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本次课我们来讲一下

进一步证明了民主的规则

也会得出不民主结果的

“阿罗不可能性定理”

阿罗（Arrow）是美国著名的数学家

和经济学家

1951年他出版《社会选择与个人价值》一书

书中运用数学建模的方法

论证是否存在最好的公共选择规则

阿罗首先问

什么是最好的公共选择规则

它显然应该是公正合理的规则

从数学建模的角度看

应该首先订下几条普遍认可的公理和条件

然后用逻辑推理方法寻求满足

这些条件的规则

如果这种规则存在的话

阿罗认为

对于任何的选择

必然有两条公理是前置性条件

第一公理是完备性

也就是说

任何一个投票人

对任何两个候选方案A和B

在进行比较时

要么认为A比B好

要么认为B比A好

或者认为A和B不分伯仲

除了这三种排序不可能再有其他排序法

第二公理是传递性

比如

在所有的候选方案中

任取三个候选方案A、B、C

如果投票人认为A比B好

B比C好

那么他一定会认为A比C好

再比如

如果投票人认为A和B不相上下

C比B好

那么他一定会认为C比A好

以上两个公理的意思是

任何人在对各种候选方案排序时

必须在逻辑上清清楚楚

不能颠三倒四

这样的公理显然是

民主的公共选择必不可少的前提条件

它也是经济人理性假设在投票领域的写照

除了这两个公理以外

阿罗还提出满足民主选举的三个条件

这被称为“阿罗的五原则”

第一 是选举的自由

即选民对于候选方案的任何一种排序

都是被允许的

第二 社会选择顺序以个人价值判断为基础

也就是说

若所有投票者

或过半数投票者都认为A方案比B方案好

则社会就应当把A视作优于B的方案

再如

若在A、B两个方案中

该社会一半的选民认为A比B好

而另一半的选民认为B比A好

那么

社会应该认为A、B两个方案是不分高下的

第三 无关联备选方案的独立性

也就是说

对两个备选方案的任一选择

只取决于个人对这两个方案A与B的排序

而与其他备选方案无关

例如

当某投票人认定A方案比B方案好

就一直要认定下去

不能因出现一个C方案

就把对A和B方案已认定的排序反过来

举例来说

某人养了两只狗

一只黄色 一只白色

他喜欢黄狗甚于喜欢白狗

不可能说某天他又有了一条黑狗之后

他就变得喜欢白狗甚于喜欢黄狗了

第四 选民的主权性

即各个投票者对各个备选方案的排序

应由个人自主做出

而不能由政府强加

例如

若某个依照自我主观价值判断的投票者

认为喝酒比抽烟要好

社会不能强迫他要把偏好排序反过来

第五 非独裁条件

即在一般意义上的公共选择

比如不是战争时期的决策等

就不能采取独裁规则

也就是说

不能让某一个人

对各种候选方案的偏好排序

成为社会的偏好排序

而不顾其他投票者的偏好排序

如果大家足够的细心

你会发现第四条原则

第五条原则和第一条原则

有一点同义重复

因此

在有些书上不是说阿罗的五原则

而是说阿罗的三原则

因为他们认为 阿罗其实就只强调了三个原则

在两条公理和五项民主条件的基础上

阿罗推导出了一个“不可能性的定理”

该定理指出

能够满足一切民主要求

而又能够排除投票悖论的决策机制

是不存在的

所以

阿罗不可能性定理

对民主投票规则的合理性提出了质疑

揭示了民主政治的内在弊端

它强调

那种能保证效率、尊重个人选择

并且不依赖议事日程的多数规则的

投票办法是不存在的

阿罗的这一发现

在经济学和政治学中

都具有举足轻重的影响力

也因此

1972年的诺贝尔经济学奖授予给了他

阿罗的研究对福利经济学也有一定启发

民主的悖论意味着

能够被公认的社会福利函数也许是不存在的

阿罗是一位杰出的数学家

因此他的“不可能性定理”

是运用数学模型来证明和阐释的

其推导过程非常复杂

在此

我们只打算利用张五常先生

提出的一个简单证明法来解释它

假设某社会只有甲和乙两个人

他们对A、B、C三个候选方案的

偏好排序分别如下

甲的排序是A、B、C

即他认为A比B好 B又比C好

用数学表达式显示为A > B > C

乙的排序是B、C、A

即他认为B比C好 C比A好

用数学表达式显示为B > C > A

现在我们用两种符合民主的投票规则

来看看他们两人的私人偏好

如何转化为社会偏好

第一种方法

在A和B方案的比较中

因为甲认为A > B

而乙认为B > A

社会是由他们两个人组成的

当一半的人认为A比B好

而又有一半的人认为B比A好

则社会应该难分A和B的优劣

如果用数学符号来表示

可以表达为社会认为A = B

在B和C方案的比较中

因为甲认为

而乙也认为B比C好

则社会也应该认为B比C好

社会认为B > C

因为社会认为B > C

在第1点内社会认为A = B

则社会应该认为A > C

但是如果换一种视角来推论

情况会大有不同

第二种推论方法

在A和C方案的比较中

因为甲认为A > C

而乙认为C > A

则社会应该认为A = C

大家可以发现

以上两个方法的结果显然是有矛盾的

第一种方法得出的结论是A比C方案好

而第二种方法得出的结论是

A和C方案难分高下

所以

张五常的这一“难能定律”就是说

社会未必能够将选民的意向

以优劣的方式排列出来

这也是阿罗不可能定理的核心

本节阿罗不可能性定理就讲到此