4.2 Lagrange插值在线视频

今天我们讲第二节

拉格朗日插值

首先我们来考察线性插值

给定两个点

（x0,y0），

（x1,y1）

这里我们假设x0不等于x1

求次数不超过1次的多项式

P1(x)

满足P1(x0)=y0

P1(x1)=y1

从几何上看

满足以上条件的

P1(x)它的图形

就是过两点

（x0，y0），（x1，y1）的一条直线

由点斜式

我们可以很容易的写出

P1(x)的表达式

那么我们再将P1(x)表达式

改写成对称式得到下面的式子

我们将两个分式用L10(x)

和L11(x)来表示

那么P1(x)就可以表示成

L10(x)

与L11(x)的线性组合组合

组合系数就是y0与y1

下面我们来分析一下这两个分式

首先由定义可以看出

L10(x)与L11(x)

它们都是一次式

L10(x)

在节点x0的值是1

在x1点的值是0

L11(x)

它在节点x0的值取0

在x1点的值取1

这两个函数

我们称其为

以x0，x1为节点的一次

拉格朗日插值基函数

每个节点都有一个基函数

由于一次插值有两个节点

因此一次插值有两个基函数

P1(x)就可以表示成

这两个基函数的线性组合

这里我们要注意

基函数的下标

它有两个下标

第一个下标

表示次数

这两个基函数都是一次的

第二个下标

对应于

取值为1的那个节点的下标

比如说L10(x)

它的第2个下标是零

那也就是说

它在x0点取值为1

以上我们介绍了一次插值

一次插值的这种方法

叫做基函数法

下面我们将这种方法

推广到n次插值

给定n+1个点

（x0，y0），

（x1，y1），…,(xn，yn)

求次数小于等于n次的多项式

Pn(x)

满足插值条件

Pn(x0)=y0

Pn(x1)=y1

一直到Pn(xn)=yn

我们仿照线性插值的方法

将Pn(x)

表示为

n+1个基函数的线性组合

注意

由于n次插值有n+1个节点

所以应该有n+1个基函数

那么基函数满足什么条件呢

由于Pn(x)它是不超过

n次多项式

并且要满足插值条件

所以我们要求

这n+1个基函数

应该都是n次多项式

在节点处

它们要满足

Lnj(xi)

当i不等于j时取值为零

当i等于j时取值为1

也就是说

这n+1个基函数在节点处要满足

下述的条件

满足这样条件的Lnj(x)

如何来构造

我们来考察

Lnj(x)的表达式

从Lnj(x)在节点处的取值

可以看出

除了节点xj

它在其他节点的取值都是0

这说明Lnj(x)

有n个零点

由于Lnj(x)还是n次式

那么我们就可以

把Lnj(x)

设为（3）式

等于λ乘以

x-x0

一直乘到x-xj-1

再乘x-xj+1

最后乘到x-xn

那么系数λ如何确定呢

我们还有一个条件没用上

那就是Lnj(xj)=1

利用这个条件

我们来求出λ的值

将λ的取值带入（3）式

就确定了Lnj(xj)的表达式

大家注意

Lnj(xj)的结构

它的分子

是除掉x-xj这个一次式以外

其他节点的一次式的连乘积

有n个一次式

而分母

是把分子中的x

替换成xj

n个数的连乘积

Lnj(x)

当j取0，1到n的时候

这样的一组函数我们称为是

以x0，x1，…,xn为节点的n次

拉格朗日插值基函数

n次插值

有n+1个节点

所以有n+1个基函数

大家从(4)式可以看出

拉格朗日插值基函数

它只与节点有关

与被插值函数f(x)

是没有关系的

那么将

拉格朗日插值基函数带入

(2)式，我们就得到了(5)式

公式(5)我们称为是n次

拉格朗日插值多项式

由(5)式可以看出

只要求出了基函数Lnj(x)

那么带入(5)式

我们就可以表示

Pn(x)避开了解方程组

下面我们举一个例子

给出三个点

X0=100，y0=10

x1=121

y1=11

x2=144

y2=12

分别用线性插值

与二次插值来求根号115

观察这个数据

我们发现

x0平方根是10

121的平方根是11

x2=144

它的平方根是12

那么现在我们要求

115的平方根

这个115

我们称为是插值点

现在我们首先

考察线性插值

线性插值需要两个节点

由于插值点

115靠近100和121

因此呢

我们取

x0，x1作为节点

构造线性插值公式

这里P1(x)的表达式中的两个分式

也就是x-x1比上x0-x1

与x-x0比上x1-x0这两个分式

是一次拉格朗日插值基函数

我们将相关的数据代入

就得到了具体的

P1(x)表达式

再将插值点

115代入P1(x)

就得到了根号115的一个近似值

它约等于P1(115)

等于10.714728

这是我们通过

线性插值

求得的根号115的一个近似值

下面我们再来做二次插值

二次插值需要三个节点

所以给出的节点全部要用上

那么我们根据它的二次插值基函数

写出二次插值的表达式

其中这三个分式

就是二次插值的三个基函数

我们再将插值点

x=115代入P2(x)

那么就得到了根号

115的一个近似值

它约等于P2(115）

等于10.7228

根号115

它有无穷多位

我们看到我们写出了小数点后的

前六位

10.723805

那么将二次插值的结果

与线性插值的结果做比较

我们会发现

二次插值

比线性插值的精度更高一些

以上我们介绍了拉格朗日插值法

拉格朗日插值法的主要思想是通过

引入拉格朗日插值基函数

来构造n次插值多项式

这种方法就避免了

求解病态方程组

下一节

我们将介绍

拉格朗日插值余项，

介绍插值多项式的截断误差