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汽车12-2

我们看一下

一个特别基本的力学概念

大家平时做设计的时候

不用掌握这件事

但是你的有限元软件

背后的这个道理全都在这儿

这个概念叫塑性铰的概念

就是说 在结构的变形里边

压溃变形塑性变形

它实际上是沿这个铰线来变形的

那我们先看一个简单的

不是铰线是铰点

就这么一个三点弯曲的一个梁

简支梁

这么一个简支梁

我中间施加一个载荷

大家很容易

你这个大二学的材料力学里

就会做这个事了

但是我们要把它做到

弹性载荷以外 做到屈服以外

做到大变形

因为我车里全是大变形

所以它的最大的弯矩

肯定是产生在中间

这都是弹性力学里教的

假设这个材料 钢或者是什么

是这么一个比较理想的

我总愿意用理想来说

是这么一个比较理想的

理想弹塑性材料 什么意思呢

就是说它在弹性阶段

是一个杨氏模量上去

到了屈服点它就平着走了

很多钢都有这种属性

它会延伸一段 很好的延展性 然后再强化

那我们只看它这个平的这一段

我假设这么一个材料的属性

我来看看在这个最大弯矩截面上

它的弯矩的变化随着载荷的增加

现在我这个集中载荷是从零开始

一点一点增加的

一点一点增加的无论怎么增加

无论它是1还是2还是500

它的最大弯矩都在这一点上

但是你这儿如果切一个截面

如果这个截面是个矩形梁

这个截面上

我画一个应力分布 这个应力分布

就形成一个弯矩

这都是我们大二的时候学的

形成一个弯矩

那这个应力分布

随着你的载荷的增加会有个变化

一开始你载荷比较小的时候

它在这个梁的最外层 上层和下层

在上层应该是产生一个压应力

在下层 下层被拉伸

产生一个拉应力

反正一个正号一个负号 反方向的

然后它是线性的

因为是线弹性

这个时候所有的材料

都处在这个阶段 都处在弹性阶段

这样的话 外层拉伸量最大

上下 上层和下层

只不过一边是拉伸一边是压缩

中间到所谓的中性轴这个位置

变形越来越小

就是如果均匀地去转的话

在中间某一个位置叫中性轴

那个位置上变形是零

最上和最下变形最大

所以这就是弹性的

应变分布和应力分布

接着往下走

如果我继续增加这个载荷 怎么办

就它这个应力分布逐渐的变大

但是它还是

在弹性范围里边逐渐变大

它这个越变越大

你想它合成的弯矩就越来越大

这弯矩就从10变成18了

继续往前走

我继续增大这个载荷

那它这个材料高度比如说是H高

从上边到下边

总有一部分材料先进入塑性屈服

哪部分材料呢

一定是上表面和下表面

因为上表面和下表面

一个受拉一个受压

是它最大的拉伸

和压缩的应变和应力点

那增加的话肯定是上层和下层

先进入屈服 先进入屈服以后

它就达到这一点

那我假设的这个材料模型

是一旦进入屈服

它的应力就不再增加了

就保持一个常数

我们说钢的屈服点是200兆帕

意思说 钢一旦进入了200兆帕

它就可以一直沿着200兆帕去走

会持续一段时间 一段变形

超过了以后再去强化

当然我们钢都是强化的

那这样的话它的上下两个

就会保持在200兆帕

就这个点上 不动了

它的应力不再增加

应变不断地在增加

什么叫应变增加

就说你这个梁弯矩越来越弯

下边的那个受拉的那个fiber

那根丝会越拉越长 应变越来越大

上边被压的那个会越来越短

所以这个应变不断地在增加

但应力不再增加了 因为应力

应力和应变符合这么一个规律

你看应变可以一直增加

应力永远保持在这儿

所以我如果画一个

我如果画应变分布

还是这样 越来越斜

如果我画应力分布 就变成这样了

就是最外层是一个不变的常量

永远是这个200兆帕 不变了

内层不断在变 那怎么变呢

就使得这个屈服的

这个区域越来越大 逐渐向中间扩展

它合成的弯矩还是越来越大的

合成的弯矩就是这个应力分布

对这个中线轴做一个积分

所以这上边的越来越宽

它合成的这个弯矩

做的积分还是越来越大

所以这个时候我整个的承载能力

就是中点的这个最大弯矩点

承载能力还是在不断增加的

随着你的载荷

在增加 还是不断增加

直到有一刻

就彻底丧失了承载能力

哪一刻呢

当我这个屈服一直扩大到中间了

这是一个理想工况

你几乎达不到的

在中间这中性轴

这端受拉这端受压

天下没有这种材料

一定是中间有一小块

这个过渡阶段

但是我们理想化没有这个

所以当我这个屈服一直到中间

完全达到中间的时候

整个这个截面

就彻底丧失了承载能力 为什么呢

你把这个应力分布去合成个弯矩

它永远是那么大它不再变大了

这个弯矩

叫做这个截面的极限弯矩

就这个截面最大就能达到这个弯矩

因为被材料限制了

除非你的材料还能变强

这是另外一种材料

所以这么一个极限弯矩的概念

就是这个最大承载 这就差不多

如果这个点也是这个梁的最大弯矩梁

它其他地方的

那个弯矩都比这个截面的弯矩小

那就是当这个地方

达到了最大的弯矩的时候

极限弯矩的时候

整个结构就失效了

就达到了这个结构的

最大承载极限

这就是我们在想象说

一个前纵梁压溃的时候

为什么这弯一下这弯一下

每一条线上都在逐渐的

达到这个最大的极限弯矩

这叫塑性铰

所以这么一个积分 我们来去看

就是说 这个截面上的

弯矩不再增加了

但是变形还可以增加 为什么呢

你不断地去加载

它这个应变可以变大

就是如果我画的不是应力图

是应变图的话

那就应变是线性变化

越来越大

那就是你这个弯曲

这个弯曲角越来越大

这个弯曲角越来越大

弯曲的曲率越来越大

但是力不再增加了

为什么叫做hinge

hinge就是轴的意思

plastic hinge 就有点像门轴

就这个门轴你去转

开始的时候有阻力

当达到了最大的

这个破坏阻力时候它就失效了

这个时候你这门轴

还接着可以往前走

但是这个转矩不再增加了

就是那个 所以但是还可以增加

也就是说 还是能做功的

只是很不幸位移不断地增加

载荷不再增加了

但载荷还在这儿

还在这个最大弯矩这儿呢

还在这还能积分出一个东西

那就说这个弯矩

乘上不断增加的弯曲角还在做功

还能够承载

只不过它不能承受更高的载荷了

这叫极限载荷的概念

那这事我们交待清楚了以后

就形成了这个塑性铰

我们进一步看一个梁的承载极限

这个梁的承载极限

说如果我用这个理想弹塑性的

这么一个应力应变模型

还太复杂 我们还想做简化

咱们就 把它简化成刚性的

这个叫做理想刚塑性

就是弹性这部分我不要了

为什么可以不要

因为当我考虑碰撞大变形的时候

它弹性那儿能提供的位移量

还有那载荷那很小 可以忽略不计

我为了我的计算简单

我先把它扔了

也就是说我这个车 塑性弹簧

撞到刚性墙上 撞多少不再回弹了

这个时候我就把我的

这个应力应变曲线简化成

这么一个更为简单的曲线

也就是说当你给这个截面加载

如果这个载荷一下就能跳到

屈服载荷 然后就不再增加了

在这么一个应力应变的

这个材料模型下

我就更简单了

我一下这个截面的屈服载荷

就是长得这样 就算出来了

那这么一个应力分布

做一个积分就很容易

得出这个截面的极限弯矩

这个极限弯矩就是

这两块面积是应力外

这个应力外 在一个高的

这个梁的高度上积分

就出来一个平方

再乘上b是梁的宽度

那个矩形梁

所以这么一个矩形梁你去弯它

最大弯矩那个点承受的弯矩

就是极限弯矩量

就是这么简单的一个公式

Y就是这个材料的屈服极限

b就是这个梁有多宽

b就是这个梁有多高

当你有了这个公式以后

很多 差不多材料长的像这样的

你都可以做很简单的估计了

我们再继续看

然后我们再回到这个梁的上面来看

说你这个集中载荷不断地去压它

它这个变形越来越大

它就屈服了达到了极限

那但是它这个位移越来越大

就这个d位移越来越大

这个弯矩角越来越大

还是可以做功的

也就是说你这个力F乘上这个d

这个还是消耗功的

如果这是一个碰撞

那我们来算一下极限力

我已经知道这个截面的极限弯矩了

这是我刚才算的 极限弯矩在这儿

我要把它转换成这个梁的极限力

很简单 做功 外功等于内功

外力功是F乘上这个距离

内力功就是这儿消耗的

别的地儿都不消耗

因为别的地儿都还没达到极限

那这儿消耗的

那个弯矩是极限弯矩Mp

是刚才那一页算的

四分之一Ybh方

这个极限弯矩乘上弯了多大角度

弯了两个θ这么大角度

所以这是内力功等于外力功

那这个凭空做完了以后

我再做一个假设

我假设这根梁上

满足这么一个几何关系

这个几何关系

就是这儿的这个位移

等于半个梁的长度乘上这个角度

也就不说我不去管它sin cos了

我假设这就是一个弧长

我把这么一个简单的

几何关系扔进来一下就算出来

我这个梁的极限载荷F

就等于极限弯矩除以长度

一个梁的极限弯矩

实际上被梁的材料

和它的截面形状

给定了就算出来了

跟你这梁多长没关系

只跟梁的截面的

宽度和高度有关系

你别给我出难题说我这是工字梁

工字梁你慢慢再算

那更复杂一点

所以极限弯矩只跟截面形状

截面尺寸跟材料有关系

然后 我这个梁的承载

最大承载载荷只跟极限弯矩

和这个梁的跨度有关系

好这个三点弯曲的梁

最大能承受多少到失效

我就算出来了

我用这么一个例题 就来阐述

在薄壁管件里有太多的塑性铰

这会儿不是一个铰点了

铰线不断地在形成

每一个形成的铰线里边

就在消耗功

基本上就是按照这个模式在消耗功

只不过这是一个一维的

一个点的 到这儿变成三维的了