9.1 平面体与平面体相贯在线视频

同学们 大家好

我是清华大学的机械工程系的黄利平老师

我们今天来学习第九章 立体与立体相交

立体与立体相交是构成复杂形体的一种重要方式

在现实生活和工业产品中相交的结构是十分常见的

在建筑物中我们可以找到许多这样的例子

如上海的东方明珠电视塔

其中下球体与支柱的结合部位就是相交构成的

再比如美国的白宫 其顶部的结构也用到了相交

在工业产品的设计中也大量运用了相交的方式

现在请大家看一些这样的例子

比如低音号 请注意低音号嘴部部分的形状

比如葫芦丝的构造 比如水杯杯盖的结构

再比如汽车发动机活塞的内部结构

比如蒸汽阀 三通接头等等

要表达这些产品就需要研究相交

学习交线的作图方法

立体与立体相交我们称作为相贯

这是一个圆柱和四棱柱相贯 这是两个圆柱相贯

相贯以后呢立体表面产生的交线称为相贯线

我们可以看一下这两个模型中相贯线它的形状

相贯的形式按立体的形状来进行划分

可以分为三种

分别是平面体与平面体相贯

平面体与回转体相贯

回转体与回转体相贯

对于复杂的形体

它可能存在多个形体的相贯

这种三个及三个以上形体的相贯称为多体相贯

那多个形体的相贯呢

实际上是这些基本形体相贯的一种应用

相贯还可以按立体的相对位置来划分

分为三种情况 分别是正交 偏交和斜交

这个是两个圆柱轴线垂直相交称为正交

这个是两个圆柱轴线是异面垂直的情况称为偏交

这个是两个回转体轴线倾斜相交的情况称为斜交

请大家看一下这些相贯的一些实例

这是两平面体相贯 这是一个四棱柱和圆柱相贯

这个是圆柱和圆柱相贯 这个是圆柱和圆锥相贯

这三个分别是两个圆柱相贯

最后一个呢是圆柱和圆球相贯

通过观察上面的模型我们可以发现

相贯线的形状它跟相交立体的形状相关

我们看这样两个图 这是两三棱柱相贯的相贯线

这儿呢是一个四棱柱和一个圆柱相贯的相贯线

它们的形状就是不一样的

相贯线的形状还跟相交立体的相对大小相关

大家看下面这两个图

这两个图都是两圆柱相交

但是图中两圆柱的相对大小是不一样的

所以相贯线的形状也是不一样的

相贯线的形状还和相交的立体的相对位置有关

我们看一下 这个是偏交 这个是正交

在这两个图里头相贯线形式也是不一样的

所以我们在分析相贯线形状的时候就要注意这些特点

那么相贯线的投影跟什么因素相关呢

它主要跟相交的立体相对于投影面的相对位置有关

下面我们来研究一下相贯线的主要性质

首先相贯线是在立体两个表面上产生的

所以它应该同时位于立体的表面上 具有表面性

由于立体在空间的大小它是有限的

因此相贯线它一定是封闭的

这个封闭的线呢到底是什么样的形状呢

那就取决于相交的立体的形状

一般来说可能是封闭的空间的折线

也可能是封闭的空间的曲线

相贯线还具有最重要的一个性质

即公有性 就是它是两个立体表面的共有线

也就是相贯线实际上

是相交的两个立体表面上所有共有点的集合

对于相贯线的作图 我们实际上就是要找出

相贯的两个立体表面的若干个公有点的投影

然后把它们连接起来

这一讲我们重点就要研究相贯线的投影作图

本讲内容我们主要介绍平面体与平面体相贯

平面体与回转体相贯 回转体与回转体相贯

以及多体相贯这四个方面的内容

我们首先来学习知识点9.1平面体与平面体的相贯

平面体与平面体相贯时相贯线的形状

它实际上是由若干段平面直线构成的封闭的空间折线

因为平面体每个表面都是由平面组成

而平面与平面相交的交线就是为直线

所以它们是由若干段平面直线组成的空间折线

所以对于平面体与平面体相贯时相贯线的求法

一般来说可以按求截交线的方法来处理

它可以看作为一个平面体的各个表面

与另外一个平面体产生的截交线的总合

求截交线的方法在前一讲已经给大家介绍过了

所以我们下面将通过一个例子来了解作图过程

下面我们看这样一个例题

这个例题要求补全主视图

那也就是说已经知道了俯视图跟左视图

从俯视图和左视图我们可以分析得到这两个棱柱

上面这个棱柱是个长方体

底下这个棱柱是梯形棱柱

它实际相交的情况我们可以看一下这个模型

第一步我们进行空间分析

因为两个平面体相交相贯线是封闭的空间折线

这个封闭的空间折线是由若干条直线构成

那这个四棱柱和梯形棱柱

到底是由几条直线围成的相贯线呢

那就要具体来分析这个四棱柱和梯形棱柱

它们到底有几个表面是相交了

每有一对表面相交就会产生一条交线

从图中我们可以看出

四棱柱的顶面是没有和梯形棱柱相交的

梯形棱柱的底面也没有和四棱柱相交

那么相交的位置主要是在四棱柱的四个侧面

而梯形棱柱它是有前面 顶面 后面

这几个面和四棱柱相交

因此它们产生的交线应该是总共有这样几条

通过这个模型大家可以看一下

交线实际上是由八段直线所围成

为了求解方便我们可以标示出来每条直线的端点

总共有八个顶点

第二步我们进行投影分析

要分析交线的已知投影 由于四棱柱的四个侧面

在水平投影面上的投影具有积聚性

所以交线的水平投影也应该积聚在这四条直线上

四棱柱前面这个侧面是正平面

它在水平面上的投影积聚为直线

这个侧面与梯形棱柱的前面产生的交线

就是这条直线 我们记为12

四棱柱左侧的这个侧面是个侧平面

这个侧平面与梯形棱柱的这三个表面都相交

分别产生的交线呢是23 34 45

这个是它们的水平投影

四棱柱后侧的侧面与

梯形棱柱后面产生的交线的水平投影应该是56

那同样的道理 四棱柱右侧的这个侧面和

梯形棱柱的前面顶面和后面产生的交线的水平投影

依次是67 78 81

好 这个呢就是相贯线的水平投影

那下面我们来分析一下

相贯线的侧面投影 看能不能找到

从侧面来看 四棱柱的前面后面

和左侧右侧面在侧面的投影是在这个线框里头

而梯形棱柱的前面顶面后面的投影是具有积聚性的

根据相贯线的公有性我们可以判断出来

相贯线在侧面的投影应该积聚在这三段直线上

也就是说前面12345678八个顶点

在这三段直线上我们能找到对应的位置

那下面我们把它标出来

这个是12应该积聚在这个点这

这是38点 这是47点 这个是56点

已经分析得到了空间八边形的两个投影

下面我们就求出它的正面投影

所以我们下面进行第三步 作图

作图的方法呢 因为是每个点位于立体的表面上

而表面是平面 因此可以用面上找点的方法来作图

实际上在这呢我们现在已经知道了每个点的两个投影

可以用已知点的两投影求第三投影的方式

来作出每个点在正面投影上的投影

这个是1点的正面投影 这个是2点的正面投影

这个是34点的位置 这是78点这个位置

这儿呢是5点的位置 这应该是6点

好 那下面我们看一下要连线

连线的时候我们按照从前到后的顺序

12位于最前面的表面上

因此它是可见的 我们连一条粗实线

23呢也位于可见的表面上 所以23也连粗实线

34是积聚的 因为它是一条正垂线

45是在梯形棱柱的后面的表面上 因此它应该是虚线

但虚线和实线重合的时候是不画的

所以不用再画出 然后我们再连56

56这条直线 它是四棱柱后面的表面

与梯形棱柱后面表面产生的交线

它是不可见的 所以要连一条虚线

然后再连6和7 6和7同样也是位于不可见的表面上

所以要连虚线 78是一条正垂线是积聚的

然后再连8和1 81这条直线位于可见的表面上

所以它应该是连粗实线

现在我们就把相贯线的正面投影就求出来了

求完了以后我们把每个视图之间

作图过程的投影连线可以去掉

最后再进行检查 检查的时候先检查一下可见性

这些交线什么时候可见什么时候不可见呢

一般来说当交线是同时位于

两个不可见的表面上的时候

这两个表面相交的交线就是不可见的

比如我们看这56这一条直线它的正面投影

56这条直线就是四棱柱的后面这个面

和梯形棱柱的后面这个表面相交产生的

这两个表面相对于正面来说都是不可见的

因此56这条直线就不可见了

第二个要注意的就是

两立体相交以后就组成了一个整体

其中有的轮廓线就不能再画出了

比如在主视图在3和8之间的这个位置的轮廓线

它原来是梯形棱柱的上表面的位置

那现在呢是四棱柱和梯形棱柱构成了一个整体

这块就不能再画线了

通过刚才的作图我们发现啊

实际上求平面体和平面体相贯线 它还是非常繁琐的

但是它的原理呢还是比较简单的

那我们对于这种繁琐的作图呢

大家只用细心就能够顺利的作出来

当然实际在工程中

复杂的平面体相交的例子呢并不是特别常见

所以这部分的内容呢大家了解一下就可以了