8.2 幂法与反幂法（上）在线视频

我们求特征值的时候

的有的时候

特别是工程上应用过程中间的时候

往往是要求一些

特殊的那个特征值

只要找到其中的一个

大多数情形下的时候

我们是找

矩阵特征值按模最大的

这个特征值

就是有可能是实数

也有可能是负数

按模这种最大特征值

还有它的特征

向量

拿这种特殊的

特征向量的时候

特征值呢

我们有一个非常简单的处理方法

就是幂法

把秘法的这个

思想的时候呢

主要的时候呢

就说

我们构造

一个序列

那这个序列的时候呢

逐渐逐渐的

收敛到

一个特定的

一个一种情况

这个情况我们可以看看啊

比如说我们可以

拿这种方法来进行做

随便的先选择一个

初始向量

为零为零

当然不能是零向量

然后每次的时候

把它左乘上A

v1=AV0

V2

等AV1

一直这么陆陆续续下去

那么这样下去以后呢

我们后面会发现

有一个规律

这个规律的也是我们的一个定理

当然他是有条件的

不是所有情况下

我们都会

出现这样类似的情况

这个条件是什么东西呢

就说

A

有N个线性无关的特征向量啊

也是说我们从数学角度是说

A有、

完备的特征向量系

就有N个

无关的特征向量

然后他对你的特征值了

λ1到λn

那比如说

这些λ1，λn

满足这样一个特定条件

比如λ1的

这个模最大

比其他人通通都大

通通都大

那么按照刚才所构造的

这个幂法的过程

我们就会发现一个规律

这个规律的就是说

在前后

两个的这些

向量中间

会发现了它们几乎是成比例的

而且这个比例呢

就是谁呢

就是这个最大的

那个特征值

当这个特征值的时候了

还有刚还有个小的要求

就说这个λ1

必须得是实数

因为我们现在

一般情况下给出的A矩阵

是一个实数矩阵

再进行迭代的过程

中间V0呢

给出来的时候呢

也是一个

实数向量

这个经过迭代以后了

所有的这些V

J阶也通通的都是食实数向量

实数向量和实数向量的时候呢

各个分量去比比出以后了

他肯定给出来是实数

所以我们这种方法只能用来求什么方式的

特征值

按模最大的

那个特征值呢

必须得是实数

正负没关系

必须得是实数

按照一般的规律

我们可以看看

因为它是具有完备的向量系

所以V0呢

可以用

刚才的那个完备向量系

X1，X2台到xn呢

直接表示出来

比如说表达出来的时候

是A倍的x1

A2倍的x2

an倍的xn全加起来

这是完备的地方

也就说因为他是线性无关的

也就是我们N维空间中间的一组基

因此的他是肯定有

V0是可以用

这种方法进行表示的

n表示的时候得注意到x1是

是对应的

是 λ1

对应的

特征

特征向量也就说我们前面有

A乘上x1

应该等于 λ1倍的x1

按照这种方法呢

我们Vk

根据规律推出来以后

相当是在为V0

左边乘以Ak

当别人说看Ak

的次方乘x1

最后刚刚说了

A倍的

A乘以x1就是 λ1倍的x1

那A平方乘以x1

就相当于 λ1平方x1

乘一个A相当于放大了 λ1倍

乘一个A相当于放大了 λ1倍

后面所有的x2到xn呢

也是类似的方式

只不过前面放大的系数呢

是他的特征值

对应的特征向量

放大的

特征值

放大倍数是对应特征值

然后刚才了我们的假设的过程中间

使用的时候了就是λ1的绝对值

是最大

λ2，λn呢

相对来说都是比较小的

因此我们可以看看Vk

我其中中间把

把Aλ1的k次方提出来以后呢

后面剩下的地方

A1乘以x1

加A2乘上λ2

除λ1

括号的k次方乘x2

续候我们往后加

我们λ2除λ1的模是比1小的

k的@@@@以后了

这部分几乎就是零了

后面的λn

除λ1括号k次方以后也是类似

也就说

Vki的主要的部分

就是

A1

乘上λ1的k次方

乘x1

自然的时候

Vk+1

就后一步

的Vk+1

也就相当于差不多的时候的是

A1乘上λ1的

k+1次方

乘x1

我们就可以看到

Vk+1和Vk之间

相差的时候

就相差一个λ一倍

也就说

我们说在这种运算过程中间

前后两步运算的过程差不多都熟了

就是放大λ一倍

越往后这个效果越明显

我们来看看一个例子

这例子选了一个非常简单三阶矩阵

我们选择初始值呢

三个

分量的全是一的

这么一个初始向量

按照这种方法了

我们给他

乘出来

我们现在列出来的

这个一共六点

其中的这个基数列

是我们每次迭代过程中间的时候

他的一个具体的数值

比如说第四的是6,6,12

然后后面的红色这个部分

是我们现在没取出来的

就说和前一部分

我们对应的这个分量相比

它的比值

比如说我们可以看看啊

红色的字越往后越往后

的地方的时候

差不多的时候都

变到的倍数基本是一样的啊

比如到最后一行

我们变到的倍数的时候了

都是差不多是8.1764

都差不多了

但是我们这个因为空间问题没有把

后续的步骤了全算出来

在往后算的时候了

基本就全都一样了

这就是我幂法所做的过程

但这个地方也发现我们有一个

小的问题

像这种方法

A是一个这种全是正数的矩阵

V呢就是

直接给出来时间也全是正的

这样算出来这个数字了

是像滚雪球一样的越滚越大

所有的分量

滚都非常非常大

像最后

我们现在这个行中间是只做

了十次

最后一行所得到的数据呢

已经差不多的时候的是

一以上

如果说

像这种

情形收敛的基本上是比较快的

我们已经差不多看出来的话

前后的比例低差不多是8.1764了

但有些时候呢

这个比例的收敛的

速度非常非常慢

那么这样做的话

我们在就说

有可能会造成一种什么原因

什么现象呢

就是这个数字越来越大

越来越大越大

觉得还没有判断他

前后差不多成比例的之前的时候了

这个数字有可能大到

计算器没法表示了

也就是说

做数据的时候

有可能溢出

所以呢

我们还要做

把这个幂法呢

做一个控制

做一个

加强讲话的部分

我们先来看看啊

对这道题来讲的时候

它对应的特征值

第一个

模最大的特征值

的他就是8.1764

36314473946

和我们

最后这场中间的

已经基本上差不多了

差不多那个笔直已经基本差不多了

但另外两个特征值是找不出来的

一个1.36左右的

一个一-0.53左右的

这是找不到的

我们看看

在刚才讲过的时候

如果λ1这个绝对值比一更大

像刚才那个λ1大概是八点多

因此这个xk呢

他做的时候了

这个向量

它逐渐逐渐的时候就放大了

放大的时候了

应该是趋向于无穷大

但有可能

收敛比较慢的时候了

会造成计算的溢出

然后反过来的时候λ1

如果绝对值小于1

小于1的地方的时候

那这个时候数据会越来越小

越来越小

基本到最后的时候了

我们看到的时候是0

这个时候整个向量

最后算出都是000

也就没有意义了

没法比了

对我们来讲也没法做前后

的这个比较

而为了方便这个处理的时候呢

我们可以给它

累步的手了

增加一个操作

在原有的基础上的时候

每部的时候了给它做一个规划

所以这种

秘法了

我们称为归一化幂法

归一化幂法的时候

怎么来处理呢

归一的地方

它是把

中间

向量

就绝对是最大的那个

我们硬生生的把它压缩成1

这个叫归一法

当归一的时候有几种处理方法

有的时候了就直接找到

最绝的是最大的那个

直接给他除掉

有的时候了

因为绝对值最大的那个

有可能是负的

它到底除以负号

还是不除符号呢

就是除正的值还是除负的值呢

这中间是有说法的

而会导致了中间的计算的时候

我们需要人为增加一些判断

一般的我们简单的一种处理了

就是说如果是负数

我们

表示的时候了

这个绝对值找到最大的分量

是一个负数

负数的地方@@@@@

那么取到了我们

现在的表示的最大的这值

MAX最大值

使它仍然保持负号

当证数正号就肯定还是正数

还是正数

这个不用说

我们就照这个最大的分量

绝对值最大的分量

直接压缩成1

不管他是正的

还是负的

压缩成1以后呢

然后后面再继续做迭代

把Uk呢做一个迭代

因为这个Uk呢

给他仅仅只是Vkj的一个

相当放缩了一个倍数

按照

规律的地方的时候

我们可以知道

UK和A，Vk

之间的地方的时候

它的运算过程

他相当是A的k次方乘V0

然后做了一个压缩

压缩的时候可以保证的地方

Uk的里头的

所有分量的绝对值

最大的那个啊

一定是1

一定是1

这样就可以保证的说

不至于说

我刚刚说的

数字越来越大

或者说数字越来越小

这个分别趋于无穷大

或者趋于0的这种情况

出现了我们这个最大值保证在1

保证在1

这样就不会出现刚才溢出的效果了