4.3.1 点的投影变换规律（一）在线视频

第三个知识点 点的投影变换规律

点呢是最基本的几何元素

和前面学习方法一样

我们首先从最简单的点来研究这个投影变换规律

然后再扩展到线和面

点的投影变换规律

是后面线和面投影变换的基础

严格意义上来讲呢

对于点的这个变换呢

从实际应用来说没有任何意义

大家想一想 空间一个点

那么我们在任何投影面体系当中

它点的投影还是点

没有什么特定的意义

但是我们讨论点的这个投影变换呢

主要是想了解这个点的投影变换规律是什么

然后呢我们利用这个规律

对其他几何元素进行研究

那么比如说直线 平面

因此我们把点呢 扩展到两个点就可以研究线

扩展到三个点就可以研究面

这样我们就可以对线和面

进行更进一步的研究和了解

所以说我们的点的投影变换规律

是后面线和面投影变换的基础

好 第一个问题

我们来研究点的一次换面

首先新建一个投影面体系

怎么建立 那么我们看一下这个直观图

大家简单回忆一下

点在两投影面体系VH中的投影

在原投影体系中呢 这是V面 这是H面

这交线呢 是X轴

这两个投影面呢 是相互垂直的

那么这是一个空间的A点

分别向V面和H面做垂线

我们就得到了点的正面投影小写的a'

和水平投影 小写的a

那么我们重点讨论在原投影面体系当中

增加一个新投影面体系P1

新增加的投影面P1呢

必须要垂直于原来的某一个投影面

那么这里面呢 我们垂直于H面也就是水平面

大家想一想 我们现在P1面是代替了哪个面

是V面呢 还是H面呢

是不是V面 我们这里是代替了V面

这个新增加的投影面呢

P1呢和H是垂直的

两者呢 相交

交线呢 我们称之为X1轴

这样呢 P1面和H面呢

就构成了一个新的两投影面体系

和前面讲的点的投影规律一样

我们过空间A点向新投影面P1做垂线

那么得到一个在P1面中的投影a1

这个X1轴呢 我们和空间的A点水平投影小写的a

以及P1投影面内的投影a1所在平面的交点呢

我们称之为ax1

这里有一系列的概念出来了

那么对于点的一次换面而言呢

我们知道这个大写的字母A呢

我们称之为空间点

那么这个点A 它的正面投影a'

对于这个新投影面体系P1 H而言

我们称之为被代替的投影

空间A点在水平面内的水平投影呢

a呢 对于这个新投影面P1和H而言呢

我们称之为被保留的原投影

这个X轴呢 我们称之为原投影轴

这个空间A点在新投影面P1当中的投影a1呢

我们称之为新投影

新投影面P1和H面的交线呢

我们称之为新投影轴

我们这里需要注意的是

进入投影变换之后呢

我们这个新投影面呢

我们不再用V H W等符号表示

我们而是用大写的P以及下标阿拉伯数字来表示

也就是说 一次换面我们用P1来表示

二次换面新建的投影面我们用P2表示

那么呢 它的轴呢

相应的我们也不再用X Y Z等符号来区分

我们大写的字母X加上阿拉伯数字作为下标

X1表示一次换面的轴 X2表示二次换面的轴

依次类推 同样的道理

这个投影我们也不用' ''来区分了

那么我们用小写的字母

然后加上阿拉伯数字作为下标进行表示

这个例子里面是小写的字母a加上下标1

那么二次换面呢

就是用小写字母a加上阿拉伯数字2作为下标

这里是要给大家注意的

那么这个新投影面体系建立之后呢

三个投影面之间的关系我们称之为什么呢

这个面呢我们称之为被代替的投影面

那么里面的投影呢 我们称之为被代替的投影

这是被保留的原投影面

那么这里面的投影呢

我们称之为被保留的原投影

这是新投影面

这里面的投影呢 我们称之为新投影

和前面一样 直观图不是我们的目的

我们这门课重点是研究投影图

就是一个从空间向平面转换的过程

我们要把这个图给展开

那么怎么展开

这是一个原投影面体系

那么我们简单回忆一下

那么在V H面展开过程是怎么展开的

我们是将V面保持不动

这个H面呢绕X轴呢旋转

旋转到什么程度呢

旋转到和V面共面的时候

那么我们获得了这个展开的投影图

那么我们简单回忆一下

在这个原V H两投影面体系当中呢

一些点的投影规律

点的正面投影和水平投影的连线

垂直于这个X轴

那么这个点的正面投影

到X轴的距离 等于空间这个点

到水平面的距离

点的水平投影到X轴的距离等于什么

等于空间这个点到正面的距离

好 这个很简单

我们重点讨论一下

新增加投影面P1之后它是如何展开的

我们把新的投影面呢 是绕着X1轴进行旋转

旋转到什么程度呢

旋转到和H面共面的时候为止

我们怎么把它展开

大家注意

写的时候我们是绕着这个X1轴进行展开

X1轴 这时候写的时候一定要把符号写全了

上面呢是H面 下面呢是P1面

这个H面代表了什么呢

我们一看这个投影图我们就知道

H面呢 是被保留的原投影面

那么P1呢 代表了这是新投影面

所以大家在这个展开的过程中呢

一定要把这个符号写全

那么这是X1表示这个轴

这是被保留的原投影面

这呢是代表了新投影面

那么这样呢 符号一写呢

大家就一目了然

哪个是被保留的 哪个是新投影面

哪个是被代替的 这两个一对比就知道

它代替的是V面

好 这个呢 一定要写全

那么特别是投影变换次数多了

同学们往往容易混淆哪个是新投影面

哪个是被保留的投影面

哪个是被代替的投影面

怎么样才能不混淆呢

就是把这三个符号给我写全

那么呢 时刻提醒自己

它有什么规律呢 我们在展开过程中

那么和点的投影规律是一样的

由于我们旋转过程中是绕这个X1轴旋转的

所以这个点的新投影a1和被保留的原投影

水平投影a 之间的连线呢

必然垂直于这个新投影轴X1

所以说这个a1呢必然落在这个X1的垂线上

具体在哪 那么我们再看一下

这个直观图中相对关系

好 那么在直观图中这三个是不是相等的

都是表示了空间这个A点到水平面的距离

对应着投影图呢 大家看一看

那么代表了这一段距离

也就是说新投影a1到新投影轴X1的距离

是不是等于被代替的投影a'到原投影轴X

之间的距离

通过这段距离我们就可以确定它的投影a1

我们就可以得到这个距离

我们简单回顾一下

在展开过程中 我们点的投影变换规律是什么

新投影和被保留的原投影之间的连线呢

是垂直于我们这个新投影轴

第二个呢 就是新投影到新投影轴的距离呢

是等于我们被代替的投影到原投影轴的距离

是不是这两个规律

好 那么我们通过直观图呢

可以加深大家对这两个规律的记忆

这两个规律呢 是我们后面解题的基础

我们简单总结一下这个例子

那么在旧投影体系V H当中呢

我们这个投影呢是a水平投影 a'正面投影

在新投影体系当中呢

这两个新投影面呢是P1和H

空间这个点的投影呢

我们称之为就是水平投影a 就是新投影a1

那么对于这个新投影体系而言呢

那么这个点呢 正面投影呢

我们称之为被代替的投影

水平投影呢 我们称之为被保留的投影

这个新投影呢 我们称之为新投影

这里呢 我们大家一定要注意符号怎么写

那么我们简单来回顾一下

这个点的投影变换规律

新旧投影之间呢到底有什么关系呢

我们通过图上可以看到

新投影和被保留的原投影之间的连线呢

是垂直于这个新投影轴的

第二个呢 那么这个新投影到新投影轴的距离呢

等于被代替的投影到原投影轴的距离

用文字表达是这样的

点的新投影和被保留的原投影之间的连线呢

必垂直于新投影轴

第二个规律呢

点的新投影到新投影轴的距离呢

等于被代替的投影到原投影轴的距离

实际上在工程制图中

我们往往是更多的是利用这个投影规律进行作图

那么我们简单利用这个点的投影规律作一下图

那么投影规律是怎么作图的呢

我们首先第一步是作一个新投影轴

这时候呢希望大家一定要把符号写上

这是X1轴 这是H面 被保留的投影面

这是P1面 新投影面

这时候还看不出来

那么呢 到后面呢 大家就会看出来

一定要把这个写出来的好处

第二步呢我们要作这个新投影轴的垂线

我们过这个被保留的投影

水平投影a作这个X1轴的垂线

那么这个新投影一定是在这条垂线上

具体在哪呢 我们要去度量

度量的原则是什么

是这个新投影到新投影轴X1之间的距离

那么等于被代替的投影a'到这个原投影轴X

之间的距离

大家量距离的时候啊 我希望大家使用分规去量

千万不用尺子去量

为什么不能用尺子去量呢

因为尺子值啊 大家容易读偏

比如说上面量了个31mm

诶 你到下面一来量 读数一看错

诶 量成了21mm

那就差别很大

以往呢 经常发现量错了

后来问大家原因呢

可能很多人就是用尺子量的

所以我这里建议大家一定是用分规去量

这样保证这个量的距离 不会量错

第二个 我们怎么作图

就是作一条垂线在上面量取一定的距离

那么通过这个呢

我们就可以获得它的点的一次换面的投影a1

我们这里描述表述为什么呢

由点被保留的原投影向新投影轴作垂线

并且在垂线上呢 量取一段距离

使这段距离呢 等于被代替的投影

到原投影轴之间的距离

我们就可以作出这个点的一次换面的投影

这就是点的一次换面的内容

这也是我们这一讲内容的基础

请大家熟练掌握