当前课程知识点：工程制图 > 第二讲：第3章 几何元素间的相对位置 > 3.4 综合问题解题方法 > 3.4 综合问题解题方法
下面我们来介绍相对位置综合问题
前面我们所学习到的点 线 面投影的基本知识
和这些几何元素之间的平行 相交和垂直关系
它具有很强的工程应用背景
它可以用来解决我们在实际工程问题当中
所遇到的求距离 求实长 求角度 求轨迹
等综合类的问题
这样一类问题它们一般来说都比较复杂
大家在解题的时候可以遵循这样的思路
首先我们在面对一个复杂问题的时候
一定要从空间分析入手
能够在空间构建出它们的几何模型
并将这个空间的几何模型
与它们的投影特性相结合
然后逐一找到解决问题的方案
对于复杂的问题大家还可以引入轨迹法的思想
也就是我们可以将一个复杂的问题
把它分解成若干简单的问题
然后逐一找到这些简单问题解的集合
也就是轨迹
最后我们将这些集合综合起来求它们的交集
也就得到了我们求解复杂问题的最终答案
那么下面我们通过三道例题
里说明相对位置几何问题的求解方法
首先我们来看第一道例题
例17 求两平行线AB和CD间的距离
首先 我们来做空间分析
要求两条平行线之间的距离
我们就首先要找到这两条平行线之间的公垂线
如果我们能够做出一个平面与两条直线垂直
然后找到这个平面与两条直线的交点
那么交点的连线就是这两条直线的公垂线
最后我们只要求出这条公垂线的实际长度
就得到了两条平行线之间的距离
这就是我们解题的一个主要思路
下面我们来看一下具体的做图过程
首先我们过C点做一个平面
CⅠ CⅡ与直线CD相互垂直
作图的时候我们首先可以过C点做一条水平线
C1 使得C1的水平投影与CD的水平投影相互垂直
然后我们再过C点做一条正平线C2
使得C2的正面投影与CD的正面投影相互垂直
这样我们就得到了一个
与已知直线CD垂直的平面CⅠ CⅡ
第二步 我们求解直线AB和平面CⅠ CⅡ的交点E
这又是一个直线和平面相交求交点的问题
由于这里的直线AB
和平面CⅠ CⅡ是处在一般的位置
所以我们要用到辅助平面法来求它们的交点
在这里我们可以包含AB
做一个正垂面P为辅助平面
它的正面迹线用Pv来表示
根据辅助平面法求直线和平面交点的基本原理
我们可以得到辅助平面P
与平面CⅠ CⅡ交线的正面投影3'和4'
然后我们可以根据线上找点的方法
得到交线34的水平投影
这条交线与AB水平投影的交点
就是我们所求的直线AB和平面CⅠ CⅡ的交点E
连接CE我们就得到了两条平行线的公垂线
最后我们还要求出这条公垂线的实长
首先我们在正投影面上
找到CE在Z坐标轴上的坐标差ΔZ
以ΔZ来构建直角三角形的的一条直角边
然后以CE水平投影的长度来构建另外一条直角边
这样所构建出来的直角三角形的斜边
长度就是我们所求的平行线AB和CD之间的距离
下面我们再来看例18
作直线KL平行于△ABC 并且与直线EF相交
首先我们来做一下空间分析
这道题有两个约束条件
第一个约束条件 我们要过K点做一条直线
与已知平面ABC平行
满足这个条件的直线有无数条
它们的集合构成了过K点
并且与平面ABC平行的一个平面
这是我们得到的第一个子集合
第二个约束条件是
过K点作直线与EF相交
满足条件的直线也有无数多条
它们构成的集合就是由EF和K点作组成的平面
这样我们要得到这道题的最终答案
就是要将这两个子集合结合起来
求他们的交集所得到的交线
就是我们最后所求的直线KL
具体的作图过程如下
首先我们过K点作一条直线KM
平行于平面ABC上的直线BC
然后我们再做KN平行于直线AC
这样我们做出来的平面KMN
就和已知平面ABC是相互平行的
我们得到了第一个子集合
第二个子集合根据我们前面的分析
它实际上就是平面EFK
要求得这两个子集合的交集
也就是求这两个平面的交线
由于K点已经是两个平面的公有点
这样我们只要再求另外一个公有点
就能得到这两个子集合的交线
在这里我们包含EF做一个铅垂面为辅助平面
它的水平迹线用SH来表示
这样根据辅助平面法
求直线和平面交点的基本原理
我们可以得到辅助平面S与平面KMN的交线
这条交线与已知直线EF的交点
就是我们所求的两个子集合的另外一个公有点L
在求得L之后连接K和L的正面投影和水平投影
我们得到的直线KL就满足题目的要求
最后我们再来看一道例题
例19 作与平面ABC距离为L的点的轨迹
首先我们来做一下空间分析
与平面距离为L的点的轨迹是什么呢
实际上与平面ABC距离为L点的轨迹
是一个与平面ABC相互平行
并且距离为L的一个平面
要做出这样的平面
首先我们需要做一条直线与平面ABC垂直
然后在直线上取一点
使得该点到平面ABC的距离为L
然后通过该点我们做一个平面与ABC平行
这样做出来的平面就满足题目的要求
我们作图的思路是这样的
首先我们作平面的垂线
然后找到垂线的实长
在实长上取距离为L的点
最后通过该点作与已知直线ABC平行的平面
具体的作图过程如下
首先我们过B点做一条水平线B1
使得经过B点的直线的水平投影
与B1的水平投影相互垂直
然后我们在平面内做一条正平线A2
使得经过B点的直线的正面投影
与A2的正面投影相互垂直
这样我们就得到了一条与平面ABC垂直的垂线BK
接下来我们就要求出BK的实长
首先我们以BK在Z坐标轴上的差ΔZ
构建第一条直角边
然后以BK水平投影的长度来构建第二条直角边
由此构建出的这个直角三角形的斜边
就是垂线BK的真实长度
然后我们在斜边上取直线为L的线段
这样我们就能在垂线BK上找到一点A1
A1到平面ABC的距离就为L
最后我们只要通过A1点做一个平面
与已知平面ABC平行就可以了
首先我们作A1B1和AB平行
然后我们可以做A1C1和AC平行
连接C1和D1这样我们得到的平面A1B1C1
就与已知平面ABC相互平行
这样就满足我们题目的要求
在这里我们做出的平面A1B1C1
是位于已知平面ABC的上方
实际上在平面ABC的下方对称的位置
还有另外一个满足题目要求的平面
所以这道题一共有两个解
最后我们再给大家介绍一个概念
平面上的最大斜度线
平面上的最大斜度线是
平面上与投影面夹角最大的直线
我们来看这张图
图中给出了水平投影面H和平面P
在平面P上的直线LK就是平面P上的最大斜度线
对于平面的最大斜度线来说
它与平面上投影面的平行线是相互垂直的
在这张图当中 平面P上有一条水平线AB
AB和最大斜度线LK是相互垂直的
而且最大斜度线与其投影的夹角
就是平面和投影面的夹角
在这个图中我们可以看出
最大斜度线LK和它的水平投影
lk的夹角α就是平面P和水平投影面的夹角
关于平面上的最大斜度线
在这里我们就不做详细的讨论
大家可以在课后自学
下面我们对相对位置综合问题来进行下小结
前面所学习到的点 线 面投影的基本特性
和他们之间的平行 相交和垂直关系
是我们解决复杂问题的基础
大家在面对复杂问题的时候
我们首先要从空间分析入手
来构建具体问题的空间模型
然后再来分析它的投影特性
对于复杂的问题
我们首先可以把它分解成若干简单的问题
在得到了这些简单问题的解答之后
我们最后加以综合就得到了复杂问题的答案
到这里我们第三章的学习就结束了 谢谢大家
-1.1 工程制图的应用背景
-1.2 课程性质和课程目标
-1.3 课程内容和教学要求
-1.4 学习方法
--1.4 学习方法
-1.5 制图国家标准简介
-1.6 投影的基本概念
-第1章课件
--外部链接
-2.1 点的投影
--2.1 点的投影
-2.2 直线的投影
-2.3 平面的投影
-第2章课件
--外部链接
-第一讲作业
-3.1 平行问题
--3.1 平行问题
-3.2.1 平面与平面相交
-3.2.2 直线与平面相交
-3.3 垂直问题
--3.3 垂直问题
-3.4 综合问题解题方法
-第3章课件
--外部链接
-第二讲作业
-4.1 问题的提出
-4.2 选择新投影面的原则
-4.3.1 点的投影变换规律——点的一次换面
-4.3.2 点的投影变换规律——点的二次换面
-4.4.1 四个基本问题（一）
-4.4.2 四个基本问题（二）
-4.5.1 工程问题应用（一）
-4.5.2 工程问题应用（二）
-4.5.3 工程问题应用（三）
-第4章课件
--外部链接
-第三讲作业
-5.1 体的投影——视图
-5.2.1 基本体的三视图（一）
-5.2.2 基本体的三视图（二）
-5.2.3 基本体的三视图（三）
-5.2.4 基本体的三视图（四）
-5.2.5 基本体的三视图（五）
-5.2.6 基本体的三视图（六）
-第5章课件
--第5章课件
-第四讲作业（1）
-6.1 轴测图概述
-6.2.1 正等轴测图（一）
-6.2.2 正等轴测图（二）
-6.3 斜二等轴测图
-6.4 轴测剖视图
-6.5 轴测图的徒手绘图
-第6章课件
--第6章课件
-第四讲作业（2）
-7.1 二维绘图的基本功能和工作界面
-7.2 基本操作方式
-7.3 常用命令介绍
-7.4 辅助绘图功能和图形的显示控制
-7.5 尺寸标注
--7.5 尺寸标注
-7.6 绘图步骤（实例）
-7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
--7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
-7.8 零件建模
--7.8 零件建模
-7.9 装配建模
--7.9 装配建模
-8.1 回顾与思考
-8.2 平面与平面体相交
-8.3 平面与回转体相交（一）
-8.4 平面与回转体相交（二）
-8.5 应用实例
--8.5 应用实例
-8.6 本章小结
--8.6 本章小结
-第8章课件
--外部链接
-第六讲作业
-9.1 平面体与平面体相贯
-9.2 平面体与回转体相贯
-9.3.1 回转体与回转体相贯（一）
-9.3.2 回转体与回转体相贯（二）
-9.3.3 回转体与回转体相贯（三）
-9.4 多体相贯
--9.4 多体相贯
-第9章课件
--课件
-第七讲作业
-10.1 组合体的组成方式
-10.2.1 组合体的画图方法（一）
-10.2.2 组合体的画图方法（二）
-10.3.1 组合体的读图方法（一）
-10.3.2 组合体的读图方法（二）
-10.3.3 组合体的读图方法（三）
-10.3.4 组合体的读图方法（四）
-第10章课件
--外部链接
-第八讲作业
-11.1.1 视图（一）
-11.1.2 视图（二）
-11.2.1 剖视图（一）
-11.2.2 剖视图（二）
-11.2.3 剖视图（三）
-11.2.4 剖视图（四）
-11.3 断面图
--11.3 断面图
-11.4 规定画法和简化画法
-第11章课件
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-第九讲作业
-12.1 尺寸标注的基本要求与规则
-12.2 组合体的尺寸标注方法
-12.3 尺寸的清晰布置
-12.4 尺寸的合理标注
-12.5 典型结构的尺寸标注
-第十讲课件
--图片全屏
-第十讲作业
-13.1.1 螺纹及螺纹紧固件（一）
-13.1.2 螺纹及螺纹紧固件（二）
-13.1.3 螺纹及螺纹紧固件（三）
-13.2 键、花键、销
-13.3 齿轮
--13.3 齿轮
-13.4 弹簧
--13.4 弹簧
-13.5 滚动轴承
-第十一讲课件
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-第十一讲作业
-14.1 零件图概述
-14.2.1 视图选择与绘制（一）
-14.2.2 视图选择与绘制（二）
-14.3.1 技术要求（一）
-14.3.2 技术要求（二）
-14.3.3 技术要求（三）
-第十二讲课件
--外部链接
-第十二讲作业
-15.1 装配图概述
-15.2 装配图的基本规定
-15.3 视图选择及画图方法
-15.4 装配图的标注
-15.5 装配结构的合理性
-15.6 读装配图
-第十三讲课件
--外部链接
-第十三讲作业
-总复习
--总复习
