5.2.2 基本体的三视图（二）在线视频

下面研究棱锥

先来看一下棱锥的组成

棱锥是由一个底面和若干个侧棱面组成的

底面的多边形的边称之为底边

侧棱面和侧棱面的交线称之为侧棱线

这些概念跟棱柱的是类似的

那么棱锥和棱柱不同的是

棱锥的各条侧棱线它实际上是交于一点

它是汇聚的

这一点我们称之为锥顶

棱锥的底面一般是平面多边形

而棱锥的各个侧棱面都是三角形

我们大家熟知的金字塔

它实际上就是棱锥

棱锥的三视图的画法

跟棱柱的三视图的画法的过程应该是类似的

它也是要画出棱锥的各个表面的投影

首先我们将棱锥放置在三投影面体系里头

现在一个三棱锥为例来介绍一下它的画法

这个三棱锥是怎么摆放的呢

我们将它的底面平行于H面

所以它是一个水平面

并且使它底面的后侧的底边垂直于W面

所以呢后面那个底边实际上是侧垂线

在这种情况下我们来研究画法

画图的第一步首先也是画出三棱锥的特征视图

三棱锥的特征视图是俯视图

所以我们先来作出俯视图

先作俯视图里头三棱锥的底面的投影

再来作三个侧棱面的投影

因为底面是水平面

所以俯视图直接画底面的三角形的实形

然后下面只需要画出三个侧棱面

那这三个侧棱面因为都是三角形

每个三角形的两个顶点都知道了

还有一个顶点是锥顶

所以我们只需要把锥顶的位置确定了以后

就可以得到三个侧棱面的水平投影了

假设我们三棱锥的底面 三个顶点分别是abc

假设锥顶的位置是在图示所在的位置

那这个时候过锥顶分别连接a b c

sa sb sc就是三个侧棱线

这儿的三个三角形分别就是三个侧棱面的投影

因为这个时候锥顶是在上面

属于上小下大 所以三个侧棱面都是可见的

因此三个侧棱线也是可见的

这就是三棱锥的俯视图

下面我们再画三棱锥的主视图

也是依次画出每个面的投影就可以了

先画底面的投影

底面是水平面 所以在主视图上积聚为直线

它的长度跟俯视图三角形abc的长度

是对应相等的

然后再画出锥顶的位置

定出锥顶的位置以后

直接连接锥顶和底边的三个顶点

这样就得到了三棱锥的主视图

再利用三等关系我们画三棱锥的左视图

用同样的方式先画底面的投影

并且满足 宽度相等的关系

这样的话我们可以把abc

它的侧面投影也标示出来

从这个图里头我们可以看到

ac它是一条侧垂线

所以它在侧面的投影积聚在这个点上

再把锥顶的侧面投影画出来

锥顶的侧面投影

跟它的正面投影是高平齐的关系

所以过s'作一条水平线

然后从俯视图度量出s点到ac的距离

确定出s'' 的位置

再连接s''与a'' b''就作出了三棱锥的左视图

那么我们可以看出来在这个里头

s'' a'' c''这个侧棱面的投影

它实际上是积聚的

因为SAC这个侧棱面

它其中有一条边AC是垂直于W面的

所以这个面是侧垂面

它在侧面的投影是积聚的 一条直线

下面我们把多余的线擦掉

就完成了三棱锥的三视图

大家在画图的时候

如果熟练是可以不用标字母的

下面我们研究如何在棱锥面上画出点的投影

现在已知有一个点是棱锥面上的点

这个点是K点已知K点的正面投影

要求K点的水平投影和侧面投影

解决这个问题呢跟前面的思路是一样的

首先要确定K点的位置

看它位于棱锥的哪个表面上

根据K点的正面投影观察可以看到k'

实际在s'b'c'这个三角形里头

所以它是位于这个侧棱面里头的

那么在这个空间实际上

它也可以说是位于s'a'c'这个三角形里

那到底它应该是属于哪个侧棱面上呢

我们注意看到k'实际上是没打括弧的

说明它是从前往后的时候投射是可见的

而侧棱面SBC和SAC这两个侧棱面里头

SBC是可见的

因此我们可以肯定

K点是位于SBC这个侧棱面上

这个是K点在三棱锥上的模型图

好那下面我们就可以求出它的水平投影了

因为K点是位于SBC这个平面上的

所以还是可以用面上取点的方法来求解

只需要在SBC里头经过K点

作一条辅助直线就可以完成了

作这个辅助直线的方法很多

比如说我们这样画一条

这个线是怎么作的呢

它实际上经过k'点作的这一条直线

使得它与b'c'平行

而b'c'它的水平投影是已知的

那这条辅助线的方向我们是已知的

我们只需要定出这条辅助线上的

一个点的投影就可以了

那这条辅助线它实际上和s'c'有交点

那这个交点的水平投影

仍然落在SC的水平投影上

找到这个交点的水平投影以后

再来作bc的平行线辅助线就作出来了

然后把K点的水平投影直接投射到上面

就得到了K的水平投影

K的侧面投影呢

就利用点的三等关系来求解就可以了

首先高相等画一条水平线过去

然后再度量出K的水平投影到ac的距离

然后就确定出来k''的位置了

现在再来判断k和k''是否可见

从上往下看SBC这个面是可见的

所以k点是可见的 k不用打括弧

从左往右看呢我们注意到

SBC这个侧棱面会被SAB这个侧棱面遮挡

因此呢k''应该是不可见的

所以我们需要打上括弧

那么在作图的过程中

需要确定点的位置时所作的这个辅助线呢

希望大家画图的时候仍然保留下来

这是利用平行性作的辅助线

我们也可以利用面上现有的顶点来作辅助线

比如说连接s'k'并延长与b'c'相交

求出交点的水平投影

那这一条辅助线的水平投影就求出来了

然后在辅助线上定出K点的水平投影

刚才我们已经举了一个例子

怎么样在棱锥面上取点

下面看一下一个稍微复杂一点的例子

怎么样在棱锥表面上取线

也就是棱锥面上取线的问题

这是一个三棱锥已知其表面有一条折线MNK

这条折线由直线MN和直线NK组成

现在已知折线的正面投影

需要求解MNK的水平投影和侧面投影

那实际上要求出它的水平投影和侧面投影

只需要把MNK这三个点的水平投影和侧面投影

求出来以后连接起来就可以了

我们先来分析一下

M点在什么地方呢

M点是位于SA这条侧棱线上的

而SA的水平投影和侧面投影都是已知的

所以相当于说它已经能求出来了

N点在什么地方呢

N点是在SB这条侧棱线上

它同样能求出来

K点在哪个位置呢

K点因为它的正面投影没打括弧

所以我们可以确定出

K点是位于SBC这个侧棱面的

那我们看一下在模型上这个折线的位置

应该是这样的

下面我们作图

先作M点的水平投影和侧面投影

M点的水平投影应该是位于SA的水平投影上面

所以M点的位置在这儿

侧面投影同样也落在s''a''上

N点的水平投影和和侧面投影

我们先求哪个比较方便呢

因为N是位于SB这条直线

SB是条侧平线

所以如果我们要求N点水平投影的话

相对来说麻烦一点

因为它需要作出相似三角形

然后才能确定出N点的水平投影

那我们来看看如果直接求出它的侧面投影

是否方便一些

因为SB已经知道了

所以我们可以直接投射这样得到了n''的位置

然后根据N点的正面投影和侧面投影

很快就能确定出N点的水平投影

度量这一段保持相等的关系

就可以定出N点的位置

K点的求法和我们前面讲的例子是类似的

需要在SBC里头作辅助线来确定

同样我们可以作一条平行于底边的直线

把这条直线的水平投影求出来

然后把K点的水平投影

向这条辅助线的水平投影投射

就得到了K点的水平投影

K点的侧面投影

根据K的三等关系就可以求出来了

这个是K点的侧面投影它所在的点的位置

那我们看一看这个K是否可见

从上往下投射K点是可见的

从左往右投射这个K是不可见的

所以我们在这要把k''括起来

求出三个点的两面投影以后直接连线就可以了

连线的时候要注意一下可见还是不可见

不可见的线是画虚线可见的画实线

MN直线的水平投影呢

它应该是可见的

因为它位于可见的棱面上

所以我们用粗实线连接mn

NK这条直线呢它位于SBC这个棱面上

而SBC它的水平投影也是可见的

所以NK的水平投影也可见

MN的侧面投影从左向右投射

SAB这个侧棱面它是最左侧的棱面

所以它应该可见

所以mn也应该画粗实线

NK它是位于SBC上应该是被遮挡的

所以n''k''应该画虚线

这样就完成了这条折线的两个投影的作图

通过我们刚才举的棱柱和棱锥的例子

我们归纳一下平面体投影它的一个特点

我们在画投影图的时候

大家要注意一下它要满足的一个核心条件

是要满足三等关系

同时还要注意方位对应关系

画图的时候我们是通过

画出这个体的每个表面的投影

然后确定这个体的投影的

所以各个表面的投影

它应该符合平面的投影特性

而对于平面来说它的空间位置可以分为

投影面平行面 垂直面和一般位置平面

这三类位置的平面它的投影特性呢

要么是积聚成直线要么是类似图形或者是实形

在进行平面体表面取点的作图的时候呢

采用的方法主要是平面内取点的方法

画完图以后我们要注意检查一下图形

特别注意当体的表面有投影面垂直面的时候

一定要满足有类似性这个要求

尤其要注意三等关系的满足

这个三等关系的满足

一方面是整个形体的三等关系的满足

另外还有形体上局部的

比如说形体上的平面 直线的三等关系的满足

重点要检查一下是否有漏线的情况出现还要检查可见性