9.6 数值微分在线视频

讲完了那个积分

我们来看看

微分就是反过来说

原来求积分

现在求导数

求导数的时候了

数值型的时候

和我们原来做积分的方式有点类似

有些时候的这个函数值

我们要给出来的时候呢

它是用离散的一些点列给出来的

但是要求我们用这些离散点

给出一些导数值

这是一个

第二个地方的时候就函数

原始的表达式的函数呢

非常麻烦

就在用的

场合中间的时候有的时候可能

不需要精确度

非常非常高

能不能用别的数值的方法

更快的计算出来

这些导数值

那这就是我们要求的这个

叫做数值微分的方式

将这个@@@求导数

真正做的过程

中间的时候的

我们实际上不是用导数

而是用差商来代替

因为从微积分的角度上来看的

导数的定义有下面三种情况

第一种情形下的时候

哎

h趋于0

h分之

上面是x加h时候的函数值

和X处的函数值之间的差

这个比值呢

本身就是一个插商

然后第二个是类似的

这h如果带0的地方的时候了

可以认为他是一个左导数

还有最后一种方式的

对应的地方的时候

是前两者之间的平均值

这样做出来以后了

我们可以通过泰勒公式

给他进行做一些

分析

比如说第一种

我们用它的方式的时候

取一个比较小的h

来找到

就当做

它的这个极限值

它本来应该求的极限

h非常小的时候应该离的比较接近

但这种比较接近能接近什么程度

我们从泰勒公式展开

可以看看啊

把

X零

f在x0加h的函数值呢

照泰勒公式展开

在x零处展开就行

我们展开到二姐

第一阶fx0

这是常数部分

和h相关的这是一阶导数

和二阶

h平方相关的

有个2的阶乘分之一

还有一个二阶导数

这个二阶导数呢

是在x0和加

x0加h之间

这样把它代到上面

这个插商的表达式里头去的

时候

可以看出来

它离真实的函数的导数值

差了一点点

差的时候是负

二分之一倍的h

乘上刚才那个二阶导数

也就是差不多的时候了

它的误差

是h的一个倍数

因为这个公式给出来的时候

这是一个插商形式

然后呢

x0加h一般

习惯上h都是正的

所以这个实际上是相当是用

后面一个数据

减前面一个东西

所以叫做向前插方

类似的时候呢

把

h改成负的

这就是

改成h0减h

这个是刚才第二个公式中间的时候

导出来的时候的向后

我们称为向后插商公式

这个公式的时候也跟

刚才同样的方法的

去进行分析

发现了它给出来的误差是二分之h

去乘上另外一个二阶导数

这个导数了

应该是在x0减h

和x0之间

把它两个做一个平均值

做一个平均值

这样得到了一个

我们得到一个中心误差

也是类似于以前所讲过的

一个正误差一个负误差

做平均值可能误差会抵消一部分

从原理上也可以去讲

我们把x0+h，x0-h两个点

的函数值

都照着泰勒公式展开

展开就会发现呢

和我们真实值差别的地方的时候

它的误差差不多的时候

是6分之h平方

乘上某个

三阶导数

乘上某个三阶导数

这样的大概的这个误差项是h平方

也就是说

这个中间插商公式呢

它的误差阶的要

高一点

就是一般

我们习惯上计算这个

就是导数的时候了

都是利用它来进行

做计算

不用前两个

前面两个误差比较低

误差稍微大一点

它阶比较低误差稍微

大一点点

后面的时候了

我们再看看

前面的

我们

做积分的过程中

第一大类的时候做的就是

插值型的数值积分

主要就是用的

插值多项式的时候

代替原来的函数了来进行

计算积分

导数呢

我们也可以用类似的手法

就用插值插出来的那个

连续函数呢

来做

它的导数的近似原来函数的导数

这样的就是也是得到一对

我们这个

数值微分的一个方式

它的导数怎么来进行求的呢

就是

我把拉格朗日

这个

插座是函数找出来Ln

fx的k阶导数呢

就用Ln的k阶导数去求

而且这个我们也知道

因为原来知道fx和Ln之间

的一个误差大概一个公式

这样得到的时候

我们也大概能算出来

他这个

k阶导数的时候

他又有一个

多大的误差

但这个不是特别方便啊

我们一般只求一阶到几阶的东西

后面

我们来看看一个简单的例子

比如说

我们现在的时候三个点

三个点中间那个点是x1

左边那个点是x1-h

右边那个点是x1+h

三个点等距的

然后函数值呢

从左往右的是y0，y1，y2

然后我现在要算这三个点的

导数的近似值

它们的近似值

近似值的时候

照我们刚才的插值的方式怎么求

先把对应的

把插值整个函数找出来

找出来以后的组装出来

成这么一个

二阶的多项式

这里头我们并没有化简

没化简以后

先给它求下导

先给它求下导

求完导数的时候

二阶多项式变成一阶多项式了

公式比较简单

那么直接的地方我们把

x=x1代进去

只剩下两项了

而且这个数值的时候了

就是2分之h乘上y2减y0

这个就是实际上就是

刚才我推出来的

向前插商和向后插商

做平均值的

那个中心插商公式

比如说左端点的

那个导数公式的时候的是2h

分之

负的三倍的y0

加上4倍的y1

在减去y2

然后说

x1加h的这个导数值

怎么方式呢

和这个公式基本是一样的

你把h改成-h就行了

把y0和y2换下个儿

换下位置就行

按照这样类似的方式的时候就说

我们插值的时候

比如说我找五个点去做插值

按照同样的手法的时候

我们可以插出来是

五点的

中点公式

这个是它的导数的时候了

终点是x

然后左右两个

左右的有两个点

x+h，x-h

再远一点

x加

2h，x-2h一共五个点

然后左右两个地方

一加一减

靠中间一点的那两个点了

他的系数不一样

一个-8一个正8

这是五点公式

然后左右两个端点的公式

比如左端点公司做的时候

也是类似的一个表达式

这时候五点必须得全用上啊

比如说x是左端点

那就x，x+h，x+2h

x+3h，x+4h

这样一共

他给出了五个点

然后照着这个五点端点公式

用刚才五点的插值多项式

求完以后求导求导以后了

把它带进去

找到就这么一个表达式

12分之h

负的

25倍的fx

加下一个点的48倍

减再下一个点36倍

再加上

下个点的

16倍

减这个点的三倍

这些函数值

做这么一个组合

这就是一个

微分的一个近似公式

当这个微分给出来地方的时候呢

有一个比较麻烦的一点的事情

比如说我们可以看看

刚才的中心差分

公式

上面是

fx加h

减fx减h

然后分子了又给出来

是按2分之h

h应该是一个非常小的数值

太大了

这个和我们刚刚所说的极限了

应该偏差比较远啊

偏差比较远

但这种计算呢

已经犯了我们

数值

分析中间的时候几个大的毛病

一个是除分母

分母是一个非常接近0的数字

这个是比较问题

第二个地方的时候

就是你看看分子

分子做了这个差

它是两个相近的数相减

两个相近数相减的时候

也是有

对应的地方的时候就是

会使得大幅度的数据丢失

就有效数字会丢失

然后下面又有除的

是一个非常小的数字

不管是绝对误差

也好像的误差也好

都会比较大

所以真正在计算的过程中间

这个h是不能太小的啊

不然不是不能特别小啊

应该稍微

离0稍微远点

这个时候才有用

但这就有用的这些数据的时候了

算的过程呢

又说你说我是极限

才能达到我的准确值

不是极限

你可能离得比较远

然后我们这时候呢就

和原来的理查德外推的方式一样

我们可以

给他

也重新安排一个

外推公式

在外推之前的时候

就说我需要把他的

误差的组项出来

或者说实际上我们可以用

整个的泰勒公式展开

把fx+h，fx-h

两点呢

全在x式子展开

展开以后会发现的时候

误差是这么安排的

第一个误差x平方

拿下一项的误差了

除了个平方以后

的下一项就x四次方

再往下就是x的6次

然后这样做的时候

就和我们前面的做

外推的积分公式一样

我们也可以给他推出来一个

导数的

利用这个中心差分公式开始

然后导出来的一系列的

这个外推的公式

当这个外推的公式的时候

我们来看看一个简单的算例

这算力例的时候了

求的时候是e的x次方

在x等于2附近的

这个导数近似值

当然这个导数很容易我们知道

就是e的平方

准确的数值的起点

大概的时候

7.389056098左右

然后照这个数值的时候了

我们取

用刚才所说的

G1

就是用我们刚才

套出来的

fx加h

减掉fx减h

除上两倍的h

用这个表达式去算

那h呢

我最开始取得稍微大一点

零点一零点二零点一这么往下降

降下去算的这个数值的时候

因为降得比较小

但是算出来的G1呢

它的有效数值的时候

最后那个

才差不多能达到我需要的精度

7.389068125

但这个误差的时候

仅仅能达到

大概和准确数值相比

的地方呢

只是精确到了

小数点后面

第五位

第五位已经不准了

第五位已经不准了

只是说四舍五入是它

差不多时候呢

是有第五位啊

一共是六位有效数字

但这六位有效数字的我们可以去用

刚才的外推的过程

逐渐逐渐往外推

推的过程的时候

比如推到第四层

得到了数据的时候已经达到了

7.38905699

和我们那个准确值

中间那个989

是差不多的

但是这个地方

这只是一个简单例子

这个是凑巧能够

给它计算出来的

但是呢

如果呢

我们把它

改成其他的函数

其他的函数

改成其它的那个误差

这个东西再往后推

实际上已经有的时候了

还可能出现没有意义

没有意义

比如说我做的时候

这个变得更厉害

比如说的是e的x平方次方

这个方法做的时候在

一附近二附近的时候呢

它算出来的可能第一列

前几个还可以

第二列的时候还可以

第三点基本没法看

因为他变化的幅度有点大啊

变化的幅度有点大

这个

误差了

就是陷入

我们刚刚所说的那个陷阱

里头了

它很多东西已经是

数值基本差不多啊

分子的时候了

误差

已经把

大量数值有效数值那个丢失掉了

最终的手时候呢

整个计算公式中间的

时候并不是数值本身的

东西占主要了而是

误差

就是舍入误差的时候

占最主要部分了

那时候的就是我们也要控制

注意一下

这种h取的时候

不能再无限制往下取了