4.5.1 工程问题应用（一）在线视频

那么下面我们讲第5个知识点

工程的实际应用

在实际工程中呢

我们往往有大量的求解实形 实长 夹角

这一类定形 定位 度量的问题

那么比如说求两个异面管子之间的距离

求两个空间的合力和分力

求物体上某个斜面的大小

两个倾斜面之间的夹角

机构的运动范围等等

那么这一类度量和定位问题

那么遇到这类问题呢

我们第一步是将这个实际的物体

抽象为空间的点线面

第二步 我们运用图解法求解所需的结果

当然所求的几何元素

往往是处于投影面的一般位置

这时候呢我们不能直接从投影上

获得我们所需的物体的

真实的形状 距离以及角度等等

这时候呢我们往往需要投影变换

把这个一般位置的几何元素

转换为投影面的特殊位置

利用积聚性和实形性进行求解

换面法解决这类问题的关键是

首先进行空间分析明确换面法的换面目标

那么第三步我们将所需的几何问题

转换为四个基本问题中的

某一个问题进行求解

这四个基本问题呢

就相当于四把钥匙

那么针对不同的问题呢

就相当于开不同的锁

那么我们就需要用不同类型的钥匙去开

第四步呢我们进行分析投影并作图

分析投影过程中我们往往要确定这个投影轴

那么特别对于换面法而言

我们要把换面法所获得的结果

返回到原投影体系当中

这时候返回结果是我们的一个难点

我们这时候要综合利用

这个几何元素的投影特性进行返回

所以对这部分题目而言

那么对大家来说空间分析

和投影分析的要求呢要高

如果空间分析不对或者投影分析不对

或者你对几何元素的投影特性不熟悉呢

可能半天找不到答案

如果你空间分析对了

作图很快就能顺利解决问题

所以在解决这类问题之前

首先提醒大家要熟练掌握点的投影变换规律

四个基本问题以及几何元素的投影特性

我们来看第一个例子

比如某个同学毕业之后开始创业

那么在郊区新开了一家工厂

工厂开完之后那么大家第一件事

肯定是通路 通电 通水

那么创业初期呢经费是比较紧张的

大家总是希望这条路呢尽可能短

电网呢所用的电缆尽可能的少

水管呢也尽可能的短

实际上呢这三个问题呢

我们都可以转换为工程制图中来解决

那么在这个过程中呢

我们可以将这个工厂抽象为一个点

主管道我们可以抽象为一条直线

问题呢就转化为求空间一个点

到直线的垂足和距离

好 那么我们可以看这个例子

求K到直线AB的垂足和距离

经过题目我们可以知道

过点K作直线和AB垂直相交

那么并且求这段实长

拿到这类题目我们首先就要空间分析

空间分析往往是解决问题的关键也是解题的重点和难点

空间想对了你再去作图 作图本身就不难

难就难在空间分析

对于换面法而言 最忌讳的就是拿到题目就开始思考如何作图

正确的方法是首先进行空间分析

如果空间分析对了 那么问题就能够迎刃而解

达到事半功倍的效果 如果空间分析不对

那么可能百思不解 事倍功半的效果

这也是工程制图的特点 在作图之前

我们必须要对作图的结果有个预测 而不是边作图边思考

也就是说在作图之前我们要对题目进行空间分析

空间分析是我们这门课的重点

往往也是同学们感到困难的地方

我们这节课重点就是培养大家空间分析的能力

希望大家好好体会我们下面空间分析的方法和过程

请问大家什么时候能够反映这个KL的实长

第一种情况如果AB是投影面的垂直线的时候

KL就是投影面的平行线

换句话说我只要AB变换成投影面的垂直线

AB在这个新投影面内呢 就积聚成一个点

同时AB的垂线呢 KL呢

就变换成投影面的平行线

连接这个K L在投影面的投影

就是两个点的连线

KL在新投影面内就反映实长

这是不是一种解题的方法

那么我们就沿着这个解题思路进行解决

第二个问题如何将这个AB

转换为投影面的垂直线

AB是一般位置直线

我们需要将AB转换成投影面的垂直线

那么这是四个基本问题当中的第二个问题

需要几次换面 需要两次换面

第一步我们将一般位置直线

转换成投影面的平行线

第二步呢 我们再将投影面的平行线

转换成投影面的垂直线

第二个问题 换掉哪个面

如果不考虑空间换掉V面 H面都可以

但是考虑到作图空间

我们这里面只能换掉V面

下面我们讲一下投影分析并且进行投影作图

投影作图的第一个重要的问题就是

如何确定新投影轴的方向

请大家结合这个点的投影变换规律

以及几何元素投影特性分析一下

好第一步我们需要将AB变换成投影面的平行线

如果AB变换成投影面P1的平行线

那么AB在水平投影内

那么小写的ab呢必然平行于新的投影轴X1

也就是说X1要平行于我的水平投影ab

所以针对换面法我们需要强调的是

大家对这个直线的平面的投影特性要特别熟悉

这是我们解题的基础

好我们就确定了这个X1轴

同样我们要写上符号

这是被保留的投影面H 这是新投影面P1

这是被代替的投影面V面

这些符号我们都要写出来

我们已经反复强调大家了

时刻提醒大家特别是量距离的时候不要量错

好 如何作图我们可以利用

点的投影规律迅速作图

过水平投影a作X1轴的垂线

同时呢在上面取的距离是

新投影a1到X1轴的距离等于a'到X轴的距离

这段等于这段

那么我们可以得到a1

同样道理我们可以得到b1

我们连接a1 b1就得到它的这个线段AB的投影

同时在投影变换的过程中呢

我们要提醒大家我们这个投影

变换的时候要一起变换过来

K点呢要变换过来

假如K点不变过来 在新投影面体系P1 H中

就不满足点的投影规律

可以利用同样的规律

过k点作X1轴的垂线

同样k1点肯定在这条垂线上

具体在哪呢

我们量一下距离

是k1到X1轴的距离等于k'到X轴的距离

好 我们可以得到k1

这样我们就得到这个一次换面

那么第二步呢我们再将AB变换成

投影面的垂直线

同样问题如何确定这个新的投影轴X2

同样我们请大家结合一下前面学习的知识

我们知道AB变成投影面P2的垂线的时候

那么AB在P1面的投影呢

必然是垂直于这个新投影轴X2的

也就是X2要垂直于这个a1b1

好我们可以迅速确定X2

那么通过符号同样要写出

这是P1被保留的原投影这是P2新投影

然后被代替的投影是H

我们同样利用点的投影规律进行迅速做题

过被保留的原投影作X2轴的垂线

那么在这上面然后量取距离

a2到X2轴的距离等于a到X1轴的距离

b1呢肯定也积聚在这一点

这个直线是积聚的

好 积聚用三等号

我们可以得到a2 b2

同样道理我们过k1作X2轴的垂线

那么也肯定在这上面

具体在哪

我们利用k2到X2轴的距离等于k到X1轴的距离

我们可以得到k2

这样我们就将AB转换为投影面的垂直线了

那么下面我们如何确定这个距离

或者是确定这个垂线

我们连接k2 a2

好 我们就可以得到k2 l2

因为AB是积聚的

所以这个l2肯定也积聚在这个a2b2上

同时通过我们刚才的分析

我们知道这个k2l2一定是平行于P2的

也就是说KL是投影面P2的平行线

所以KL在P2上的投影k2l2

一定是反映实长的 对不对

这就是我们要求的距离

换面法是帮助我们解决问题的一种方法

所以一般情况下我们还需要将投影结果

返回到原投影体系当中去

接下来的问题就是

我们如何将这个所求的结果

返回到原投影体系当中

这里往往是难点

那么我们可以利用的工具呢

就是投影变换规律

以及几何元素的投影特性

大家想一想这个l1在a1b1上的什么位置

那么这时候大家可以回忆一下

在两投影面体系当中

如果AB是投影面P2的平行线

那么在投影面P1的投影具有什么特点

那么在投影面P2内肯定是反映实长

在投影面P1内的投影

应该是和这个X2轴是平行的

具有这个特点

那么我们看一看这个直观图

这样呢 欸 我们就知道

k1l1是平行于我这个投影轴的

那么呢我们就可以迅速得到

它的这个l1的位置 欸 平行

k1l1平行于X2 好 这样呢我们就得到l1

水平投影如何返回

我们利用点的投影变换规律

新投影和被保留的原投影的连线

要垂直于X1轴 对不对

我们作垂线 X1轴的垂线 作回去

这样我们就可以得到它的水平投影l

那么正面投影呢我们利用点的投影规律

点的正面投影和水平投影的连线

垂直于X轴

好 我们可以获得正面投影

和点的水平投影连线垂直于X轴

这样我们就可以获得它的正面投影

这样呢我们就可以把题目解完了

返回到原投影体系当中了

通过这个例子呢 我们简单总结一下

那么第一个在求解问题后呢

我们往往需要把结果返回到原投影体系当中

能否正确的返回呢

往往是成功解题的关键

返回的过程中呢

我们往往需要综合运用

这个点的投影变换规律

以及几何元素的投影特性

希望大家熟练掌握

第二个就是要注意

换面法解题过程中的需要齐头并进

所谓齐头并进就是换回去和返回来的

各几何元素呢是要保证同去同回

不可以出现掉队现象

比如说你这个正面投影l'没有返回

那么呢这时候呢正面投影和水平投影呢

是不满足点的投影规律的

所以我们一定要保证同去同回不可掉队

这是这道题目的一种解法

这道题目有没有第二种解法呢

我们看一看 欸 我们还是进行空间分析

我们刚刚介绍过了

如果要求KL的长度

我们换面的目标就是将KL变成投影面的平行线

什么时候才能作出这个KL呢

那么除了AB是投影面的垂直线

有没有其他情况 大家想一想

假如这个三角形ABK变成投影面的平行面

那么这时候呢我们ABK内任何一条直线

都是投影面的平行线

也就是说我只要将ABK这个平面

变成投影面的平行面

那么我就可以在这个平面内

作出这个反映实长的线

这时候呢我只要在这个平面内呢

作一条直线KL垂直于AB

那么这个KL呢就是投影面的平行线

同时它也是反映实长

这是它的直观图

我只要将这个三角形ABK

转换成投影面的平行面

那么这个KL就是它投影面的平行线

这时候呢只要KL垂直于AB

那么它投影呢也是垂直的

如何将ABK转换为投影面的平行面

那么ABK呢是一般位置的平面

我们需要将ABK变换为投影面的平行面

将一般位置平面转换为投影面的平行面

需要几次换面

需要两次

第一次将一般位置平面变换成投影面的垂直面

第二次再将投影面的垂直面

转换为投影面的平行面

那么下面讲一讲如何利用投影分析进行作图

第一步将ABK变成投影面的垂直面

如何确定这个投影轴新方向是我们的重点

那么第一步呢是将ABK变成投影面的垂直面

我们利用前面学习过的构造一个平面

然后在这个平面内呢

我们找一个水平线BC

然后呢我们将这个水平线

转换为投影面的垂直线

那么这个平面呢也就转换为投影面的垂直线了

好 这时候怎么做

那么这个X1轴怎么确定

X1轴呢那么我们只要垂直于我们这个BC对不对

这个水平投影

被保留的原投影H面 新投影面P1面

这时候呢我们用点的投影规律

分别作图

b1呢到新投影轴X1轴的距离

等于b'到X轴的距离 对不对

那么我们可以这一段等于这一段

我们可以得到b1

同时呢c1也积聚在这的

同样道理我们可以过水平投影a作X1轴的垂线

这上面量取距离哪段等于哪段

a1到新投影轴X1的距离

等于被代替的投影a'到原投影轴X轴的距离

这一段等于这一段

好 我们可以得到a1

同样道理我们可以得到k1

同样过来这一段等于这一段

好 这是积聚

同样既然这个平面具有积聚这就是一条直线

好第二步我们再将这个投影面的垂直面

转换成投影面的平行面 怎么做

前面讲过了

我们就不再重复了

同样我们这个X2轴呢

要平行于这个a1b1 对不对

根据我们前面分析的特点

那么我们确定了X2轴

那么我们要写上它的符号

这是被保留的原投影面P1

这是新投影面P2

被代替的这时候代替的谁

代替的是H面 对不对

好 同样我们利用点的投影规律

去进行作图

分别作过a1作X2轴的垂线

具体在哪我们量距离

a2到X2轴的距离等于水平投影a到X1轴的距离

好 这一段等于这一段

我们可以得到a2 b2和k2

那么我们连接a2 k2

并作出b2c2

这样呢我们就可以把这个投影作出来了

通过两次换面我们就可以将三角形ABK

转换为投影面平行面

好 这时候我们如何求取k2 l2

那么由于ABK呢是投影面的平行面

所以ABK内任何一个夹角都反映实形

或者换句话说a2b2是投影面的平行线

根据直角投影定理 对不对

我们只要保证k2l2垂直于a2b2

那么空间就一定是垂直的 对不对

所以如何确定l2

我们只要过k2作a2和b2的垂线

我们就可以得到l2

这样我们就可以得到k2l2

同时KL也是投影面的平行线

所以k2l2也是反映实长的 对不对

所以k2l2的长度就是我们要求的距离

同样问题

我们如何返回到原投影体系当中

这时候呢我们利用点的投影变换规律

对于二次换面而言

点的新投影l2和点的被保留的

原投影l1之间连线

要垂直于X2轴

那么呢我们就可以获得l1

同样道理对于一次换面而言

点的新投影l1和l之间的连线

那么应该垂直于新投影轴X1

所以我们这样作出来可以得到它的水平投影l

好 利用点的投影变换规律

正面投影和水平投影的连线垂直于X轴

我们可以得到它的正面投影

好 这样我们连接可以得到KL

我们回忆一下 这道题目是如何一步一步求解的

求解这道题目过程中实际上我们用了逆向思维

空间过程分析中我们从结论出发

也就是我们这道题目的目标

通过换面法使得KL变换为投影面的平行线

这样在该投影面内KL就能反映实长

根据这个目标 我们分析题目给出的条件

题目中我们知道了直线AB和点K

那么为了使得KL变成投影面的平行线

我们可以将给出的已知线段AB变成投影面的垂直线

或者已知ABK变换成投影面的平行面

这就是我们空间分析的思路

我们简单总结一下

通过这个例子我们发现

建立了空间模型不一样

那么所进行的分析也是不一样的

利用的解题方法可能也不一样

那么可以归结为四个基本问题的也不一样

比如那么我们第一种解法

是将一般位置直线AB转换为投影面的垂直线

第二种方法我们是将一般位置平面

ABK转换为投影面的平行面

同学们通过这种多解的问题呢

可以提高大家的空间分析能力