4.5.2 工程问题应用（二）在线视频

那么在工程问题中呢我们常常会出现

求两个平面和平面夹角的问题

或者已知平面夹角

来确定两个平面之间的位置问题

比如我们根据飞机驾驶舱玻璃之间的夹角大小

设计玻璃的形状和位置

来满足这两个平面之间夹角关系

这类问题就可以转换为平面和平面夹角的问题

比如我们转换为ABC和ABD的夹角为60°

让你求它的a'd' b'd'

也就是说我知道它的夹角了

那么某一个平面呢

欸 我知道它一个投影了

那么你求另外一个投影 怎么求

好同样我们进行空间分析

什么时候能够反映两个平面的夹角

大家好好思考

是不是当两个平面在投影面内

都具有积聚的时候

两个积聚直线之间的夹角

就反映了两个平面的真实夹角

那么什么时候两个平面都具有积聚性呢

是不是两个平面的交线

具有垂直于某个投影面的时候

那么这两个平面都积聚成两条直线

换句话说我们的换面目标

就是要把两个平面交线AB

转换为投影面的垂直线

AB是一般位置的直线

那么我们转换为投影面的垂直线

这是四个基本问题中的哪一个

第二个将一般位置的直线

转换为投影面的垂直线

显然这需要两次换面解决

第一次换面转换为投影面的平行线

第二次换面再将投影面的平行线

转换为投影面的垂直线

这就是我们所做的空间分析

这类题目你们一定要进行空间分析

在解题之前空间分析对了

我们才能做题

如果空间分析不对我们往往无从下手

好 那么我们分析完了

我们进行投影分析并做题

第一步将一般位置直线

转换为投影面的平行线

这里我们做了很多次了

我们就不再重复了

那么我们将一般位置直线AB

转换为投影面的平行线

我们确定X1轴

X1轴肯定是要平行于它的AB的这个水平投影

同样写成符号这是被保留的投影面H

这是新投影面P1

过c点作X1轴的垂线

使得c1到X1轴的距离等于c'到X轴的距离

那么我们可以获得c1

同样道理我们可以获得a1

过水平投影a作X1轴的垂线

那么这个a1肯定在这条直线上

具体在哪 我们可以通过距离量取

a'到X轴的距离等于a1到X1轴的距离

那么我可以知道确定a1

同样道理我们可以确定b1 对不对

b1是在这个轴上的

好 所以我们连接这样我们就可以得到

a1b1c1经过一次换面获得的形状

那么d呢怎么换 我们不知道

我们暂时先不管

第二步我们将这个投影面的平行线

转换为投影面的垂直线

同样道理那么我们如何确定这个X2轴

那么X2轴一定是

垂直于这个a1b1的这个投影的 对不对

新投影面P2 原投影面P1

我们任然用点的投影变换规律进行作图

分别过a1 b1那么我们作X2的垂线

量取距离等于什么

a到X1轴的距离等于a2到X2轴的距离

同时AB这条直线在P2投影面上

是具有积聚的

所以积聚我们用三等号表示AB积聚在这

我们可以把c2作出来

过c1作X2轴的垂线

那么呢c2在哪呢

c2到X2轴的距离等于c到X1轴的距离

连接起来这就是

我们三角形ABC在P2平面内的投影

好 那么我们如何确定ABD这个平面呢

那么这时候两个平面ABC和ABD的交线

变成投影面的垂直线

这两个平面ABC和ABD

在投影面P2上应该都积聚成一条直线

这两条直线之间的夹角

就代表了两个平面的夹角

所以我们只需要作一条线和a2c2成60°

那么这个d2肯定就在这条线上

那么具体在哪这时候怎么办

同样这时候我们需要利用点的投影变换规律

和几何元素的投影特性进行解题

第二次投影变换的时候

我们新投影轴是X2

新投影d2到新投影轴X2的距离应该等于

被代替的投影是哪个

被代替的投影是水平投影 对不对

小写的d到X1轴之间的距离

根据这个规律我们就可以确定它在哪

应该是这么一段距离等于这么一段距离

它应该在这上面

欸 那么呢我们要满足60°在这条线上

所以说它应该是过这个这段距离

作一个平行于X2轴的平行线

和这条线的交点是不是就是我们要求的d2

这就是我们要求的d2

一旦d2确定了那么我们就知道

对于第二次换面而言 点的新投影d2

和被保留的原投影d1之间的连线

应该垂直于X2轴

同时对一次换面而言

点的被保留的原投影d和新投影d1之间的连线

要垂直于X1轴

这样两条直线的方向就确定了

那么交点呢就是我们要求的d1

好 所以通过点的投影变换规律呢

我们就可以确定d1

那么d1一旦确定了这样连接a1 d1 b1

d1就确定了

三角形ABD在P1投影面内的投影

然后呢我们如何确定它的正面投影呢

同样我们利用点的投影变换规律

点的正面投影和水平投影连线

点的正面投影在哪呢

应该我们利用点的投影规律

点的正面投影和水平投影的连线

垂直于X轴

所以它的正面投影应该在这条线上

具体在哪呢

我们利用点的投影变换规律

对于一次换面而言d1到X1轴的距离

也就是说新投影到新投影轴X1轴的距离

等于被代替的投影到原投影轴X的距离

所以我们就可以进一步确定这段等于这段

我们可以确定它的正面投影

这样我们依次连接

这样我们可以就解决这道题目

需要给大家强调的是

结果一定要返回到原投影体系当中

同时如果几何元素之间存在可见性的话

那么我们还需要判断可见性

当然这一题中正面投影都是可见的

我们就不需要再判断可见性了

第二个对于已知两个

投影几何元素之间的夹角

那么求几何元素位置的时候呢

有时候可能存在多解大家一定要留意

如果存在多解往往只需要画出其中的某一个解就可以

然后注明一下本题共几解

那么同学们课后可以看一看

这一题到底有没有多解

这是我们工程问题的应用的第二个例子

那么我们再看第三个例子

现在工业机器人运用越来越多

相对于人工而言工业机器人呢

具有高精度 高效率 低成本等众多优势

安装机器人的时候我们常常需要保证

机器人的运动不能和周围

其他物体发生碰撞和干涉

否则我们机器人运动起来可能会撞坏机器人

比如说这个SCARA机器人

当我们安装的时候

机械手所能达到的最远的地方

就是各个关节完全展开

绕轴进行旋转所能达到的地方

那么这就相当于我们人体的一个手臂

完全展开绕身体进行旋转所能达到的空间

这个工程问题呢我们也可以

把它抽象为工程制图进行解决

那么呢这个旋转的这个轴呢

我们可以把它抽象为一条直线

这个手转呢我们抽象为一个点

那么机器人的最大运动范围呢

我们就可以抽象为这个点绕这个直线进行旋转

然后判断它和这个四周的平面是否发生干涉

那么判断点A绕MN轴旋转

是否和平面BCDE碰撞

首先同样进行空间分析

那么如何判断这个干涉

这是个空间问题那么空间问题考虑起来很复杂

那么我们可不可以简化

将这个空间问题转换为平面问题加以解决

A点绕这个空间的MN轴进行旋转过程中

实际上运动的轨迹是个圆

那么这个圆所在的平面肯定和BCDE有一条交线

如果我们把这条交线求解出来

再判断这个圆和交线的关系

那么我们是不是可以把问题简单化

这就是我们解题的思路

那么第一步呢就是我们首先要

确定这个轨迹所形成的圆所在的平面

和这个平面BCDE的交线 进一步分析一下

这个MN是什么位置的直线 正平线

那么这个圆的轨迹是什么

垂直于这个正平线的一个平面

那应该是一个正垂面

那么也就是说我这个正面投影具有积聚性

那么并且这个圆的轨迹呢

会积聚在垂直于

这个正面投影m'n'的一条直线上

那么这个圆所在的平面具有积聚性

BCDE是一个一般位置的平面

那么我们可以利用积聚性

交线肯定在积聚在这个圆所积聚的直线上

我们就很容易确定这个交线f'g'

我们来作一下过a'作m'n'的垂线

这个就代表了我们这个圆轨迹所在的平面

那么这个平面是具有积聚的

所以这个交线呢也积聚在这条线上

所以呢我们就可以迅速的获得

它和BCDE的交线

利用前面学习的知识

好 我们投影作下来

这样呢我们就获得这个交线

顺便问一下大家

这个A点所形成圆的轨迹

在正面投影中具有积聚

在水平投影呢应该是个椭圆 对不对

椭圆我们是无法精确画出来的

我们不管它了

第二个问题根据我们分析的

我们要判断这个圆和这个交线之间的关系

那么我们就需要换面

换面同样我们要进行空间分析

请大家想一想在什么情况下

能够反映出点A所形成圆

和交线之间的相互碰撞关系

是不是当这个MN变成投影面的垂直线的时候

这个圆所在的平面呢

就是投影面的平行面

这时候我们就可以在这个投影面内

反映这个圆到底是不是和这个交线发生碰撞

换句话说我们把点A所形成的圆这个平面

转换为投影面的平行面的时候

我们就能反映出它们相互之间的碰撞关系

所以MN垂直的时候这个圆就平行于这个投影面

我们可以进行分析

如何将MN变成投影面的垂直线呢

那么MN呢是一个什么位置的直线

大家分析一下

MN是投影面的平行线

或者更精确一步说是什么

是一个正平线

一个投影面的平行线

转换为投影面的垂直线

需要几次换面

需要一次换面 对不对

同时它是正平线 那么我们只能换哪个面

只能换H面

如何确定这个新的投影轴

我们要将这个投影面的平行线

转换为投影面的垂直线

那么我们怎么确定这个投影轴呢

我们和前面学习的知识一样

我们这个投影轴一定是

垂直于这个它的被保留的原投影m'n'的

好 那么X1呢这边呢

这边写上V这边写上P1

V代表的是被保留的原投影面

P1代表是新投影面

同样利用点的投影变换规律

那么呢量取距离在哪

点的水平投影到X轴的距离

等于新投影m1到X1轴的距离

好这样我们可以确定m1

同时呢这个MN呢是积聚的

所以呢m1n1呢也是具有积聚的

这个呢用三等号表示

同样道理我们可以把A点也变换过来

过a'作X1轴的垂线

那么具体在哪呢

我们同样量一下

那么呢水平投影到X轴的距离

等于它的新投影到X1轴的距离

这段等于这段

好 我们可以得到a1

然后我们作一个圆

这就是我们的点A绕MN轴所形成的圆的轨迹

同样道理我们需要把fg这个交线也要变换过去

那么呢利用点的投影规律

过f'作X1轴的垂线

在哪呢我们同样量取距离

水平投影f到X轴的距离等于

新投影f1到这个X1轴的距离

这段等于这段

我们同样道理可获得g1

好 我们连接f1g1

这就是我们圆所在平面

和我们平面BCDE之间的交线

那么通过这个一次换面之后我们就能发现

这时候是不是发生碰撞

显然是发生碰撞的

所以呢 这时候呢

我们运动是发生干涉的

那么呢我们布置机器人的时候呢

就不合适

我们需要呢 让机器人呢

远离这个平面

以防止运动过程中发生碰撞

损坏机器人

或者损害其他物体