当前课程知识点：工程制图 > 第二讲：第3章 几何元素间的相对位置 > 3.2.1 平面与平面相交 > 3.2.1 平面与平面相交
下面我们来学习几何元素间的相交问题
在这一节当中我们主要学习两类相交问题
分别是平面和平面相交
以及直线和平面相交的问题
首先我们来看平面和平面相交求交线的情况
在空间上当两个平面不平行的时候
他们必然相交 交线是两个平面的公有线
要求得两个平面的交线
我们需要求得两个平面的两个公有点
或者一个公有点及交线的方向
因此从这个意义上来说
求两个平面的交线的核心思想
就是要求出这两个平面的公有点
两个平面相交求交线一般分为两种情况
第一种情况 当相交的两个平面中
至少有一个平面处在特殊位置的时候
比如投影面的平行面
或者是投影面的垂直面的时候
在这时候我们可以利用积聚性
可以直接得到两个平面的交线
第二种情况 如果两个相交的平面
均处在一般的位置
在这个时候两个平面的公有点不能直接得到
在这个时候我们就需要借助辅助平面法
来求两个平面的公有点
首先我们来看第一种情况
当相交的两个平面中
至少有一个平面处在特殊位置的时候
如何利用积聚性来求它们的交线
下面我们来看一道例题
在例4中给出了由三角形ABC所确定的平面
和一个四边形平面求它们的交线
从给定的两个平面的正面投影可以看出
这两个平面都是投影面的正垂面
他们的正面投影积聚成一条直线
并且在正投影面上相交于一点
由于两个平面相交
它们的交线是它们的公有线
因此这两个平面的交线
也一定积聚在两个平面正面投影的交点上
在这里我们分别用k'和l'来表示
这样我们就得到了两个平面交线的正面投影
它是一条正垂线
根据正垂线的投影特性
我们可以知道这条交线的水平投影
一定在通过k'点与OX轴垂直的这条直线上
在这里我们给出的两个平面
都是由封闭的几何图形组成的
它们的交线应该是在他们投影的公共区域
因此我们可以得到交线的两个端点
分别是位于AB和AC的水平投影上
这样我们就得到了交线的水平投影
在得到了交线的投影之后
由于平面相交还存在着相互遮挡的情况
我们还需要判断两个平面的可见性
首先我们将两个平面不存在遮挡的轮廓
用粗实线连接表示它们是可见的
在两个平面重叠的区域
就需要我们来判断可见性了
在这道题当中两个平面的可见性
我们可以根据它们投影的特性
直观的判断出来
因为这两个平面都是投影面的垂直面
我们来看两个平面的正面投影
从它们的正面投影我们可以看出
从三角形的顶点a'到交线k'和l'处
这一部分是位于四边形平面的上部
因此这一部分在水平投影上应该是可见的
这样在水平投影上我们可以
将a和k用粗实线连接表示它是可见的
在通过了交点k以后因为被四边形遮挡
所以下面的这一段是不可见的
根据同样的方法我们可以依次得到
两个平面轮廓线的可见和不可见的关系
将可见的部分用粗实现连接
不可见的部分用虚线连接
这样可见性的判断就结束了
我们再来回顾这道题的解题过程
有两点大家需要明确
第一个两个平面的交线始终是可见的
我们应该用粗实线来连接
第二点大家需要明确的是
交线一般来说它是可见和不可见的分界点
因此大家在判断可见性的时候要注意检查
下面我们再来看一道例题
例5 在这里也是给出了两个平面
分别是由三角形ABC所确定的平面
和一个四边形平面来求它们的交线
根据给定的两个平面的投影
我们可以看出四边形平面的水平投影
积聚成了一条直线
这说明它是一个铅垂面
由于两个平面的交线是两个平面的公有线
因此我们可以知道这两个平面的交线
也一定积聚在平面具有积聚性的投影上
而且是两个平面投影的公有部分
也就是图中我们红色线段所表示的部分
这就是两个平面交线的水平投影
然后我们再根据线上找点的方法
可以找到这条交线正面投影的两个端点
连接这两个端点
我们就得到了两个平面交线的正面投影
同样由于两个平面还存在着相互遮挡的关系
我们还需要判断两个平面的可见性
首先我们将两个平面不存在遮挡的部分
用粗实线连接表示其可见
主要判断两个平面相互重叠的部分
轮廓线的可见性情况
在这里由于四边形平面的水平投影具有积聚性
因此两个平面
在水平投影面上的可见性是很明确的
我们只要判断
它们在正投影面上的可见性就可以了
根据两个平面的水平投影我们可以直观的看出
对于平面ABC来说
AB到两个平面交线的这部分图形
它是位于四边形平面的前方
因此这一部分在正投影面上应该是可见的
我们可以用粗实线将它连接起来
然后将被遮挡的部分用虚线来连接
按照这样的方法我们可以得到
两个平面其他轮廓线可见性情况
这样我们就完成了这两个平面相交求交线
以及它们的可见性判断
前面我们讲到的平面和平面相交
是至少有一个平面处在特殊位置的时候
如何利用积聚性来求交线的方法
下面我们来看第二种情况
当两个平面相交
如果两个平面都处在一般的位置
在这个时候它们的公有点不能直接的得到
我们需要利用辅助平面法
来求它们的交线
下面我们首先来看一下辅助平面法的基本原理
在空间上有两个一般位置的平面
P和Q相交 为了求得它们的交线
我们首先可以作一个辅助平面R
辅助平面与平面P和Q的交线分别是AK和BK
其中AK位于平面P上 BK位于平面Q上
它们的交点是K
K点就是平面P和平面Q的一个公有点
用同样的方法
我们可以再作另外一个辅助平面S
从而找到平面P和平面Q的第二个公有点L
连接K和L 我们就得到了平面P和平面Q的交线
这就是辅助平面法的基本原理
大家在运用辅助平面法求平面交线的时候
一定要注意一般我们应该选择
投影面的平行面或垂直面作为辅助平面
这样我们可以利用积聚性
来方便的求解它们的交线
我们来看一个应用辅助平面法
求两个平面交线的例题
在例6当中给出了两个平面
这两个平面分别是由平行线DE和FG
和三角形ABC所确定
由于给定的这两个平面都处在一般的位置
所以我们不能用积聚性来求它们的交线
我们需要用辅助平面法来求解
首先我们可以过C点来作一个水平面P
作为辅助平面
辅助平面P的正面迹线用Pv来表示
由于辅助平面P的正面投影具有积聚性
我们可以直接得到辅助平面P
和给定的两个平面的交线
我们分别用1' 2'以及3'和c'来表示
然后我们可以根据线上找点的方法
分别得到这两条交线端点的水平投影
1 2以及3和c 连接这两条交线的端点
并延长相较于k 这里得到的K点
就是给定的两个平面的一个公有点
根据同样的方法
我们可以再作一个水平面Q作为辅助平面
它的正面迹线用Qv来表示
同样的我们可以得到辅助平面Q
与给定的两个平面的两条交线
从而我们可以找到
两个平面的另外一个公有点L
连接K和L的水平投影和正面投影
我们就得到了两个平面的交线
这就是应用辅助平面法
求处在一般位置的两个平面的基本方法
-1.1 工程制图的应用背景
-1.2 课程性质和课程目标
-1.3 课程内容和教学要求
-1.4 学习方法
--1.4 学习方法
-1.5 制图国家标准简介
-1.6 投影的基本概念
-第1章课件
--外部链接
-2.1 点的投影
--2.1 点的投影
-2.2 直线的投影
-2.3 平面的投影
-第2章课件
--外部链接
-第一讲作业
-3.1 平行问题
--3.1 平行问题
-3.2.1 平面与平面相交
-3.2.2 直线与平面相交
-3.3 垂直问题
--3.3 垂直问题
-3.4 综合问题解题方法
-第3章课件
--外部链接
-第二讲作业
-4.1 问题的提出
-4.2 选择新投影面的原则
-4.3.1 点的投影变换规律——点的一次换面
-4.3.2 点的投影变换规律——点的二次换面
-4.4.1 四个基本问题（一）
-4.4.2 四个基本问题（二）
-4.5.1 工程问题应用（一）
-4.5.2 工程问题应用（二）
-4.5.3 工程问题应用（三）
-第4章课件
--外部链接
-第三讲作业
-5.1 体的投影——视图
-5.2.1 基本体的三视图（一）
-5.2.2 基本体的三视图（二）
-5.2.3 基本体的三视图（三）
-5.2.4 基本体的三视图（四）
-5.2.5 基本体的三视图（五）
-5.2.6 基本体的三视图（六）
-第5章课件
--第5章课件
-第四讲作业（1）
-6.1 轴测图概述
-6.2.1 正等轴测图（一）
-6.2.2 正等轴测图（二）
-6.3 斜二等轴测图
-6.4 轴测剖视图
-6.5 轴测图的徒手绘图
-第6章课件
--第6章课件
-第四讲作业（2）
-7.1 二维绘图的基本功能和工作界面
-7.2 基本操作方式
-7.3 常用命令介绍
-7.4 辅助绘图功能和图形的显示控制
-7.5 尺寸标注
--7.5 尺寸标注
-7.6 绘图步骤（实例）
-7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
--7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
-7.8 零件建模
--7.8 零件建模
-7.9 装配建模
--7.9 装配建模
-8.1 回顾与思考
-8.2 平面与平面体相交
-8.3 平面与回转体相交（一）
-8.4 平面与回转体相交（二）
-8.5 应用实例
--8.5 应用实例
-8.6 本章小结
--8.6 本章小结
-第8章课件
--外部链接
-第六讲作业
-9.1 平面体与平面体相贯
-9.2 平面体与回转体相贯
-9.3.1 回转体与回转体相贯（一）
-9.3.2 回转体与回转体相贯（二）
-9.3.3 回转体与回转体相贯（三）
-9.4 多体相贯
--9.4 多体相贯
-第9章课件
--课件
-第七讲作业
-10.1 组合体的组成方式
-10.2.1 组合体的画图方法（一）
-10.2.2 组合体的画图方法（二）
-10.3.1 组合体的读图方法（一）
-10.3.2 组合体的读图方法（二）
-10.3.3 组合体的读图方法（三）
-10.3.4 组合体的读图方法（四）
-第10章课件
--外部链接
-第八讲作业
-11.1.1 视图（一）
-11.1.2 视图（二）
-11.2.1 剖视图（一）
-11.2.2 剖视图（二）
-11.2.3 剖视图（三）
-11.2.4 剖视图（四）
-11.3 断面图
--11.3 断面图
-11.4 规定画法和简化画法
-第11章课件
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-第九讲作业
-12.1 尺寸标注的基本要求与规则
-12.2 组合体的尺寸标注方法
-12.3 尺寸的清晰布置
-12.4 尺寸的合理标注
-12.5 典型结构的尺寸标注
-第十讲课件
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-第十讲作业
-13.1.1 螺纹及螺纹紧固件（一）
-13.1.2 螺纹及螺纹紧固件（二）
-13.1.3 螺纹及螺纹紧固件（三）
-13.2 键、花键、销
-13.3 齿轮
--13.3 齿轮
-13.4 弹簧
--13.4 弹簧
-13.5 滚动轴承
-第十一讲课件
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-第十一讲作业
-14.1 零件图概述
-14.2.1 视图选择与绘制（一）
-14.2.2 视图选择与绘制（二）
-14.3.1 技术要求（一）
-14.3.2 技术要求（二）
-14.3.3 技术要求（三）
-第十二讲课件
--外部链接
-第十二讲作业
-15.1 装配图概述
-15.2 装配图的基本规定
-15.3 视图选择及画图方法
-15.4 装配图的标注
-15.5 装配结构的合理性
-15.6 读装配图
-第十三讲课件
--外部链接
-第十三讲作业
-总复习
--总复习
