5.1 函数逼近与曲线拟合基本概念在线视频

大家好

我叫沈政伟是北京科技大学老师

今天由我来给大家讲解计算方法的第五章

函数逼近与曲线拟合

我们要讲三小节第一小节

我们讲

函数逼近与曲线拟合基本概念

第二节我们讲

连续函数的最佳平方逼近方法

第三节

我们讲曲线拟合的最小二乘法

首先我们来讲

函数逼近与曲线拟合的基本概念

函数逼近与曲线拟合

实际上就是对工程当中取得的离散数据

或者是某一个指定的函数

用一个函数或者是曲线来进行拟合

或者是逼近

那么有同学可能会说

我们在前面已经学过一种函数逼近的方法

那就是插值的方法

但实际上

今天我们讲的这个函数逼近与曲线拟合的方法

与我们前面学的插值的方法

有本质的区别

我们通过一个图来看一下这种区别

这是一些我们

在实际工程当中取得的离散数据

如果用我们前面讲解的插值的方法

对它进行拟合或者是逼近的话

必须要求及插值函数

一定要经过这些离散点

那么插值函数就应该是这样的

但是如果用我们今天讲的函数逼近

或者是曲线拟合的方法来去

拟合这些数据的话

我们不必要求曲线拟合的函数或者是

曲线与经过这离散点

由此我们会产生一个问题

如何度量曲线

拟合于

实际的离散数据之间这种误差

那么我们对逼近

或者是拟合效果的度量

是通过要求待求的逼近

或者是拟合的函数与离散数据

在某种

距离意义下达到最小就可以了

那么常用的距离有两种

第一种就是拟合函数

psi(x)预备拟合函数

f(x)之间的无穷范数

那么这种逼近

我们称之为一致逼近

另外一种就是拟合函数

psi(x)与被拟合函数f(x)

之间的

这种二范数距离意义下的一种逼近

那么这种逼近我们称之为是平方逼近

那么这个平方逼近实际上就是

度量的拟合函数

φ(x)与

被拟合函数f(x)之间的欧式（欧几里得）距离

有了这个距离的度量之后

剩下的问题就是如何去求这个拟合函数

φ(x)

那么一般情况下

对于任意的一个被拟合函数

f(x)

或者是离散的数据xi

yi

我们往往是需要在某个函数空间内

比如说这个函数空间

是用大写的Psi来表示

在这个函数空间里找一个函数φ(x)

使得这个φ(x)

与被拟合函数f(x)在前面

我们说的这两种距离意义下

达到最小

那么这个空间

我们称之为是一个函数子空间

它由一些

函数张成

这个函数我们记成为φ0

φ1 一直到φn

那么这些函数我们称为基函数

对于这个空间里面的任何一个函数

都可以由

这些基函数来进行线性展开

我们可以把它写成是

这些基函数的线性组合的形式

那么下面我们就给出一些

函数子空间一些例子

那么刚才我们说我们这个函数空间

可以有一些基函数

来去张成

那么对这个基函数的要求

最低的要求是要求

它必须是线性无关的

当然

我们可以再去进行严格的要求

比如说要求它是正交的

那么下面我们给出正交函数系的定义

如果函数列φ0

φ1一直到φn可能还有无穷项

在一个区间

【a,b】上是满足如下的关系

那我们就称这个函数列

是在[a,b]区间上

是带权rho(x)的一个正交函数系

那么这个关系

φj和φk括号

我们把它称之为是

函数φj和φk的一个内积定义

那么这个内积定义如果在函数

意义下

就是定义为在

[a,b]上的一个定积分

当j和k

不相等的时候为0

当j和k相等的时候

那么它只要是一个非负的

正数就可以

那么这个时候

我们就称φj和φk

是满足带rho(X)的一个正交函数系

当然

这里面rho(x)可以取1

下面我们看一个例子

三角函数系

三角函数系其实际上我们在高等数学里面

已经学过

那么也就是1 cosx

sinx cos2x

sin2x 一直到

coskx sinkx

我们可以验证它

实际上满足前面刚才我们给出的这个关系式

那么他们就是在区间负π到π上

带权rho(x)恒等于1的一个正交函数系

对于任意的一个以2π为周期的函数

f(x)总可以在这个函数子空间中

找到一个最佳的一个

逼近函数φx

φx可以写成是

这个函数系的一个线性组合的形式

那么根据在高等数学里面的知识

我们知道

这个

这就是我们的

傅立叶级数的定义

那么f（x）是一个

以2π为周期的函数

它一定可以写成为

一系列

三角函数系的线性组合的形式

那么

前边这个表达式里面的

a0，ak还有bk

就称之为

在这组三角函数系上展开的系数

k从1到无穷

k取的越多

那么对

函数f(x)的逼近效果就会越好

我们看一个例子

在这个图里面

黑色的线组成的是一个以两l

为周期的一个函数

当然可以对这个函数进行延拓

那么红色的这个曲线

实际上是我们在刚才

那个傅立叶级数里面取k等于

一的时候的函数的一个图像

那么黄色的曲线实际上是K取

二的时候一个函数的一个曲线

那么其他的颜色我们会发现

对这个周期函数近似的效果

当然

要比红色的或者是黄色的效果要好

就是因为我们取项数

会越来越多

所以说逼近的效果也就会越来越好

那么这里边同学们也能看出来

实际上就是一个实实在在的

对一个周期函数的一个逼近的效果

那么

除了刚才我说的这个三角函数系

以外

我们还有一个常用的函数系

就是称之为正交多项式系

那么什么是正交多项式系

就是φnx

是一个在

[a,b]上首项系数an

不等的一个n次多项式

并且

它也满足刚才我们给出来的

正交关系

那么这个时候就称这一系列的

多项式函数是定义在

[a,b]上

带权rho(x)的一个正交

多项式系

那么

这个正交多项式系

实际上是可以由一个线性无关的

幂函数序列

也就是1, x一直到xn

然后按照我们在线性代数里面

学的施密特正交化方法

然后构造出来

比如我想构造一个

首项系数为一的正交多项式系的话

那我只需要有这一组

线性无关的幂函数序列

然后去标准正交化就可以

比如我们

可以通过这种施密特正交化的方法

然后呢

构造出来一组

首项系数为一的正交多项式系

比如咱们举个例子

在给定区间[0,1]上

如果规定我们的φ0是1

φ1是x

φ2是X的平方

这个权我现在就取一的话

那么我们根据施密特正交化方法

我们马上就可以构造出来一组

这个首项系数为一的正交多项式系

就是φ0等于1

φ1等x减去二分之1

φ2X等于X的平方减去

12分之一X减去24分之七

这是正交多项式系

除了常用的正交多项式系以外

还有其他的一些正交多项式系

比如勒让德正交多项式性

那么它是定义在闭区间负1到1上的

权值为1的一个正交多项式系

它的第一项p0(x)

是1

pjx呢

是这么一个表达式

那么我们也写下来的话

我们发现他是一个p1 X等于X

P2X等于二分之三

X的平方减去二分之一

那我们可以看出来

勒让德正交多项式就不是一个

首项系数为1的一个多项式

但是它也满足

我们刚才说的那个正交化的要求

我们可以看出

pmx和pnx的内积

就是在m不等于n的时候是为零

但

m和n相等的时候是等一个两倍

n下一分之二的形式

另外还有一个正交多项式

我们称之为

切比雪夫正交多项式

它是定义负1到1上的带权

rho(x)等于根号下一减X

的平方分之一的一个正交

多项式系

它的第一项t0X我们是规定为1

它的一般项都写成是cos

括号里面j乘上一个arccos的形式

那么写下来

我们发现有T1x等于X

T2x等于两倍x的平方减去1

当然

它们也会满足这种正交的形式

那么关于第一小节

我们总结一下

就是对一个函数f(x)

或者是离散数据进行数据拟合

或者是函数的逼近

其实就是在某一个函数子空间Psi上

然后呢

这个Psi可能是有一些

有一组线性无关的函数

或者是正交的函数

φ0 φ1 φn

然后张成的一个函数空间

在这个函数空间上

我们只需要找到一个函数φX

使得这个φx与fx

或者是那些离散数据之间

在一个范数意义下

能够达到最小就可以