当前课程知识点：工程制图 > 第二讲：第3章 几何元素间的相对位置 > 3.3 垂直问题 > 3.3 垂直问题
下面我们来讨论
一类特殊的相对位置关系 垂直问题
空间的两条直线相交所成角度的投影
是我们研究垂直问题的基础
下面我们首先来看一下任意角的投影
一般情况下角的投影和角的实际大小是不相等的
只有当角的两边均平行于投影面时
角的投影才和角的实际大小是相等的
这里给出的两个直观图我们可以看出
当角ACB的两边分别处在一般位置
和处在与投影面平行位置的时候
角ACB的大小与它们投影大小的相对位置关系
这是任意角投影的情况
下面我们再来看直角的投影
直角的投影具有一定的特殊性
如果直角中有一条边平行于某一投影面
则它在该投影面上的投影仍然为直角
反过来如果直角的投影仍然是直角
则被投影的角至少有一边和投影面是相互平行的
下面我们对第一点来进行一下证明
已知直线AB和直线BC相互垂直
其中BC平行于水平投影面H
而直线AB倾斜于水平投影面H
这样直线AB和直线BC就在空间上组成了一个直角
其中的一条直角边BC与水平投影面相互平行
首先我们给出直线AB和BC
在水平投影面上的投影ab和bc
因为直线BC和直线AB相互垂直
而BC又和水平投影面H相互平行
这样我们可以得到BC和Bb是相互垂直的
这样直线BC就和平面Q相互垂直
平面Q是由相交直线AB和Bb所确定的
由于BC和它的水平投影是相互平行的
这样我们就可以得到BC的水平投影也和平面Q相互垂直
这也就意味着bc垂直于平面Q上的所有直线
由于直线AB的水平投影ab也在平面Q上
所以直线AB和直线BC的水平投影
ab和bc也是相互垂直
这也就说明了
当直角中如果有一条边平行于投影面的时候
则它在该投影面上的投影仍然为直角
下面我们通过一道例题来讨论直角的投影特性
例11 判断两条直线是否垂直
在这里我们给出了两条相交直线
这其中有一条直线我们根据其投影特性
我们可以判断出这是一条水平线
这条水平线的水平投影
和另外一条直线的水平投影是垂直的
那么根据直角的投影特性我们可以判断出
这两条直线是垂直的
我们再来看第二道判断题
给出了两条直线的投影判断它是否垂直
从给定的两条直线的投影我们可以看出
其中的一条直线它是一条正平线
它的正面投影
和另外一条直线的正面投影相互垂直
根据直角的投影特性我们可以判断出
这两条直线也是相互垂直的
下面我们再来看第三道判断题
同样给出了两条直线相交
而且这两条直线的正面投影相互垂直
水平投影也相互垂直
那么这两条直线在空间上是否垂直呢
看上去这是两条完美垂直的直线
但答案是否定的
它们在空间并不垂直
在这里我也给大家留下一道思考题
请大家根据直角的投影特性
来对这道题的结论进行一下几何证明
我们再来看一道例题
例12 已知直线CD和点A
求作直线AB与CD垂直相交
我们根据给定的直线CD的正面投影和水平投影
我们可以看出直线CD的水平投影
和投影轴是平行的
那么这说明直线CD是一条正平线
它平行于正投影面V
如果我们做出的直线和CD垂直相交
那么根据直角的投影特性
我们可以得到AB的正面投影
一定与CD的正面投影垂直相交
这就是我们解决这道题的一个主要思路
我们来看一下具体的作图步骤
首先我们过点A的正面投影a'作直线a'b'
与CD的正面投影c'd'垂直并相交于b'点
然后我们再找到B的水平投影
在这里我们只要根据线上找点的方法
就可以直接在CD的水平投影上
找到B点的水平投影b
连接ab我们就得到了所求的直线
直角的投影特性是我们分析垂直问题的基础
下面我们来讨论三类典型的垂直问题
分别是直线和平面垂直 直线和直线垂直
以及平面和平面垂直
首先我们来看直线和平面垂直的问题
判断一条直线和平面垂直
我们是根据这样的几何学原理
如果直线垂直于平面上的两条相交直线
则该直线与平面是垂直的
我们知道如果直线垂直于平面
那么这条直线一定与平面上的所有直线都垂直
那么它也一定垂直于平面上的投影面的平行线
比如水平线 正平线或者侧平线
这样我们结合直角的投影特性
我们可以得到这样一个推论
如果直线垂直于平面
则该直线的水平投影
与该平面上水平线的水平投影垂直
该直线的正面投影
与平面上正平线的正面投影垂直
该直线的侧面投影
必然也和平面上侧平线的侧面投影垂直
而反过来如果一条直线与某个平面上
水平线的水平投影垂直
同时这条直线的正面投影和该平面上
正平线的正面投影垂直
那这也说明了这条直线一定与这个平面
是相互垂直的
下面我们通过一道例题
分析一下直线和平面垂直的问题
例13 已知三角形ABC所确定的平面
和平面外一点K 求点到平面的距离
首先我们来做空间分析
要求平面外一点到平面的距离
首先我们需要通过该点向平面做一条垂线
然后确定垂线与平面的交点
这个交点到已知点之间的实际长度
就是点到平面的距离
基于这样的空间分析
我们的作图过程主要分为以下四个步骤
我们作直线KD垂直于三角形ABC
作图的时候我们首先可以
通过A点作一条水平线A1
然后使得KD的水平投影与A1的水平投影相互垂直
然后我们再过C点做一条正平线C2
使得KD的正面投影与C2的正面投影相互垂直
这样我们做出来的直线KD
就是一条垂直于平面ABC的直线
然后我们求直线KD与三角形ABC的交点L
这是一个求直线和平面交点的问题
由于直线KD和平面ABC均处在一般的位置
我们需要利用辅助平面法
来求KD和平面ABC的交点
首先我们包含KD做一个正垂面P为辅助平面
它的正面迹线用Pv来表示
根据辅助平面法求直线和平面交点的原理
我们可以得到辅助平面P
和平面ABC交线的正面投影3'和4'
然后根据线上找点的方法
得到交线的水平投影3和4
交线的水平投影和KD的水平投影的交点L
就是我们所求的直线KD与平面ABC的交点
在得到交点之后
为了求点K到平面ABC的距离
我们还要求出KL的实际长度
我们需要利用直角三角形法
首先我们在正投影面上
找到k'和l'在Z坐标轴上的差值ΔZKL
以ΔZ为长度构建一个直角边
然后我们以KL的水平投影的长度
来构建另外一个直角边
这样我们所构建的直角三角形的斜边
就是KL的实际长度
也就是我们所求的点到平面的真实距离
最后我们还需要判断KL的可见性
在这里我们首先在水平投影面上
找到AB和KD的一个重影点
然后根据这个重影点
我们可以判断出KD水平投影的可见性
然后我们在正投影面上
找到直线AC和KL的一个重影点
根据该重影点我们可以得到
KL在正投影面上的可见性
这样我们这道题就求解完了
前面我们讨论了直线和平面垂直的情况
下面我们来讨论第二类典型的垂直问题
直线与直线垂直的问题
当有一条直线平行于投影面的时候
它们的投影满足直角投影的特性
下面我们来看一道例题
例14 已知直线 过线上点作直线垂直于已知直线
首先我们来做空间分析
过直线上的一点可以做无数条直线
与已知直线垂直
这其中有两条特殊位置的直线
我们是可以利用直角的投影特性直接作出的
我们可以过已知直线的端点做一条水平线
使得该水平线的水平投影
与已知直线的水平投影相互垂直
那么根据直角的投影特性
这两条直线在空间上也一定是垂直的
我们还可以过直线的端点做一条正平线
使得该正平线的正面投影
与已知直线的正面投影相互垂直
同样这两条直线在空间上也是相互垂直的
我们再来看一道直线与直线垂直的例题
例15 已知直线 过线外一点A
作直线AB与已知直线垂直相交
我们首先来做空间上的分析
所求的直线一定在通过A点
并且与已知直线垂直的平面上
找到了这个与已知直线垂直的平面
我们就要求出该平面与已知直线的交点
然后连接这个交点与A点
我们就得到了所求的直线
具体的作图过程可以分为三个步骤
首先我们可以通过A点做一个平面
垂直于已知直线
作图的时候我们首先可以
通过A点做一条水平线A1 使得A1的水平投影
和已知直线的水平投影相互垂直
然后我们再过A点做一条正平线A2
使得A2的正面投影
与已知直线的正面投影相互垂直
这样我们做出来的平面A12
就与已知直线是相互垂直的
第二步 我们求已知直线与平面的交点
由于我们做出的平面A12
与已知直线都处在一般位置
所以我们要应用辅助平面法来求它们的交点
在这里我们包含已知直线
做一个正垂面P为辅助平面
它的正面迹线用Pv来表示
根据辅助平面法求直线和平面交点的基本原理
我们可以得到辅助平面P
与平面A12交线的正面投影3'和4'
然后我们就可以根据线上找点的方法
得到交线的水平投影3和4
连接3和4它与已知直线的交点
就是我们要求的已知直线和平面交点的水平投影
我们用B来表示
然后我们可以根据线上找点的方法
找到交点的正面投影b'
最后我们连接A和B的正面投影
以及A和B的水平投影
得到了直线AB就是满足题目要求的
最后我们再来讨论第三类典型的垂直问题
平面与平面垂直
判断平面与平面垂直是基于这样一个几何学原理
若一个平面通过另一个平面的垂线
则这两个平面是相互垂直的
根据该几何学原理我们可以得到
作与已知平面P垂直的平面Q的两种方法
第一种 我们可以
使平面Q经过垂直于平面P的直线
这样平面P和平面Q一定是相互垂直的
第二种 我们可以
使平面Q垂直于平面P上的一条直线
这样我们做出来的平面Q与平面P
也一定是相互垂直的
下面我们来看一个具体的例题
例16 已知△ABC 过顶点A
作平面垂直于△ABC所确定的平面
首先大家可以思考这样两个问题
这样的平面我们该如何做
这样的平面能够做几个呢
根据平面和平面垂直的几何学原理
我们只要过A点做出一条直线与ABC垂直
那么只要包含这条直线的平面都与平面ABC垂直
因此这样的平面我们实际上可以做出无数个
那么具体的作图过程是这样的
首先我们过A点做一条水平线
使得过A点的直线的水平投影
与该水平线的水平投影相互垂直
然后我们可以再过B点在平面内作一条正平线
使得过A点的直线的正面投影
与这条正平线的正面投影相互垂直
这样我们做出来的过A点的直线
就是一条垂直于平面ABC的直线
那么只要是包含这条直线的平面
都与平面ABC是相互垂直的
后面的作图过程在这里我就不做介绍了
大家可以自行完成
下面我们对垂直问题来进行下小结
垂直问题的基础是直角的投影特性
大家一定要掌握
在这个基础上大家还要掌握3类典型问题
即直线和直线垂直 直线和平面垂直
以及平面和平面垂直的几何学原理以及作图方法
-1.1 工程制图的应用背景
-1.2 课程性质和课程目标
-1.3 课程内容和教学要求
-1.4 学习方法
--1.4 学习方法
-1.5 制图国家标准简介
-1.6 投影的基本概念
-第1章课件
--外部链接
-2.1 点的投影
--2.1 点的投影
-2.2 直线的投影
-2.3 平面的投影
-第2章课件
--外部链接
-第一讲作业
-3.1 平行问题
--3.1 平行问题
-3.2.1 平面与平面相交
-3.2.2 直线与平面相交
-3.3 垂直问题
--3.3 垂直问题
-3.4 综合问题解题方法
-第3章课件
--外部链接
-第二讲作业
-4.1 问题的提出
-4.2 选择新投影面的原则
-4.3.1 点的投影变换规律——点的一次换面
-4.3.2 点的投影变换规律——点的二次换面
-4.4.1 四个基本问题（一）
-4.4.2 四个基本问题（二）
-4.5.1 工程问题应用（一）
-4.5.2 工程问题应用（二）
-4.5.3 工程问题应用（三）
-第4章课件
--外部链接
-第三讲作业
-5.1 体的投影——视图
-5.2.1 基本体的三视图（一）
-5.2.2 基本体的三视图（二）
-5.2.3 基本体的三视图（三）
-5.2.4 基本体的三视图（四）
-5.2.5 基本体的三视图（五）
-5.2.6 基本体的三视图（六）
-第5章课件
--第5章课件
-第四讲作业（1）
-6.1 轴测图概述
-6.2.1 正等轴测图（一）
-6.2.2 正等轴测图（二）
-6.3 斜二等轴测图
-6.4 轴测剖视图
-6.5 轴测图的徒手绘图
-第6章课件
--第6章课件
-第四讲作业（2）
-7.1 二维绘图的基本功能和工作界面
-7.2 基本操作方式
-7.3 常用命令介绍
-7.4 辅助绘图功能和图形的显示控制
-7.5 尺寸标注
--7.5 尺寸标注
-7.6 绘图步骤（实例）
-7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
--7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
-7.8 零件建模
--7.8 零件建模
-7.9 装配建模
--7.9 装配建模
-8.1 回顾与思考
-8.2 平面与平面体相交
-8.3 平面与回转体相交（一）
-8.4 平面与回转体相交（二）
-8.5 应用实例
--8.5 应用实例
-8.6 本章小结
--8.6 本章小结
-第8章课件
--外部链接
-第六讲作业
-9.1 平面体与平面体相贯
-9.2 平面体与回转体相贯
-9.3.1 回转体与回转体相贯（一）
-9.3.2 回转体与回转体相贯（二）
-9.3.3 回转体与回转体相贯（三）
-9.4 多体相贯
--9.4 多体相贯
-第9章课件
--课件
-第七讲作业
-10.1 组合体的组成方式
-10.2.1 组合体的画图方法（一）
-10.2.2 组合体的画图方法（二）
-10.3.1 组合体的读图方法（一）
-10.3.2 组合体的读图方法（二）
-10.3.3 组合体的读图方法（三）
-10.3.4 组合体的读图方法（四）
-第10章课件
--外部链接
-第八讲作业
-11.1.1 视图（一）
-11.1.2 视图（二）
-11.2.1 剖视图（一）
-11.2.2 剖视图（二）
-11.2.3 剖视图（三）
-11.2.4 剖视图（四）
-11.3 断面图
--11.3 断面图
-11.4 规定画法和简化画法
-第11章课件
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-第九讲作业
-12.1 尺寸标注的基本要求与规则
-12.2 组合体的尺寸标注方法
-12.3 尺寸的清晰布置
-12.4 尺寸的合理标注
-12.5 典型结构的尺寸标注
-第十讲课件
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-第十讲作业
-13.1.1 螺纹及螺纹紧固件（一）
-13.1.2 螺纹及螺纹紧固件（二）
-13.1.3 螺纹及螺纹紧固件（三）
-13.2 键、花键、销
-13.3 齿轮
--13.3 齿轮
-13.4 弹簧
--13.4 弹簧
-13.5 滚动轴承
-第十一讲课件
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-第十一讲作业
-14.1 零件图概述
-14.2.1 视图选择与绘制（一）
-14.2.2 视图选择与绘制（二）
-14.3.1 技术要求（一）
-14.3.2 技术要求（二）
-14.3.3 技术要求（三）
-第十二讲课件
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-第十二讲作业
-15.1 装配图概述
-15.2 装配图的基本规定
-15.3 视图选择及画图方法
-15.4 装配图的标注
-15.5 装配结构的合理性
-15.6 读装配图
-第十三讲课件
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-第十三讲作业
-总复习
--总复习
