面这个点

这个点也一点三线可见

那再看这个点

这一点怎么是一点两线对不对呢

那也是对的因为其中有一条线是竖直的是虚线

在这里虚线我们没有画所以它是对的

有的时候大家画立体图的时候

可能漏画了一条线

这个时候就要注意检查这个特征

关于平面体的正等轴测图我们就介绍到这儿