当前课程知识点：微观经济学 > 5.成本 > 5.2 成本最小化 > 5.2 成本最小化
同学们好
我是经济学院的王稳妮老师
今天学习的内容是成本最小化
对于追求利润最大化的厂商而言
每一产量水平的生产成本都必须是最小的
即成本最小化是对生产成本的基本规定
所以 在微观经济学中
成本最小化问题是成本分析的起点
本节将从成本最小化问题出发
来推导与理解短期和长期的总成本
等成本线是在既定的成本
既定的生产要素价格条件下
生产者可以购买到的两种
生产要素的各种不同数量组合的轨迹
它的公式表达是
如图所示
图中等成本线在纵轴上的截距C除r
表示的全部成本支出
用于购买资本K时所能购买的资本数量
等成本线在横轴上的截距C除w
表示全部成本支出
用于购买劳动L时所能购买到的劳动数量
等成本线的斜率为负w除以r
其大小取决于劳动和资本
两个要素相对价格的高低
成本最小化
成本最小化指的是
假定在一定的技术条件下
厂商使用两种可变生产要素劳动
和资本生产一种产品
且劳动的价格和资本的价格是给定的
如果企业要以最小的成本来生产既定的产量Q
那么 它应该如何选择最优的劳动投入量
和资本投入量的组合呢
简言之
厂商如何实现既定产量下的成本最小化呢
把厂商的等产量曲线
和等成本线置于同一个平面坐标系当中
就可以确定厂商在既定产量条件下
实现最小成本的最优要素组合点
即生产的均衡点
如图所示
图中有一条等产量曲线Q
和三条等成本线AB A'B'和A"B"
唯一的等产量曲线Q代表既定的产量
三条等成本线具有相同的斜率
但代表三个不同的成本量
其中 等成本线AB代表的成本
大于等成本线A'B'代表的成本
等成本线A'B'代表的成本
大于等成本线A"B"代表的成本
唯一的等产量曲线Q
与其中一条等成本线A'B'相切于E点
这就是生产的均衡点或最优要素组合点
它表示 在既定的产量条件下
生产者应该选择E点的要素组合L1 K1
才能实现最小的成本
这是因为
等成本线A"B"虽然代表的成本较低
但它与既定的等产量曲线Q既无交点也无切点
它无法实现等产量曲线Q所代表的产量
等成本曲线AB
虽然与既定的等产量曲线Q相交于a b两点
但它代表的成本过高
通过沿着等产量曲线Q
由a点向E点或者由b点向E点的移动
都可以生产相同的产量而使成本下降
所以 只有在切点E的要素组合点上
才是在既定产量条件下
实现最小成本的要素组合
再进一步具体地分析等产量曲线Q
与等成本线AB的两个交点a点和b点
如果厂商开始的时候在a点进行生产
等成本曲线的斜率的绝对值
大于两个要素的价格之比
譬如
根据不等式的左边
在生产过程当中
在维持产量水平不变的前提下
厂商可以用1个单位的劳动
去替代3个单位的资本
而等式的右边
在生产要素市场上
3个单位资本的购买成本
却可以购买到1.5个单位的劳动
于是 厂商节省了0.5个单位劳动的购买
而使得成本变小
相反 如果厂商开始的时候在b点进行生产
由图可见 在b点
等产量曲线的斜率的绝对值
小于等成本线的斜率的绝对值
它表示在b点上的两要素的边际技术替代率
小于两个要素的价格之比
譬如
这个时候等式的右边
厂商在生产过程当中
在维持产量水平不变的前提下
厂商可以用2个单位的资本去替代4个单位的劳动
而等式的右边
在生产要素市场上
用4个单位劳动的购买成本
却可以购买得到8个单位的资本
于是
厂商节省了6个单位资本的购买成本而使成本变小
由此可见 只要MRTSLK大于w除r
厂商就会不断地用劳动去替代资本
即在图中沿着等产量曲线Q由a点不断地向E点靠近
只要MRTSLK小于w除以r
厂商就会不断用资本去替代劳动
即在图中沿着等产量曲线Q由b点不断地向E点靠近
在以上的调整中
厂商可以不断地以更低地成本来生产相同的产量Q
最后 厂商在MRTSLK等于w除r时
实现了既定产量条件下的最小成本
由于边际技术替代率
就可以表示为两个要素的边际产量之比
进一步地我们可以得到这样的一个公式
这个公式表示了
为了实现既定产量条件下的最小成本
厂商应该通过对两要素投入量的不断调整
使得花费在每一种要素上的
最后一单位的成本支出所带来的边际产量相等
对偶的问题 产量最大化
与成本最小化密切相关的问题是产量最大化
理性的厂商在产量给定的条件下
会追求成本最小化
而在成本给定的成本的既定条件下
会追求产量最大化
作为对成本最小化问题的进一步的理解
在此分析产量最大化的问题
如图所示 有一条等成本线AB
和三条等产量曲线Q1 Q2和Q3
由图中可见
唯一的等成本曲线AB
与其中一条等产量曲线Q2相切于E点
该点就是生产的均衡点 表示的是
在既定的成本条件下
厂商应该按照E点的生产要素组合进行生产
即劳动投入量和资本投入量分别为L1和K1
这样 厂商就会获得最大的产量
为什么E点就是最优的生产要素组合点呢
这就需要分析代表
既定成本的唯一的等成本线AB
与三条等产量曲线Q1 Q2和Q3之间的关系
先看等产量曲线Q3
其代表的产量虽然高于
等产量曲线Q2代表的产量
但唯一的等成本线与等产量曲线Q3
既无交点又无切点
这表明产量Q3是
厂商在既定成本下无法实现的产量
因为厂商利用既定的成本
只能购买到位于等成本线AB上
或者等成本线以内区域的要素组合
再看等产量曲线Q1
虽然与唯一的等成本线AB相交于a b两点
但等产量曲线Q1所代表的产量是比较低的
因为此时厂商在不增加成本的情况下
只需要由a点出发向右或由b点出发向左
沿着既定的等成本线改变要素组合
就可以增加产量
所以 只有在唯一的等成本线
和等产量曲线Q2的切点E的要素组合点
才是实现既定成本条件下的
最大产量的要素组合
任何更高的产量在既定成本条件下
都是无法实现的
任何更低的产量都是无效率的
再进一步具体地分析等成本曲线AB
和等产量曲线Q1的两个交点a点和b点
如果厂商开始的时候在a点进行生产
如图可见
在a点
等产量曲线的斜率的绝对值
大于等成本曲线的斜率的绝对值
它表示在a点
两个要素的边际技术替代率
大于两个要素的价格之比
这个时候
在生产要素的市场上
厂商在不改变总成本支出的情况下
减少1单位的资本
购买就可以增加1单位的劳动购买
在生产过程中
厂商在减少1个单位的资本投入量时
只需要增加0.25单位的劳动投入量
就能够维持原有的产量水平
结果整个不等式告诉我们
厂商因为在生产中
多得到0.75个单位的劳动投入量
而使得总产量增加
所以
厂商就会在不改变总成本的条件下
不断地用劳动去替代资本
表现在图中就是厂商的生产
会沿着等成本线AB由a点不断向E点靠近
如果厂商开始时在b点进行生产
如图可见 在b点
等产量曲线的斜率的绝对值
小于等成本线的斜率的绝对值
它表示在b点两要素的边际技术替代率
小于两个要素的价格之比
即有
譬如 在b点
这个时候由不等式右边
可以知道
在生产要素市场上
厂商在不改变总成本支出的情况下
减少1单位的资本购买
就可以增加1单位的劳动购买
而不等式的左边的
在生产的过程当中
厂商在减少1单位的劳动投入量时
只需增加0.25个单位的资本投入量
就能够维持原有的产量水平
结果 整个不等式告诉我们
厂商因为在生产中
多得到了0.75个单位的资本投入量
而使总产量增加
所以 只要
厂商就会在不改变总成本的条件下
不断地用资本去替代劳动
表现在图中就是厂商的生产
会沿着等成本线AB由b点不断向E点靠近
综上所述
只有在两要素的边际技术替代率
和两要素的价格之比相等时
生产者才能实现生产的均衡
在图中则是唯一的等成本曲线AB
和等产量曲线Q2的切点E
才是厂商的生产均衡点
于是 在生产均衡点E就有
由于边际技术替代率就可以表示为
两个要素的边际产量之比
所以
进一步地我们可以得到这样的一个等式
这个表示
厂商应该通过对两个要素投入量的不断地调整
使得最后一单位的成本支出
无论用于购买哪一种生产要素
所要获得的边际产量都相等
从而实现既定成本条件下的最大产量
好 今天的课程到这里就结束了
感谢大家的观看
-1.1 什么是西方经济学
-1. 2 现代西方经济学的由来和演变
-1.3 微观经济学的基本框架
-2.1 需求曲线和供给曲线
-2.2 价格的决定及其变动
-2.3 弹性的概念及弧弹性
-2.4 需求的价格点弹性及其影响因素
-2.5 供给弹性和其他弹性
-2.6 供求曲线的运用事例
-第二章作业题
-3.1 基数效用论和边际效用分析法
-3.2 消费者剩余
-3.3 序数效用论及无差异曲线
-3.4 边际替代率递减规律及无差异曲线的特殊形状
-3.5 预算线及其变动情况
-3.6 效用最大化与消费者选择
-3.7 价格变化和收入变化对消费者均衡的影响
-3.8 正常品的替代效应和收入效应
-3.9 劣等品的替代效应和收入效应
-第三章作业题
-4.1厂商和生产的基本概念
-4.2 短期生产函数
-4.3 长期生产函数
-第四章作业
-5.1 成本的基本概念
-5.2 成本最小化
-5.3 扩展线和生产总成本
-5.4 短期成本曲线
-5.5长期成本曲线
-第五章作业
-6.1市场概述
--6.1市场概述
-6.2市场类型的划分和特征
-6.3.1完全竞争市场概述（上）
-6.3.2完全竞争市场概述（下）
-6.4完全竞争厂商的短期均衡的研究思路
-6.5 完全竞争厂商的短期均衡
-6.6 完全竞争厂商的短期供给线
-6.7 完全竞争厂商的长期均衡
-6.8.1 完全竞争厂商的长期供给线（上）
-6.8.2完全竞争厂商的长期供给线（下）
-6.9 完全竞争市场的简要评述
-第六章作业
-7.1垄断
--7.1垄断
-7.2垄断竞争市场
-7.3寡头市场
--7.3寡头市场
-第七章作业
-第八章作业
-9.1一般均衡与经济效率
-9.2帕累托最优条件
-第九章作业
-10.1 博弈论和策略行为
-10.2 完全信息静态博弈：纯策略均衡
-第十章作业
-11.1不完全竞争
-11.2外部影响
--11.2外部影响
-11.3公共物品和公共资源
-11.4信息的不完全和不对称
-第十一章作业