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今天我们要来聊一聊

公共选择理论的投票悖论问题

先来听一个小故事

假定张三、李四、王五是三个好朋友

某天

他们决定要一起出去午餐

在他们的附近有三家餐馆

一家是川味

一家是滇味

一家是西餐

他们三人对这三家餐厅有不同的偏好

具体来说

张三是四川人

他的优先选择是川味

其次他也能够接受云南的口味（滇味）

他最不喜欢西餐

李四是云南人

因此他的优先选择是滇味

其次他比较喜欢西餐

他最受不了的是四川味道里的“麻”和“辣”

王五也是四川人

但是旅居外国好多年了

口味已经被西化了

因此他最喜欢的是西餐

其次也能够接受川味

最不喜欢滇味

根据以上的描述

我们把三人的偏好用一张表格罗列出来

看着这张表

请问

这三个好朋友

要如何做出他们到哪里吃饭的公共选择

倘若给予他们一人一张选票

进行一次性的投票表决

不会有任何结果

只会出现金龙鱼油曾经风行一时的广告词

“1:1:1”

因此

为了得到一个结果

我们必须进行两两配对投票

所谓配对投票

就是先比较两个方案

这里是指先比较两个口味

得出一个获胜的方案

让这个获胜的方案

和还没有比较的那个方案再进行比较

以此决出最终的胜出方案

我们来试一下

如果我们的比较是在川味和滇味之间展开

你会发现

张三和王五在这两个候选口味中

都会选择川味

只有李四选择滇味

因此2:1

川味和滇味的比较里边

川味胜出

如果我们的比较是在滇味和西餐之间展开

你会发现

张三和李四都会更青睐滇味

只有王五选择西餐

因此2:1

在滇味和西餐的选择里边

滇味胜出

如果我们的比较是在西餐和川味之间

你会发现

李四和王五都会偏爱西餐

只有张三选择川味

因此2:1

西餐胜出

现在把刚才的三个结论复述一遍

川味击败滇味

滇味击败西餐

西餐击败川味

瞧 循环出现了

当投票的循环出现的时候

究竟是哪个方案胜出

不再取决于投票者的偏好

而是取决于投票的顺序

换而言之

更改两两配对的顺序

就可以得出我们所想要的投票结果

现在

训练思维的时间又到了

请思考如果我们要让滇味胜出

就应该按照什么样的顺序来投票

答案是

先比较川味和西餐

在川味和西餐的比较里边

胜出的是西餐

用这个胜出的口味

和没有比较的滇味再作比较

胜出的必是滇味无疑

以此类推

如果你要让川味胜出

就应该把川味放在后面

先比较滇味和西餐

如果你要让西餐胜出

也是一样要把它放到最后来比较

你会发现“后来者居上”

似乎是循环投票之谜的谜底

当循环投票之谜出现的时候

显然昭示了民主的失效

因为这里的结果是随机性的

哪一种结果都有可能出现

它与偏好无关

而只与投票顺序有关

那么

如果有一个人能够决定投票的顺序

事实上他就控制了投票的结果

早在1785年

法国著名数学家孔多塞特（Condoucet）

就发现了多数票决制下

议案循环的可能性

因此“循环投票之谜”

是孔多塞特发现的

它又被称为“孔多塞特之谜”

“孔多塞特之谜”指的是

多数票决原则在只有一个方案

或者两个方案的时候是非常有效的

但是如果面临两个以上的备选方案

就有可能出现循环投票

没有胜出者的现象

这一现象的存在

说明在多数方案的票决制上

少数服从多数的民主原则失效了

“少数服从多数”原则

一贯被视为是民主的“锚”

但是它居然出现了随机性结果

也就是说民主的前提

却推演出了非民主的结果

这被认为是投票的“悖论”

“悖”即“反”的意思

经济学家布莱克

在《论集体决策原理》一书里边

运用峰值理论

解释为什么会出现循环投票

以及循环投票的消除问题

他指出

循环投票之谜的产生是因为

参与投票的选民有些表现出了“多峰偏好”

所谓“峰值”是选民偏好分布的一个图示

它一般分为“单峰偏好”和“多峰偏好”

我们把一个人的偏好中

比所有相邻点都高的点定义为“峰”

“单峰偏好”是指每个选民的偏好

只有一个峰尖

而“多峰偏好”是指选民的偏好

不止有一个峰尖

比如

如果在图形上呈现出选民的偏好

有两个峰尖

我们就可以称它为

多峰偏好中的“双峰偏好”

简而言之

布莱克的理论要点是

如果所有投票者的偏好都呈单峰形

多数规则下的投票结果就是惟一的

是民主的

但是

如果多数规则下的投票

出现了循环现象

那就说明

在所有投票者中

至少有一人的偏好是多峰形的

如果用图形来绘制

单峰偏好的状态是指

个体的偏好排列如同一座

只有一个峰顶的高山一样

它既可能是一座完整的山峰

也可能只是一个上坡面

或者一个下坡面

请看图中的abcd

a、b、c三个图均是单峰偏好的示例

而d图则是多峰偏好中的“双峰偏好”示例

你可以看出它出现了两个峰尖

我们现在用刚才提到的

吃饭故事来印证布莱克的峰值理论

在刚才的故事中

张三的偏好顺序是

川味好于滇味

滇味好于西餐

李四的偏好顺序是

滇味好于西餐好于川味

王五的偏好顺序是

西餐比川味好

川味又比滇味强

现在用图形看看

他们各自是什么偏好的峰值

无疑

在这张图中

你能够看到

张三和李四的峰值偏好呈现出单峰特点

而王五的峰值偏好呈现出双峰特点

按照布莱克的观点

如果所有选民的偏好是单峰的

就不存在循环投票的现象

我们现在试着把王五的多峰偏好

做一个修改

如果王五的口味排序不再是

西餐比川味好

川味又比滇味好

而是西餐比滇味好

滇味比川味好

那么

一个新的图出现了

现在我们再来比较一下

当川味和滇味配对比较时

李四和王五都会优先选择滇味

只有张三一人选择川味

因此2:1

滇味胜出

当滇味和西餐配对比较时

张三和李四都选择滇味

只有王五选择西餐

因此2:1

还是滇味胜出

由此

循环投票之谜消失了

上述的例子是在三个人和三个方案之间展开的

我们可以设想

如果是四个或者更多的候选方案

出现多峰偏好的可能性肯定是上升的

另一方面

如果投票人更多

偏好的多样性也就更加复杂

其中必定有一些人是多峰偏好

这也会增加投票悖论的出现

这一点在图洛克和坎贝尔等人的理论中

得到了证实

图洛克认为

投票循环现象出现的可能性

与投票人的数量

和可供选择的方案数量成正比

特别是备选方案的数量多寡

对投票悖论出现的概率影响最大

利用数学模型

图洛克和坎贝尔推演出来的结论是

投票者人数或待选方案增加越多

产生投票悖论的可能性就越大

比如

在投票者为三人

选择方案为3的情况下

产生投票悖论的概率大约是5.7%

而当选择方案增至11种的时候

投票悖论的概率上升到了50%

也就是说每两次投票就有一次循环投票生成

因此

对于每天都在频繁地

进行着“民主”事务的国家来说

这是需要警惕的

不过

图洛克认为现实世界中的投票悖论

并没有理论假设的这么夸张

因为在现实世界中

投票者的人数总是大大超过候选方案的个数

此时

出现投票悖论的概率就会很小

甚至无需考虑

而且

考虑到再提出一个新方案的成本会很高

选民会在现有备选方案中尽量谋求一致性

结果实际的多数投票结果会靠近中间状态

这一讲公共选择的投票悖论就到此

下一讲我们会谈到

进一步证明民主会失效的

著名的“阿罗不可能性定理”