10.1 引言在线视频

各位同学上午好

今天我们来学习第十章

常微分方程初值问题的解法

我叫郑连存

来自北京科技大学数理学院

这是本章的主要内容

那么今天我们先学习前两节

1常微分方程问题的概念

初值问题的概念

常微分方程数值解的意义

常微分方程求解问题

广泛出现在自然界和生产实际

很多微分方程的解不能用

简单初等函数表示

甚至根本没有解析解

常微分方程解的本质

微分方程数值解

是一种常用的求近似解的方法

不是求解的解析表达式或近似表达式

而是求微分方程的解

也就是未知函数

在某些离散点的函数值

本章我们主要研究

一阶微分方程的初值问题

其中

F(X,Y)为已知函数

(1.2)为初始条件

下面我们介绍微分方程解的适定性

先介绍李普希茨条件

若F(X,Y) 在区域G上

连续

且对Y满足李普希茨条件

也就是存在正的常数L

使下列等式成立

则初值问题

(1.1)-(1.2) 的解是存在的

唯一的

其中L为 Lipschitz常数

李普希茨条件

通常很难验证

实际问题中

我们常用 F(X,Y)

在G上对 Y 的连续偏导数来代替

如果 F(X,Y)在区域G上有连续的偏导数

则函数F(X,Y)对Y的偏导数在G 上有界

我们假设它的上界是L

那么

由拉格朗日中值定理可以得到

这个表达式

那么利用这个假设

我们最后可以得到

小于L|Y1-Y2|

满足李普希茨条件

这里（X，Y1),(X,Y2) 是区域 G 中的变量

0＜θ＜1

注意反过来

满足李普希茨条件的函数

不一定存在偏导数

如函数

F(X,Y)=|Y|

在任何区域G上都满足李普希茨条件

但在Y=0是没有偏导数

初值问题(1.1)-(1.2)的

数值解法很容易推广到

一阶微分方程组

及高阶微分方程初值问题

常微分方程的编制问题

也可以转化为初值问题来求解

所以我们本章重点

集中在初值问题的解法

数值解的思想方法

将微分方程的求解区间进行分割

求出未知函数

Y(X)在一系列离散点出的近似值（Yk）

我们用 Yk 去近似

代替精确值 Y(Xk)

左式建立序列（Yk） 的关系式

通常都是差分方程

按递推公式

最后求出Y0

Y1,Y2,...,Yn+1

从迭代方法上划分

有单步法和多步法

从数值格式上来划分

有显示格式和隐式格式

简单单步法

我们先介绍欧拉方法

第一,区间的离散

将区间[a, b] n等份取步长

H等于(b-a)/n

结点X0=a, Xk=a+K*H

我们先介绍折线方法

将 X0,Y0 带入方程

右端F(X,Y)可以得到该曲线

曲线在该点处的切线的斜率

Y'(X0)=F(X0,Y0)

有了这一点, 有了斜率

我们就可以做出一条

切线

那么由

该点和该斜率

做出的切线

和X=X1

相交于P1(x1,y1)

那么当H很小时

我们就可以用切线上的

点的坐标Y1近似代替Y(X1)

那么他们的关系就有这样一个关系

用Y1近似Y(X1)

再从

(X1,Y1)出发

沿方向场 F(X1,Y1)前进

与直线 X=X2交于点

P2(X2,Y2)

又有Y2=Y1

加上H*F(X1,Y1)

我用Y2近似代替Y(X2)

按照同样的方法依次计算

在点X3,X4, 直到Xn处的近似值

Y3,Y4 一直到Yn

可以看出

一般有这样一个关系

Yk+1=Yk+H*F(Xk,Yk)

Y(X0)=Y0

上述差分格式称为欧拉公式

它是一种显示单步法

也称为欧拉折线法

那么我们在看其他推导方法

第二差商近似

在(1.1)中

将 Y(Xn) 的导数Y'(Xn)

用向前差商近似

我们可以得到这样一个关系

用Yn+1,Yn去近似Y(Xn+1)

Y(Xn)

即得欧拉公式

三 Taylor级数展开

将Y(Xn+1) 在Xn处做泰勒展开

我们得到这样一个展开式

取h的线性部分

并用Yn+1, Yn去近似

Y(Xn+1)和Y(Xn)

得到这样欧拉公式

下面我们再看第四种数值积分

将 Y＇(X)=F(X,Y)在Xn

Xn+1期间上积分我们得到

这样一个关系式

将积分

应左矩形近似

那么

我们同样得到

用欧拉公式

欧拉算法

我们在这就省略了

下面看例题

利用欧拉公式求解初值问题

Y＇=-2Y

加上X平方，Y0=1

取H等于0.1计算到X=0.5

并和精确阶段比较

解 在这F（X，Y）=-2Y+X平方

X0=0

由欧拉公式

我们可以得到

这样一个离散格式

将h=0.1 Xi=hi代入得

那么就得到这样一个迭代公式

其中Y0=1

利用这个迭代公式

我们可以得到他的

离散点处的顺函数值

那么我们得到计算结果和精确解比较

我们这有这是结点处的结点

这是我们得到的近似值

这是精确值

那么最后一栏是一项是

那么我们这一节内容就讲完了

我们主要讲了初值问题的概念

和简单单步法

那么我们这节课就讲完了

下面练习留给大家