10.4 高阶单步方法在线视频

同学们 大家好

前面我们学习了

初值问题的概念

简单单步法

单步法的误差与稳定性

今天我们接着讲高阶单步法

先看泰勒方法

假定f(X)充分光滑

Y(X) 在 [A, B]上

有直到 p+1 阶的连续导数

由 p 阶泰勒公式

我们可以得到这样一个展开式

(4.1)

公式中的Yk

可以用Y'= f(X,Y)

按如下方式来计算

这样就可以得到

一个局部截断误差阶是O(h^（p+1）)

的单步方法

(4.2)

其中Y^（r）=

[f(x,y(x))]

整体的r-1阶导数

上式只有当f的表达式比较简单时

才有实际价值

我们先看龙格库塔方法

回忆我们曾经将改进的欧拉公式

写成什么形式

写成了这样一种形式

这种形式好处在哪呢

它是先计算K1计算一次函数值

K2又计算一次函数值

然后用 K1+K2 这么一种组合

就得到了下一步的值

那么

受这种思想的启发

其优点就是计算f(X,Y)的值

局部截断误差的阶O(h^（3））

比较欧拉方法截断误差高一阶

那么

受这种方法的启发

我们在期间Xn到Xn+1上

并 f(X,Y)

在这些点上的函数值的线性组合

来表示Yn+1

那么我们就得到这样一个表达式

我们想象着

这个可以提高局部

截断误差的阶

区间结点中的函数值我们是未知的

由改进的欧拉方法知

这个函数值

Y(Xn)

可由Yn

及K1=f(Xn,Yn)来做预报

那么我们

也就是Y(Xn+1)可以用Yn

+h*K1 来代替

设

K1=f(Xn,Yn)

kj等于这样一个组合

Yn+1=Yn+h*

j得1到P αjkj

我们把这个称为

p阶显式

Rungc-Kutta方法

简称R-K方法

其中αj

其中βj

λj

bjL为待定参数

我们先介绍二阶龙格库塔方法

当p=2的情况

那么我们有如下形式

现在看如何确定这些系数

记 Φ(X,Y,h)

等于

α1*k1+α2*k2

那么就等于这个表达式

这一部分第一式

可以写成这样一种形式

那么将(4.6)中的

右端

也就是在这一端

在Xn处作泰勒展开

可以得到这样一个表达式

我们在看

Y(Xn+1)可以写成这样一种形式

我们把它展开

一个表达式

我们比较这两式

看h方幂的系数

注意到Yn等于Y(Xn)

当

α1+α2 大家看α1

是h的一次方 α2

这也是h的一次方

那么在这儿呢

这个fXn

Yn是h的一次方

那么比较就有

α1+α2=1

还有λ2*

α2=1/2

b21*

α2=1/2

那么就得到这样一个方程

这个方程有

这是三个方程

有四个未知数

那么当这个条件成立的时候

我们就有Tn+1

等于O(h^（3）)

是二阶方法

方程(4.8)中有三个方程

四个未知量

解也不是唯一的

其中有一个自由未知量

这个称为二级

二阶显式的R-K公式

二级是指调用两次函数

二阶是精度是O(h^（p+1）次方

局部截断误差的阶

当取 λ2=1

可以求出α1=α2=1/2

b21=1

就得到改进的欧拉公式

当取λ2=1/2

α2=α1=0

b21=1/2

可以得到变形的欧拉公式

那么就是说

这四个未知量中

任何一个值就可以得到

其它三个值

都可以得到一个

二级二阶的方法

那么我们看四级四阶R-K公式

在p级R-K方法中

最常用的是标准的

也称为经典的四级

四阶龙格库塔方法

那么

(4.10)

这是调用了四次函数

K1,K2,K3,K4调用了四次函数

最后它的误差的阶

是四阶

有的教材还

写成另外一种形式

这是等价形式

同学们可以换算一下

局部截断误差

是

Tn+1=O(h^（5）)次方

同学们可以自己验算

下表给出了

用龙格库塔方法计算f值的次数

与方法阶之间的关系

看这是计算f的次数

这是方法的最高阶数

在龙格库塔方法中

当计算四次的时候

它的阶是四次

当在计算这五次的时候

阶还是4次

所以我们一般的记

用四级四阶龙格库塔方法就很好了

这是非常常用的

它的算法

我们在这丛略

我们在这从略

下面看例题

用经典的龙格库塔方法

计算初值问题

这是我们前边算过

取H的零点一

计算到X等于0.5

并和改进的欧拉方法比较

这是我们计算的结果

大家看这是用经典的龙格库塔方法

大家看这是用经典的龙格库塔方法

计算出的近似值

这是结点

然后这是误差

改进的欧拉方法计算的近似值

这是误差

那么我们看这个龙格库塔方法

这走到10的负六次方

而改进的欧拉方法

那么

它的精度就

到10的负三次方

所以经典的龙格库塔方法精度

要比改进的欧拉方法

要高

从表中可以看出

用欧拉方法改进的欧拉方法

经典的

龙格库塔方法

采用相同的步长计算

同一初值问题

经典的龙格库塔方法最好

改进的欧拉方法次之

那么最后就是

龙格欧拉方法误差最高

小结这节课我们

主要介绍了高阶单步法

讲了泰勒方法

龙格库塔方法

二级二阶龙格库塔法

和4级4阶龙格库塔方法

练习就留给大家