6.3 矩阵分解与应用在线视频

同学们

我们下面介绍一下

我们直接法里面的第三部分

关于矩阵的分解和应用

那么

刚才我们学习消元法过程中可以看到

我们怎么叫分解

说把一个系数矩阵A

假设分解成L和U相乘

其中L是

下三角矩阵U是上三角矩阵

这样的话可以把A写成L乘U

同时原方程组

Ax等于b就可以写成

L乘UX等于b

所以把原方程组转化成两个方程组

一个是L乘y等于b另外一个

U乘x等于y

所以说我们通过这个分解之后

把一个方程组变成两个方程组了

所以说我们如果先通过L乘y等于b

把y解出来

然后

再通过U乘x等于y

把x求解了同样的话

我们就得到了这个方程组和它的解

这个整个是L分解基本思想

那么按照刚才所讲的

进行分解

成L乘U一般情况下有两种情况

一个是L

如果是个单位下三角矩阵

那么把他叫做杜里特尔

如果说U是

单位上三角矩阵

把它叫做克劳特分解

所以说我们一般来讲做这LU分解

有两种情况

一个是杜里特尔分解

还有一个叫克劳特分解

如果没有一般情况下或者没有说明

讲的都是杜里特尔

这是第一个关于LU分解具体

第二个

这样的分解

在实际计算里边

它有个很重要的格式问题

可以把L和U两个矩阵压缩到一个

数组里面去

而且还可以

存储在原来的系数矩阵里面

这样的话

计算机处理数据就比较方便

把这种格式

也叫做紧凑格式

我们下面看一下具体到底如何去分解

我们假设L乘U等于A

刚才说了

如果说没有特殊情况下

我们这个分解都叫杜里特尔分解

所以说L是个单位下三角矩阵

U是上三角矩阵

我们让它们两个相乘

等于A下面

按照矩阵的乘法公式

我们可以把这里面的元素

lij跟我们的

uij全部计算出来

底下给个统一的公式

那个公式

就是说li乘uj

那么等于L的第i行和U的第j列

他们对应元素相乘相加

等于aij这个公式

整个可以说

把LU分解里面元素全部计算出来

我们给个一般的公式

根据矩阵乘法和相等定义

我们有下面两个公式

通过公式可以把矩阵进行分解

那么得到了最后的

要用的叫杜里特尔分解公式

也就把我们的uij跟lji全部计算出来

这样的话

我们可以说对A做了一个LU分解

那么分解完之后

按我们刚才所学习过的所讲的

把它分成两个方程组

来进行计算就可以

那么这工作如果到计算机来做的话

就说在计算机程序中

常常把这个办法

用的比较好一些比较方便

它的特点的存储量要小

L和U中的三角阵

它的零元素多

也就说L的对角线元素

也因为它都是1

也没有必要把它记录在程序里面

这样可以只用一个n阶的

方阵就可以把这些元素存好了

这是我们刚才说的

LU分解的基本过程

那么它的特点有下面三个第一个

关于它的

LU分解跟右端的向量是没关系的

有个自由向量

如上，没关系

第二个

分解是按步进行

前边分解得到的信息

后面是有用的第三个

我们的矩阵A

它的存储空间是可以利用的

这个主要讲的是

在计算机处理数据里边的一些过程

那么

通过LU分解学习之后

我们其实发现还有它的一些

特殊的一些应用

我们把它叫

做特殊方程组的求解问题

由两个方面第一个

我们对这个方法介绍来讲

叫追赶法第二个

叫如上分解法

同时把它改进之后会得到平方根法

那么这两个办法

其实它的对象是有特殊性的

我们看一下什么叫特殊性

也说追赶法

主要解决稀疏线性方程组

对追赶法的应用来讲

我们要解决这种带状方程组

换句话说

这个方程组

它的系数矩阵的呈现一个带状形式

那么是不是带状形式

我们看一下这个图也说这个方程组

它的里边的这个系数矩阵

都是这个带状的

从左上角到右下角

我们看一下它有三个主元素

三列主元素从左上到右下角的话

大家可以

想象一下像个带子放在这儿

那么它所对应的系数矩阵

以主对角线

为目标在两个方面

有这么两类元素

这是带状矩阵

因此

这个追赶法它的

目标是适合于带状矩阵的方程组

那么把刚才学习过的LU分解

包括这个

具体的过程应用到

这种带状矩阵里面

我们所得到的方法叫

追赶法

下面看一下这个方法到底怎么做的

同样的方法一样的

我们首先把系数矩阵做一个分解

那刚才说了LU分解有两种情况

一个叫杜里特尔分解

一个叫克劳特分解

我们下面换个形式

把这个带状矩阵

做一下克劳特分解

那么克劳特分解之后

我们假设A矩阵分解之后

等于L乘U

那么这个时候

大家知道U对角线元素1

这个上三角方程组

那叫做克劳特分解

同样办法令矩阵相乘

L和U的元素对应的元素相乘相加

得到A的系矩阵的元素

我们可以把这里面的如上

全部计算出来

我们给一个一般公式就是

L的第i行

与U的第j列对元素相乘相加

我们通过这个办法

得到了下面一个计算公式

这个计算公式

也很形象

也很有意思

我们看一下公式

那么里面的这三列元素

一个是如上

如上所示

还有如上

还有如上的这三类元素

之后我们可以把它的公式

用过来来计算它的求解问题

也说利用刚才的分解过程

通过克劳特分解

把原方程组分解成L乘y等于d

同时那Ux等于y

那么怎么办

我们先通过L

乘y等d先把y计算出来

然后

再通过U乘x等于y

再把x计算出来

这样的话我们就得到了

这个方程组的解

同时

这个追赶法

它的含义很清楚

什么叫追赶法很形象

因为我们从这个计算过程中发现

如果把这个计算β1再计算β2

再计算βn-1通过这个值之后

我们会得到y1、y2到yn

这个过程大家发现那个下标

1、2到n到正好从小到大

因此把这个过程叫追的过程

另外

我们通过Ax等于d

解决了我们的Xn的计算问题

Xn计算完之后

我们会算Xn-1

最后再算X1

从这个计算过程发现

X的下标是从大到小

所以说把这个过程叫赶也很形象

那么这个过程

把他叫到追赶法

这是我们说的

利用LU分解

解决了我们的这种

带状矩阵的求解问题

同时产生方法叫追赶法

当然

我们刚才讲的例子利用克劳特分解

进行的

不过我们可以对这个方程组

进行杜里特尔分解

这个就不再介绍了

那么

通过刚才所学习

这个LU分解追赶法

我们把这个概念的拓宽一下

给个一般的定理

如果这个带状矩阵

换句话说

它上带宽为q下带宽为p的n阶

带状矩阵A

它有杜里特尔分解

也说把A可以分解成LU

那么则这个L是一个下带宽为P的单位

下三角矩阵

U是上带宽为q的上三角矩阵

这样我们会得到一般

公式叫做杜里特尔分解

刚才所讲的是克劳特分解这两个

用一个就可以了

把这个公式也一般化

我就得到了杜里特尔分解它的

追赶法的一般公式

这一页给大家显示的就是

杜里特尔分解的一个详细过程

跟刚才所学习过的克劳特

分解是比较类似的

这两个方法是类似的方法

这是我刚才学习过的

这个克劳特分解

包括杜里特尔分解

用到带状矩阵所对应的方程组里面

所产生的追赶法

然后

我们下面把这个办法再

特殊化一下更特殊了

我们第二个办法的叫LD

L转置分解法

这个方法

它的特殊性体现到

这个方程组的系数矩阵比较特殊

是一个对称矩阵

也在实际问题里面

如果碰到一个方程组的系数

矩阵是对称矩阵

我们把这个LU分解这个追赶法

再应用一下就会得到

LDL转置的这个分解办法

明确了这方程组具有特殊性

它的系数矩阵一个对称矩阵

我们下面给个定理

这个定理也可以证明

在这我们就不去详细做证明了

如果这个方程组

它的系数矩阵是对称矩阵

那么A的各阶顺序

主子式不为0时

那么它会有唯一的杜里特尔分解

这个定理告诉我们

这个分解是肯定存在的

是没有任何问题的

当然了

我们按照刚才所讲的方法

继续学习一下这个LD

L转置的分解过程

也算我们通过刚才分解

把LU这个分解

再把U继续分解一下

把U分解成如上矩阵

那么这里面的具体的D是个对角阵

就是我们刚才所学过的U矩阵的

对角线元素

另外一个如上矩阵

他实际上是把U矩阵

里面的对角线元素

它每一列

对角元素如上

一直到如上全部提出去

所得到的这个矩阵叫U波浪矩阵

那么由于刚才所讲的

这个方程组的系矩阵是个对称矩阵

那么A和A的转置相等

我们下面通过一个矩阵运算

如上所示

按照矩阵转置的乘积的公式

我们就得到了如上所示

这样过程也是我们从这个

矩阵的运算里面发现一个结果

那么就得到什么结果

U波浪这个转置矩阵

跟L矩阵是相等的

也是说得到这样的例子

因此

把这个系矩阵

如果是一个对称矩阵的情况下

把LU分解具体化一下

会得到了下面一个分解

我们要以定理形式给大家

定理告诉我们说

如果对称矩阵A的各阶顺序

主子式不为零

那么则A会有唯一的杜里特尔分解

那就是A可以分解成LD

再乘L转置那么这里面的L矩阵

是一个单位下三角矩阵

D刚才说过把U又做了一次分解

所以说D矩阵里面的对角元素

是对角阵

那么L转置

刚才说了是它的L的转置矩阵

这样的话我们说

如果系数矩阵是个对称矩阵的话

我们会得到LU分解

另外一个特殊形式

LD再乘L转置这样一个矩阵

那么下面一样道理

按照矩阵乘法的运算规律

以及矩阵乘法相等的这个结果

我们把矩阵里面的元素

就是如上全部计算出来

给出它的公式

那么利用这个公式

可求解这种特殊系数矩阵方程组

如果是一个对称矩阵的情况下

它的一个解

这就是说的关于LD

L转置的这个方法

下面再看个简单例题

也是三个变量的一个线性

方程组

我们看一下这个方程组

它的系数矩阵

确实是一个对称矩阵

因此那就利用刚才所学习过的公式

能把它做一下分解

就直接做LD

L转置的这个分解分解完之后

按照刚才的学习

就可以进行这个求解

我们可以把它里面的变量

包括y1、y2

y3以及x1、x2、x3全部计算出来

这是很清楚的

知道这个方程组系数矩阵

必须要是一个对称矩阵

才能够用

LDL转置的这个方法

那么结合刚才所学习过的方法

第三个特殊情况

我们说

如果这个方程组的系数让它更特殊

是个正定矩阵

那如果方程组系数矩阵

是个正定矩阵

由定理告诉我们

这个方程组的分解也能够完成

我们下面把他的过程再简单描述一下

刚才学习过的LD

L转置这个分解基础之上

我们说

如果这个方程组

的系矩阵是正定矩阵

我们可以再接着分解

只做一步

就把D再分解一下

把D分解成

D的二分之一次乘D的二分之一次

分解完之后我们再看看矩阵运算

A应该等于L乘D

再乘L转置

那么因为刚才说了

这个分解是能够进行下去的

所以说把D再分解成

D的二分之一次乘D的二分之一次

我们利用矩阵相乘的结合律

会得到LD二分之一

再乘它的转制

这样的话

我们会引入一个新的矩阵

叫L波浪的矩阵

那么就说

A分解成L

波浪乘L

波浪的转置矩阵

这样情况下

我们说

如果这个系数矩阵是个正定矩阵

我们得到了这个分解

把它叫做Cholesky分解

Cholesky分解

那么这里面的注意下

这个L是个下三角矩阵

把它称作Cholesky

三角阵那么用Cholesky

可以得到加一个正定矩阵情况下

方程组求解

把这个方法就叫做平方根法

这就是我们说的

三个很特殊的一个分解过程