当前课程知识点：物理化学（下） > 4.统计热力学 > 4.5 a, b值的推导 > Video
同学你好
这一讲我们讲博尔斯曼最概然分布公式中
阿尔法和贝塔值的推导
那么根据Ni等于
然后这是一个带阿尔法和贝塔的值
我们需要把阿尔法和贝塔这两个未知的参量
转换成我们可测量可计算的这样一个量
需要进行一下相应的推导
根据Ni星等于e的阿尔法
加上贝塔
以及西格马等于N
那么代进去就可以得到N等于西格玛Ni星
等于e的阿尔法次幂乘以西格玛E的贝塔
然后把这个除下来就得到等于
也就是阿尔法等于lnN减去ln西格玛
这样阿尔法就用N和贝塔来表示出来了
我们再进行一个推导
根据lnNi等于把阿尔法值带进去就得到了
lnNi星等于lnN减去ln廓号西格玛E的贝塔
再加上一个贝塔
这样的话呢我们就可以看出来
Ni星就等于N乘以E的贝塔
再除以一个西格玛E的贝塔
我们就得到了这样一个公式
Ni星等于N乘以E的贝塔
除以西格玛E贝塔
这样在这个最可积分布的粒子数中
我们就消掉了阿尔法
接下来我们要把贝塔的值把它再找出来
我们可以在这里给大家一个先入为主的概念
就是贝塔等于负的KT分之一
贝塔也不是一个数字
它自然而然应该是一个函数
好了
我们看贝特的推导
贝塔的推导得要略显繁杂一些
我们需要从头开始
根据S等于Kln
就是玻尔兹曼公式
那么用tm代替
这样就得到S等于Klntm
那么根据T函数的表达式
因为TlnT等于NlnN减去西格玛
这样话把这个T函数
带入到波尔兹曼公式里面去
就得到了S等于KNlnN减去西格玛
我们把T函数带入到
波尔斯曼公式的表达式中去
就得到了S等于K乘以NlnN减去西格玛
那因为lnN2星等于阿尔法加上
代进去就得到了这一项
把这一项进行展开化简
又可以得到K乘以NlnN减去阿尔法
乘以西格玛N2星
减去贝塔西格玛Ni星乘以
那么这一项西格玛Ni等于N
然后西格玛乘以Ni星等于U
把这两代进去就得到了这样一个公式
S等于N乘以lnN减去阿尔法N减去贝塔U
这样话我们得到了一个
熵和内能之间的一个公式
而这个公式含有阿尔法含有贝塔
阿尔法我们已经有它的表达式了
因为阿尔法等于N
阿尔法等于ln N减去
ln西格玛E的贝塔
正好把这个公式带进去
阿尔法消掉
就得到了一个熵和含贝塔含U的这样一个公式
也就是S等于K乘以Nln括号西格玛E的贝塔
这是一个复合公式
或者说是一个复合函数
那么S明显可以是NU和贝塔的函数
那么这是我们已知的
我们已知S是NUV的函数
那我们利用这样一个复合函数的求导的方式
把贝塔和U以及和S的关系把它表示出来
N为定值的时候
对于封闭系统N是定值
所以N为定值的时候
N就不是一个变量了
我们做这样一个推导
这个就是符合函数的求导公式
我们在高等数学里都已经很熟悉了
根据我们刚才推导得到的这个SU和贝塔的公式
我们可以很方便通过求导方式求出来
它的数学表达式
也就是说等于
公式呢是越来越复杂
但是没关系
我们慢慢的就可以把它化简了
我们现在需要把这个公式进行进一步的化简
那么根据
然后可以把这个化简
也就是说这样里面这一项是零
这一项是零
所以就得到了
这就得到了贝塔和SU之间的关系式
那么如何把贝塔换成我们已知的变量呢
我们再继续往下进行
根据我们之前学过的热力学基本关系式
dU等于TDS减去PDV
这是我们学过的热力学基本关系式
这样话就可以看得出来
因为
所以
这样的话再对比这两个公式
我们就可以看得出来
贝塔等于负的KT分之一
这样的话我们就贝塔也解出来了
在前面的推导中我们消掉了阿尔法
然后又解除了贝塔
这样话就拉格朗日两个因子就全部搞定
这样我们就得到了玻尔兹曼最概然分布公式
这个公式的特点
就是每一个能级上分布的粒子数
都和他的能级能量相关
而且每一个能级上分配的粒子数
是占总数的一个占比
这个就是所谓的波尔斯曼最概然分布
好
同学们这节课就讲到这里
-绪论
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--绪论
-1.1 原电池与电解池
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--原电池与电解池
-1.2 离子的迁移数与迁移速率
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-1.3 电导、电导率和摩尔电导率
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-1.4 离子独立移动定律
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--离子独立移动定律
-1.5 电导的测定及应用
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--电导的测定及应用
-1.6 强电解质溶液理论
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--强电解质溶液理论
-1.7 可逆电池
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--可逆电池
-1.8 电池设计
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--电池设计
-1.9 可逆电池热力学
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--可逆电池热力学
-1.10 电极电势和液体接界电势
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-1.11 电池电动势
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--电池电动势
-1.12 极化作用
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--极化作用
-1.13 金属的电化学腐蚀、防腐和钝化
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-1. 电化学--习题
-2.1 化学动力学概述
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--化学动力学概述
-2.2 化学速率，速率方程和反应级数
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-2.3 基元反应和质量作用定律
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-2.4 一级反应
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-- 一级反应
-2.5 二级反应
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--二级反应
-2.6 零级反应和n级反应
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-2.7 反应级数测定方法
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--反应级数测定方法
-2.8 温度对反应速率的影响
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-2.9 活化能和指前因子
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--活化能和指前因子
-2.10 典型复杂反应——平行反应
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-2.11 典型复杂反应——对峙反应
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-2.12 典型复杂反应——连锁反应
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-2.13 速率方程近似处理方法
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-2.14 气体反应碰撞理论
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--气体反应碰撞理论
-2.15 过渡态理论
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--过渡态理论
-2.16 链式反应
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--链式反应
-2.17 光化学反应（一）
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--光化学反应（一）
-2.18 光化学反应（二）
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--光化学反应（二）
-2.19 催化作用原理
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--催化作用原理
-2. 化学动力学--习题
-3.1 表面张力
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--表面张力
-3.2 弯曲表面上的附加压力
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-3.3 物质的亚稳状态
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--物质的亚稳状态
-3.4 液固界面
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--液固界面
-3.5 溶液表面的吸附
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--溶液表面的吸附
-3.6 表面活性剂
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--表面活性剂
-3.7 固体表面
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--固体表面
-3.8 表面吸附方程
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--表面吸附方程
-3.9 分散系统和胶体
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--分散系统和胶体
-3.10 胶体的性质（1）
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--胶体的性质（1）
-3.11 胶体的性质（2）
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--胶体的性质（2）
-3. 表面化学与胶体--习题
-4.1 概述
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-- 概述
-4.2 Boltzmann 统计
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-4.3 撷取最大项
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--撷取最大项
-4.4 最概然分布
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-- 最概然分布
-4.5 a, b值的推导
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--a, b值的推导
-4.6 Boltzmann 公式的讨论
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-4.7 配分函数
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--配分函数
-4.8 配分函数的分离
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-4.9 原子核配分函数
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-4.10 电子配分函数
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--电子配分函数
-4.11 平动配分函数
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--平动配分函数
-4.12 单原子理想气体热力学函数
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-4.13 转动配分函数
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-- 转动配分函数
-4.14 振动配分函数
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--振动配分函数
-4.15 分子的全配分函数
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--分子的全配分函数
