4.7 三次样条插值在线视频

今天我们讲第七节

三次样条插值

本节将介绍

三次样条函数定义

三次样条插值

以及三弯矩插值法

首先我们给出

三次样条函数的定义

给定区间[a，b]上的一个划分

设a=x0

小于x1一直小于xn等于b,

也就是说我们在[a,b]上

插入n-1个分点,

如果函数s(x)满足

以下两个条件

第一s(x)

在每一个子区间

[xi , xi+1]上

这里i=0,1, · · ·,n-1

是一个次数不超过三次的多项式

第二条

s(x)在区间[a,b]上

有二阶连续导数,

则称s(x)是定义在[a,b]上

对应于划分Δ的三次样条函数.

x0，x1一直到xn

称为样条节点,

其中x1

到xn-1

称内节点,

x0，xn称为边界节点.

由以上定义可以看出

三次样条函数

实际上就是区间[a,b]上

具有二阶连续导数的

分段三次多项式.

我们记

s3(Δ)

为[a,b]上

对于划分Δ的

全体三次样条函数

组成的集合,

下面我们来给出

三次样条插值函数的定义

设y=f(x)

在点x0

x1一直到xn的函数值为

y0，y1，…,yn ,

如果S(x)

属于S3(Δ),

也就是说

S(x)是一个

三次样条函数

并且满足

S(xi)

等于yi

这里i取0,1一直到n

那么我们就称

S(x)为

三次样条插值函数.

下面我们来看

确定三次样条插值函数

需要满足的条件.

根据定义

我们前面讲过

三次样条函数

它是定义在ab上的

具有连续二阶导数的

分段三次多项式

我们将区间[a ,b]做一个划分

那么在每一个子区间上

三次样条函数都是三次式

我们将这个三次式

记为si(x)

它定义在

第i个小区间上,

[xi , xi+1]这个小区间上.

那么我们将si(x)

定义为

ai+bi乘以x-xi

加ci乘以x-xi的平方

再加di乘以x-xi的三次方,

在每一个小区间上

都给出这样一个定义.

那么一共有

n个小区间.

要定义

每一个小区间上的三次式,

我们需要确定

4个系数

ai，bi，ci，di

在n个小区间上

我们一共需要确定

4n个系数

这样我们确定一个三次样条函数

就需要4n个条件.

由于我们要确定三次样条插值函数

所以我们首先有一组插值条件

插值条件是

s(xi)=f(xi)

有n+1个条件,

我们还要求

三次样条函数

它在内节点处是连续的

这样我们又得到了n-1个条件

三次样条函数

在内节点处

具有一阶导数

连续的这样一个

性质,

这样又有n-1个条件

最后

它的二阶导数

也在内节点处连续

那么总共算起来

我们一共具有4n-2个条件.

4n-2个条件要确定

4n个未知量还差两个条件

那我们需要

补充边界条件.

边界条件一共分为三种类型:

第一型边界条件

我们给出

两个端点的

被逼近函数的

一阶导数值,

要求

三次样条函数

在两个端点

它的一阶导数

等于给定的一阶导数值.

这是第一型边界条件

第二型边界条件

我们给定两个端点的

二阶导数值

y0'',

yn''

要求三次样条插值函数

在两个端点的

二阶导数

等于给定的二阶导数值

特别如果给定的二阶导数

y0'',

yn'' 等于0

这样的边界条件

称为自然边界条件

第三型边界条件

也称为周期条件

如果被插值函数满足

f(x0)=f(xn)

那么我们要求

三次样条插值函数

满足以下三个式子

也就是

它在x0点

的函数值等于xn点的函数值

在x0点的一阶导数值

等于xn点的一阶导数值

在x0点的二阶导数值

等于xn点的二阶导数值

这种边界条件我们称之为

周期边界条件

那么

满足

自然边界条件的

三次样条插值

称为自然三次样条插值函数

满足

固支边界条件的

三次样条插值

称为固支三次样条插值函数

满足周期边界条件的三次样条插值

称为周期三次样条插值函数

如何计算三次样条插值函数呢

下面我们就介绍

三弯矩插值法

首先我们将

区间[a,b]做一个划分

a=x0

在[a,b]区间

插入n-1个分点

x1到xn-1

xn=b

我们将子区间

[xi, xi+1]的

长度记为

hi

hi=xi+1-xi

这里i取0，1一直到n-1

三次样条函数

在每一个子区间上是三次式

我们对它求二阶导

那么它的二阶导数就是一次式

它的二阶导数

在[xi, xi+1]上是连续函数

那么我们设

s''(xi)

等于Mi

为待定值

根据线性插值

就可以将

s''(x)

表述成一次式如(1)所示

这是s''(x)

在每个小区间上的一次插值.

我们将s''(x)

作两次不定积分

就得到了(2)式

那么(2)式给出了

三次样条函数s(x)

在小区间

[xi, xi+1]

上的表达式,

利用插值条件

s(xi)=yi

s(xi+1)=yi+1

我们就解出了两个系数

ci

以及ci+1

将解出的两个表达式代入上式,

我们得到s(x)

在每个小区间的表达式

记为(3)式.

对s(x)求导

就得到了s'(x)

在每个小区间的表达式,

观察这个表达式

注意等号右边画下划线的这部分

yi+1-yi

除以hi

这个分式

恰好就是f(x)

在xi ,

xi+1点的一阶差商,

所以我们用一阶差商

来代替这个式子.

现在我们将xi带入上式,

就得到

s'(xi+0)

的值

我们再将右端点

xi+1带入上式

就得到了s’(xi+1-0)的值

s'(xi+0)

实际上就是s'(x)

在xi点的右极限

s’(xi+1-0)就是s'(x)

在xi+1点的左极限,

对于下面这个式子

我们将i

用i-1来替换

就得到了(6)式

注意到

三次样条函数的一阶导数

在内节点处

是连续的,

因此我们就有

s'(xi-0)

就等于

s'(xi+0)

也就是说

s'(x)

在内节点xi处是连续的,

它的一阶导数是连续的.

那么(5)式和(6)式等号右端

两个表达式相等.

这样我们就得到了

一组方程

那么对于这组方程

我们将等号两边

下划线的这两项

交换位置,整理一下

就得到下面这个方程组

等号两边同时除以hi-1+hi

得到下面的方程组,

我们注意到

hi-1+hi就等于

xi+1-xi-1

那么因此

等号右边的这个分式

它就是f(x)

在xi-1

xi

xi+1

三点的二阶差商

所以我们把这个分式

用二阶差商来代换.

我们继续来化简这个方程组

引入记号

μi , λi

设μi等于

hi-1比上

hi-1+hi

λi等于

hi比上

hi-1+hi

实际上λi就等于1-μi

令di等于

6倍的f

在xi-1

xi

xi+1点的二阶差商.

我们将以上

三个字母代入

上面的方程组,

就把上面的方程所化简为(9)式

方程组(9)包含了

n-1个方程,

这个方程组

我们称它为

三弯矩方程.

那么

由于方程组(9)

它包含了

n+1个未知量,

这里未知量是M0, M1

一直到Mn

它只有n-1个方程,

因此

无法解出这n+1个未知量.

我们还需要补充方程,

那么补充的这个方程,

就是我们的边界条件所提供的方程.

由第一型边界条件

我们可以补充方程组(10),

方程组(9)有n-1个方程

方程组(10)

有2个方程

合并起来正好是n+1个方程

求解n+1的未知量.

我们联立它得到了方程组(11)

这个是第一型

边值问题对应的方程组

那么

求解这个方程组,

注意

我们可以证明

方程组(11)的系数矩阵

它是可逆的,

实际上它是一个

三对角矩阵,

而且也是严格对角占优矩阵,

那么这个概念我们在学过

线性方程组的求解

这一章时,

我们大家会了解它的性质.

可以证明这个系数矩阵是可逆的,

因此方程组(11)有唯一解.

那我们就把M0,M1.一直到Mn

给它解出来,

再代入表达式(3),

就会得到三次样条函数

在每一个小区间上的表达式.

从而确定第一型

边界条件下的三次样条

插值问题的解s(x).

如果我们给出第二型边界条件,

也就是给出

两个边界点的二阶导数值

前面讲过

如果两个二阶导数值等于0的话,

那么叫做自然边界条件,

那么我们也得到

一个对应的方程组.

仍然可以证明这个方法组呢

它的系数矩阵是可逆的

从而有唯一解.

把它的解带入

(3)式 就可以确定

三次样条插值函数,

也就是说我们可以确定第二型

边界条件下三次样条函数的解

给出第三行边界条件

我们可以导出

方程组(14)

那么

和原来方程组(9)联立

我们就得到了方程组(15)

仍然可以证明这个方程组有唯一解.

我们也可以求出

第三型边界条件下三次样条函数.

以上我们介绍了三弯矩法,

下面我们看一个具体的例子.

给出函数表,

这里我们给出了三个节点

2,4,6

三个节点处的函数值分别是3,7,13.

我们还给出了两个端点

在2这一点的一阶导数值

是1

在6这一点的函数的

一阶导数值是-1

要求区间[2,6]上的

三次样条插值函数.

由于我们给出了

两个端点的一阶导数值

那么对应的

插值问题是固支插值问题.

它对应的方程组

是右端所示的

三元线性方程组.

那么由于有三个节点

将区间2，6分成了两个小区间

所以这里n取2,步长是2

我们代公式

分别算出μ1，λ1

以及d0，d1，d2的值,

就得到了下面的

具体的三维线性方程组.

通过求解

可以得到M0=1/4

M1=5/2,

M2=-29/4

将这组解

以及相关的数据

代入表达式(3)式,

注意表达式(3)式中的xi是节点,

我们可以代入相关数据,

那就得到了

我们要求的固支问题的

三次样条插值函数

它位于区间[2,6]上的表达式.

大家看到,

在每个小区间上

它都是三次式,

而且满足插值条件

最后

我们介绍

三次样条插值函数的误差定理.

假设被插值函数

在[a,b]上具有四阶连续导数,

对于给定

区间[a,b]上的一个划分

我们有下面的结论

第一型

第二型

边界条件下的三条插值函数

及其导数

二阶导数具有如下的

误差公式

首先

我们这里设

h它是

xi+1-xi的最大值

这里i从0到n-1

也就是说h是

小区间长度的最大值

那么我们有下面的误差不等式

f(k)(x)减去

s(k)(x)的无穷范数

小于等于ck乘以h的4-k次方

乘以f的四阶导数

的无穷范数

我们说f(x)的无穷范数定义为

f(x)的绝对值在[a,b]上的最大值

这里k分别取值0，1，2.

那么具体解释一下

这个不等式告诉我们

告诉我们

如果k取0

那也就意味着

被插值函数

减去

三次样条插值函数

差的无穷范数

小于等于

C0

乘以h的四次方

再乘以f的四阶导数的无穷范数

也就是说

当h趋于零时

s(x)

收敛于f(x)是四阶收敛

这里系数c0是5/384

如果k取1,我们有

f'(x)减去

s'(x)

差的无穷范数

小于等于c1乘以h的三次方

再乘以f四阶导的无穷范数

这里c1等于1/24.

最后我们有二阶导数逼近的一个

误差不等式

f''(x)减去

s''(x)

差的无穷范数

小于等于c2乘以h平方

再乘以f四阶导的

无穷范数

这里c2等于3/8.

这个定理我们不做证明

在数值微分中它有重要的应用.

本节介绍了三次样条插值,

三次样条插值在节点

具有二阶光滑度

它在工程设计中广泛使用.

构造三次样条函数的方法有多种,

除了本节介绍的三弯矩法,

还有三转角法.

进一步

除了三次样条函数,

我们还有M次样条函数

和B样条函数

这两种样条函数也是广泛应用的

样条函数,

那么有关内容

大家可以看相关的参考书