9.3.3 回转体与回转体相贯（三）在线视频

圆柱和圆柱相贯 可以用积聚性表面取点的方法来求解

那么如果是圆柱和其它回转体相贯

怎么样来求相贯线呢

那这个时候我们要用到辅助平面法

辅助平面法它是根据三面共点的原理

假想用一个辅助平面与这两个回转体相交

然后利用辅助平面求出两个回转体表面上的若干公有点

从而画出相贯线的投影

那一般它是这样来求出交点的

首先假想作一个辅助平面与相贯的两立体相交

然后分别求出辅助平面与相贯的两立体表面的交线

再求出交线的交点 这个交点也就是相贯线上的点了

那我们以这个模型为例

假设作一个辅助的水平面 这个水平面为P平面

P平面截切圆柱会得到两条截交线

也就是圆柱的素线

P平面同时又与圆锥截切 产生了一个交线

是一个垂直于圆锥轴线的圆

那这个圆和这两条素线的交点一定是相贯线上的点

也就是说这四个交点一定既位于圆锥表面

又位于圆柱表面同时它又在辅助平面上

这就是三面共点的意思

用辅助平面法求交点的时候怎么样来选择辅助平面呢

用辅助平面法来求交点时

对于辅助平面的选择一般要满足这样的条件

就是使辅助平面与两个回转体表面的交线的投影简单

并且容易绘制出来

一般会选择它们的交线的投影为直线或圆

来确定辅助平面

那下面我们看一个例子

已知左视图 完成主视图和俯视图

首先空间分析 这是一个圆柱跟圆台相贯

已知左视图 要完成主视图跟俯视图

圆台跟圆柱相贯的交线

在空间是一条封闭的光滑的空间曲线

这个是由两回转体相贯的交线的性质所确定的

下面我们进行投影分析

相交的两形体之一是圆柱体

而圆柱体它的轴线现在是垂直于W面的

所以圆柱面在侧面的投影具有积聚性

就积聚在这个圆周上

当然交线上所有的点也应该在圆周上来寻找

而圆台上所有的点应该在这三条直线所围成的面域中

根据公有性 交线的已知投影应该就是这一段圆弧

而交线在另两个面上的投影是待求的

那下面我们通过作图的方式

来找交线上的一系列的点的投影

先找特殊点

在主视图上 两个相交形体的轮廓线是相交的

所以这个就是一个特殊点

这个特殊点的水平投影位于圆柱的轴线上

左边有一个点 右边有一个点

这两个点的侧面投影在左视图上在圆周的最高点

好 这主视图上再找不到特殊点了

俯视图也找不到

我们看看左视图上还能不能找到特殊点

左视图上能看到圆台的轮廓线和圆周有个切点

这个点既在圆台表面上 也在圆柱面上

所以它也是一个公有点

同时也是一个特殊点

那这个点的水平投影在什么地方呢

因为它位于圆台的前面轮廓线上

而圆台前面轮廓线呢在俯视图上是在这条中心线上

所以这个点的位置在俯视图上是可求的

同样的圆台后面这条轮廓线上面也有一个特殊点

这个特殊点的水平投影也能找到

这两个特殊点的正面投影可以通过二求三的方式找到

就在这条竖直的中心线上

那么注意后面这个特殊点

它实际上在主视图上是不可见的所以不用再作出了

这是所有的特殊点 然后下面我们作中间点

在这两个特殊点之间找一个中间点

这个中间点的正面投影和水平投影无法直接求出

但是可以用我们前面介绍的辅助平面法来求出

就经过这个点 作一个辅助平面

让辅助平面与这两个立体相交

找到它们交线的交点

找到这些交点在另外两个投影面上的投影

就得到这个点的投影了

那我们怎么样作这个辅助平面呢

它的一个原则要使得交线的投影是直线或者圆

所以这个辅助平面是作一个水平的辅助平面就可以了

那么经过这个点作一个水平面

水平面和圆柱面的交线是两条素线

这个辅助平面P与圆台的交线是个圆

因为我们作的是水平面

所以它的水平投影也是一个实形的水平圆

这个圆的半径等于多大呢

就等于经过这一点的这条线的一半

我们画出这个圆 这个圆和两个直线的交点

就是我们要求的交线上的点

现在知道了这个点的两个投影

然后我们把它正面投影画出来

下面我们光滑连接 连接的同时注意判断可见性

水平投影从上往下看它是可见的

正面投影也是可见的

这样我们就求出了交线的两个投影

最后我们检查 检查圆柱的轮廓线的投影

圆台和圆柱相交以后就形成了一个整体

所以圆柱上面的

这两轮廓线交点处的这个轮廓线就不应该再画出了

请大家思考一下

辅助面可否选正平面或者其他特殊位置平面

下面介绍回转体与回转体相贯的

另外一种求交点的方法 辅助球面法

我们观察下面几个图 这是一个圆球

这是一个圆柱

所以这是一个圆球和圆柱相交

相交时的交线有什么特点呢

我们看一下模型 这个是圆球和圆柱相交

这个交线实际上就是一个圆

而且这个圆它是垂直于圆柱的轴线的

现在圆柱的轴线是铅垂线

所以这个圆在正面的投影它就是一条积聚的水平线

它是水平圆

下面再看这个图

这也是个圆球 这是圆锥

这是圆球和圆锥体相交

那我们看模型 它在上下各产生了两条交线

这两个交线仍然也是圆

这两个圆它也是垂直于圆锥的轴线的

那对于现在画出的圆锥它的轴线是铅垂线来说

这两个圆就是水平圆

这是上面的这个圆的投影

下面的这个圆的水平投影呢

因为它是在下半圆球面上所以应该画虚线

这个是两个圆球相交

圆球和圆球相交 交线也是圆

这个圆也是垂直于圆球的轴线的

这三个例子分别是不同的回转面与圆球面相交的情形

并且它们的交线都是圆

而且这三个例子中

球面的球心都是位于回转面的轴线上的

所以我们可以得到这样的结论

当一个回转面与一个球面相交

并且球心位于回转面轴线上时

它们的交线一定是垂直于回转面轴线的圆

根据这个原理 如果要求两个回转体的交线

只需要作一个辅助球面与两回转体相交

再分别求出这个辅助球面与这两个回转体表面的交线

那么它们交线的交点即为两回转体表面交线上的点

改变辅助球的半径的大小就可以求出交线上的其它交点

由于所作的这些辅助球的球心是同一点

因此这个方法又称为同心球法

用辅助球面法求交线的适用条件主要有两点要注意

一个是两个立体一定要都是回转体

第二个是这两个回转体的轴线必须相交

它们的交点就是辅助球的球心

辅助球面法它实际也是根据三面共点的原理

来求交点的一种方法

它是利用作辅助球面来求出

两个回转体表面上若干共有点

来画出相贯线的投影的一种方法

用辅助球面法求交点的步骤

首先要确定辅助球球心的位置

然后要确定辅助球半径的范围

找到最小球和最大球

然后利用辅助球面法求出交点的投影

求交点时一般先求特殊点 再求中间点

每个点的求法都是类似的

它们都是先求辅助球面与一个回转体的交线

然后再求辅助球面与另一个回转体的交线

这两个交线的交点就是两相交回转体交线上的点

找到一系列的点再光滑连线

连线的时候要注意轮廓线的投影和可见性

下面我们举个例子来说明辅助球面法的应用

例如我们要求一个圆锥与圆柱表面的交线

首先进行空间分析

这属于两个回转体相交

所以它的交线在空间是一条封闭的光滑的空间曲线

然后要进行投影分析

在已给的两个视图中 交线的投影都是未知的

所以我们下面直接作图来求解交线

先求特殊点

在主视图上圆柱和圆锥的轮廓是相交的

所以这样就有了两个特殊点

这两个特殊点都位于圆柱的轮廓线上

所以这两个特殊点在俯视图的投影就在圆柱的轴线上

所以直接投射就能找到这两点的水平投影

除了这两个点以外 其他的点没有办法直接作出了

因此下面我们就来求解其他的点 也就是求中间点

怎么选择辅助面呢

可不可以选择辅助平面来作图

我们先来分析一下这个问题

对于圆锥来说作一个辅助的水平面

得到的交线是易画的

因为它会得到水平圆

但是这个水平面与圆柱截切产生的交线是椭圆

绘制起来比较繁琐 所以不能够选择水平面

对于圆柱来说 由于圆柱的轴线是与水平方向是倾斜的

要作一个截面使得它与圆柱产生的交线易画

可以作一个正垂面

但是正垂面对于圆锥体来说

它产生的交线绘制起来也非常繁琐

因此选择正垂面也不合适

大家可以再继续分析一下

实际上对于这种情况 作辅助平面作图都非常繁琐

因此不适合用辅助平面的方法

那么可不可以用辅助球面法呢

我们注意到这两个都属于回转体

而且它们的轴线是相交的

因此是可以选择辅助球面法的

那下面我们通过辅助球面法求出交点

用辅助球面法首先要确定球心的位置

球心的位置应该是位于两个回转体的轴线的相交处

也就是两回转体轴线的交点 就在这个位置

然后要确定球面的半径的范围

找到最大球跟最小球

离球心最远 又在两个回转表面上的这样的一个球

就是最大球

在这一题中最大球

就是经过上面两个轮廓线交点处的一个球

由于这个交点已经求出了水平投影

所以我们不用再用辅助球面法来求出它的水平投影了

那么最小球在什么地方呢

我们作出这样几条辅助线

把圆柱的轮廓线向下延长

对于圆柱面来说最小球就是

过球心作它的轮廓线的垂线为半径的这个球

对于圆锥面来说最小球就是

经过球心作圆锥轮廓线垂线为半径的这个球

那么假设是以前者为半径的一个球面

是这两个形体的最小球的话

那这样的一个球面上的所有的点都在圆锥体内部了

就不符合交点在表面上的这个特点了

因此对于这两个相交的形体来说

应该取这两者里头的最大的一个值

所以最小球的半径就应该是

从球心这到圆锥轮廓线做垂线的

这个值作为半径的这个球面

那么下面我们就求出位于最小球

同时又在交线上的这个点

我们先求出最小球与圆柱的交线

圆柱面与球面的交线的正面投影

应该垂直于圆柱面的轴线

因此我们从球与圆柱轮廓线的交点处

作一条垂直于圆柱轴线的直线

这个就是二者交线的正面投影

同样的方法我们再求出

这个球面与圆锥面的交线的正面投影

我们经过这个圆与圆锥轮廓线的切点

作一条垂直于圆锥轴线的直线

这条直线就是球面与圆锥面的交线的投影

这两个交线的投影的交点 也就是这个红色的点

就是位于最小球上 又在圆柱面

又在圆锥面上的点 所以它是一个三面共点的点

这个就是交线上的一个点

这就是用辅助球面法求交点的方法

那下面就可以用这个方法再进行类似的操作

根据需要求出一些中间点

比如我们在这个上面再作一个辅助球

那这个辅助球它的半径一定是比最小球的半径大

比最大球的半径小

然后求出这个辅助球面与圆柱面的交线的投影

那么就是这个绿色的圆与圆柱的轮廓线的交点处

从这开始作一个垂直于圆柱轴线的直线

这个就是第一个交线

然后再作出绿色的这个球面与圆锥面的交线

那么就是从这个点出发

来作一条垂直于圆锥的轴线的一条直线

这两条线的交点就是这两个曲面上的另一个交点

实际上我们在画这个辅助球的时候

这个辅助球在下半部分和圆锥面还有一条交线

这条交线的投影是这段水平线

这个交线与球与圆柱的交线同样还有一个交点

那个交点位置在这

那也就是说我们现在作的这个绿色的辅助球

它和圆柱产生了一条交线

它同时和圆锥面产生了两条交线

与圆锥产生的两条交线分别和圆柱产生的交线的这个圆

又分别相交

所以通过作这一个辅助圆

一次就求出了两个交点的位置

好 用这样的方法可以作出一系列的点

那么我们观察一下 根据现在主视图所作的点的位置

已经大致能够判断出交线的弯曲方向了

那么下面我们就可以把交线在正面的投影光滑连接起来

因为它是可见的 所以我们用一条粗实线来连接

这样就画出了交线的正面投影

我们大家可以看一下 右边这是它的模型图

那用这个辅助球面法已经把圆柱和圆锥相交的交线

在主视图的投影完整的作出来了

下面我们要把交线的水平投影画出来

由于交线上的这些点的正面投影都知道了

而这些点又位于圆锥表面上

所以我们只需要利用圆锥面上取点的方法

就能够求出交线的水平投影了

那下面我们看一下作图的过程

先画出红色的这个点的水平投影

用圆锥面上找点的辅助圆法就可以求出

这个辅助圆是个水平圆

水平圆的半径就这一段

求出水平圆的水平投影以后

把这个点的正面投影向下投射就得到两个点的投影了

同样的我们可以把绿色的这个点的水平投影

也用辅助圆法求到

底下的这个绿色的点也用类似的方法求出

对于俯视图来说 实际上还缺一个特殊点

这个特殊点是圆柱轮廓线上的点

它到底在什么位置呢

那么在这种情况下我们没法精确求出

我们先找到这个点在主视图上交线上的位置

它应该在这个位置 在轴线这个位置

那么找到这个位置以后直接向下投射

就能得到圆柱轮廓线上的点的投影了

当然这个点是通过求出的交线的正面投影找到的水平投影

它并不一定十分精确

但是如果说我们中间点的数量找的足够多的话

那么它离准确位置就更接近一些

但是对于我们一般作图这就够了

然后下面把水平投影进行连线

连线的时候要注意可见性

对于水平投影来说

位于圆柱上半圆柱面上的点是可见的

所以以轮廓线上的点为界

它右侧的部分在俯视图上是可见的

我们把它光滑连接出来

而它左侧部分的点呢

它的水平投影是不可见的 所以要画成虚线

这样我们就作出了交线的水平投影

我们可以把作出的结果跟模型比对一下

并且还要注意我们画曲线的投影的时候

尽量让它光滑连接

因此呢这个虚线在与圆柱的轮廓线相交的这个部位

这个圆柱轮廓线要和交线相切画出

通过刚才的这个例子的作图

我们可以发现辅助球面法在某些时候是会有作图优势的

也就是如果只需要作出相交形体在一个面的投影的时候

用辅助球面法就可以快速的作出

交线在这一个投影面上的投影了