当前课程知识点：计算方法 > 第10章 常微分方程初值问题的数值解法 > 10.3 单步法的误差与稳定性收敛性 > 10.3 单步法的误差与稳定性收敛性
大家好 上节课
我们学习了单步法的误差
今天我们接着学习单步法的稳定性
单步法的误差与稳定性
我们先介绍单步法的收敛性
数值方法收敛
是指对任意给定的x属于[a, b]
从点
a等于x0出发
按步长 h=(x-x0)/N
到第N步计算得到的 Yn
近似Y(Xn)
当h趋于零时
有Yn的极限就是Y(x)
那么也可以表成这一种形式
实际上就是n趋于0时
它的整体截断误差的极限是0
单步法的稳定性
稳定性是
用以刻画误差传播情况的概念
看这样一个定义
若存在常数C和h0, 当h＜h0时
由公式（3.1） 对任意两个初值
我们得到的解
Zn和Yn满足
Yn减Zn的绝对值
不超过两个
初值绝对值的c倍
这时候我们称
公式（3.1）对初值是稳定的
定理1
这个数值公式（3.1）中的增量函数
Φ
等于
Φ(X,Y,H)是X,Y,H的连续函数
关于Y满足利普希茨条件
则公式
（3.1）是数值稳定的
而这就是我们一直强调
满足利普希茨条件原因
下面我们看绝对稳定性
各种计算方法
绝对稳定性问题只能以模型方程
我们也称为实验方程的初值问题
来讨论
那么就把右边的 f(X，Y）换成λ*Y,其中λ
可以为实数或复数
这是初值条件
定义4
固定(h一)=λ*h
用某方种方法解模型问题
对不同的初值
αβ我们有这个关系
|Yn-Zn|绝对值不超过
小于Cn*
α-β之差的绝对值
则称该方法对(h一)是绝对稳定的
其中Cn小于1
并且随着n的增加而减少
绝对稳定域
使数值方法绝对稳定的
(H一)=λ*h
在复平面上允许的范围
称为绝对稳定域
绝对稳定域
越大的方法适应性越广
对于步长无限制的方法
称为无条件稳定的
也称为A稳定的
定义4的等价形式
用某种方法解模型方程
计算Yn引起的误差εn
计算Yn+k
引起的误差是εn+k
满足|εn+k|
不超过|εn|
则称这个数值方法
对步长h和λ是绝对稳定的
对一切非典型方程
通常可以取 λ
等于函数 f对Y的偏导数将其模型化
看例题
讨论欧拉方法的绝对稳定性
由误差方程
我们得到
ε_(n+1)=（1+λ*h）*
εn
得到εn 的绝对值不超过
1+λ*h
绝对值的n次方乘以
|ε0|的绝对值
那么显然只有
1+λ*h的绝对值小1时
方法是绝对稳定的
因此欧拉方法的绝对稳定域
为复平面上以（-1，0）为中心
以1为半径的圆
我们看这样一个图
实际上大家看
我们把它看成z
λ*h是z 是z轴
|z-(-1)|
|z-(-1)|绝对值
小于1,恰好这是-1
|z-(-1)|绝对值
小于1
恰好是这个圆盘内
是绝对稳定
研究梯形方法的绝对稳定性
由梯形公式我们得到
误差方程ε_(n+1)
然后
它的绝对值我们最后利用递推
迭代我们得到εn的
绝对值小于
这个绝对值的 n 次方乘以ε0
那么显然当这绝对值小于1时
是绝对稳定的
所以
只要
Re(λ) < 0时是绝对稳定的
也就是说
梯形方法的绝对稳定域
为复平面的左半平面
小结
这节主要讲了简单单步法的稳定性
那么在这包括单步法收敛性
单步法稳定性
例题 练习留给大家
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 算法与效率
-1.3 计算机数系与浮点运算
-1.4 误差与有效数字
-1.5 四则运算与函数求值的误差
-1.6 问题的性态与条件数
-1.7 算法数值稳定性
-第1章 作业
--第一章 作业
-2.1 引言 2.2 线性空间
-2.3 内积空间与元素的夹角
-2.4 赋范线性空间
-2.5 向量范数与向量序列极限
-2.6 矩阵范数
--2.6 矩阵范数
-第二章 作业
--第二章 作业
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.3 不动点迭代法
--3.2 二分法
-3.4 不动点迭代法的收敛条件
-3.5 牛顿迭代法及其变形
-3.6 迭代法收敛阶
-3.7 重根的计算与加速收敛
-3.8 数值实验
--3.8 数值实验
-第3章 作业
--第3章 作业
-4.1 引言
--4.1 引言
-4.2 Lagrange插值
-4.3 Lagrange插值余项
-4.4 Newton差商插值
-4.5 Hermite插值
-4.6 分段多项式插值
-4.7 三次样条插值
-4.8 数值实验
--4.8 数值实验
-第4章 作业
--第4章 作业
-5.1 函数逼近与曲线拟合基本概念
-5.2 连续函数的最佳平方逼近
-5.3 曲线拟合的最小二乘法
-第5章 作业
--第5章 作业
-6.1 引言 6.2 高斯消元法
-6.3 矩阵分解与应用
-6.4 误差分析 6.5 数值实验
-第6章 作业
--第6章 作业
-7.1 引言 7.2 线性方程组的迭代法（上）
-7.2 线性方程组的迭代法
-7.3 非线性方程组的迭代法
-7.4 数值实验
--7.4 数值实验
-第7章 作业
--第7章 作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 幂法与反幂法
-8.3 矩阵的正交分解
-8.4 QR方法
--8.4 QR方法
-8.5 Jacobi方法
-第8章 作业
--第8章 作业
-9.1 引言
-9.2 牛顿-柯特斯公式
-9.3 复合牛顿-柯特斯公式
-9.4 龙贝格算法
-9.5 高斯型求积公式
-9.6 数值微分
--9.6 数值微分
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 梯形公式和改进的欧拉方法
-10.3 单步法的误差与稳定性收敛性
-10.4 高阶单步方法
-10.5 线性多步法
-10.6 多步法的误差与稳定性
-10.7 一阶微分方程组与高阶微分方程
-第10章 作业
--第10章 作业
