1.4 误差与有效数字在线视频

今天我们学习第四节

误差与有效数字 在上一节

谈到评价算法

主要依据两个标准 算法的计算效率

与计算结果的精度

计算结果的精度就是计算结果

误差大小

要获得高精度的计算结果

就必须很好地控制误差

因此

我们必须了解误差的产生过程

误差是怎样产生的呢

我们说

通常是由以下四个方面产生

第一方面模型误差

我们曾经讲过

一个实际问题

我们要抓住主要因素

忽略次要因素

来建模

数学模型

它是用数学语言

模拟现实而建立起来的一个量化关系

那么因此

这种数学模型它与实际问题是有误差的

这种误差我们称为模型误差也称为问题的固有误差

第二种误差：观测误差

在观测数据时产生的误差称为观测误差

观测值的精度通常要受到仪器设备的限制

因此观测误差也称为仪器误差

第三种误差，截断误差，是指数学模型的解

与某种数值方法的解之间的误差

比如我们用

收敛的无穷级数的部分和

来代替无穷和

这种近似产生的误差称为截断误差

也称为方法误差

第四种误差，舍入误差

舍入误差是指在计算机作数值计算的时候

由于这些数的字长有限

我们在接收数据

和运算数据时产生的误差

我们计算方法主要关心

后两者误差也就是截断误差与

舍入误差

为了更好的研究误差

我们介绍

两个误差的重要概念

绝对误差

设x*是精确值，x是x*的近似数

我们将e记为x*-x

称e为近似值x的绝对误差,简称误差

从上述定义可以看出

绝对误差可正可负

当e大于零时

我们称此时的误差为正偏差,表示近似数偏小

当误差小于零时称为负偏差

此时近似数偏大

另外

误差是有量纲的

下面我们举个例子

某人目测房间的高度

是3米

房间的实际高度

是2.9米，

这样就产生了目测误差-0.1米

说明近似值偏大

由于精确值通常是未知的

因此绝对误差也是未知的

这样我们来定义

近似值的误差限的概念

绝对误差限我们用来表示

如果存在正数ε

使得误差的绝对值小于等于ε

我们就称正数ε为近似值

x的绝对误差限,简称误差限

当给定误差限之后

我们就可以确定精确值的范围

x*大于等于x-ε

小于等于x+ε

注意误差限也是有量纲的

而且误差限是不唯一的

下面我们举一个例子.设x*是根号3

x1 等于1.7321

x2等于1.7320

x1， x2都是根号3的近似值

我们来求他们的绝对误差限

首先x*-x1的绝对值

等于

0.0000491

小于0.5乘10的负四次方

这样0.5乘10的负四次方就是

x1的一个误差限

x*-x2绝对值等于

0.0000508

它小于0.6乘10的负四次方

我们又得到了一个x2的误差限

是0.6乘10的负四次方

很显然比这两个误差限更大的数

还是误差限

所以我们说误差限是不唯一的

那么绝对误差能判断近似数的优劣吗？

我们看一个例子

考场人数统计, 假设我们有两个考场

甲考场和乙考场分别进行考试

监考人员做人数统计

假设两个考场

统计人数的误差都是1人

我们能否说这两个统计值的精度是相同的

一般来讲我们说答案是不一定

不能说两个统计值的精度是相同的

那么

为什么会有这样的结果

主要是因为

统计值质量不仅与误差的大小有关

而且还与精确值的大小有关系

比如说

甲考场有一千人在进行考试

乙考场只有十人在进行考试

虽然两考场人数统计的误差都是1人

但是人们会认为

甲考场的统计值更精确一些

也就是说

单看绝对误差

不能够评价近似值的优劣

下面我们介绍@

近似值的相对误差.设精确值

x*不等于零

将er记为

x*-x/ x*,分子就是绝对误差

我们称er为近似数x的相对误差

由于精确值是未知的

我们也可以把

分母中的x*替换为近似值x

相对误差通常也是难以获取的

因为精确值是未知的

这样我们来定义相对误差限εr

如果存在一个正数

εr

使得相对误差的

绝对值小于等于这个正数

那么我们就将这个正数εr

称为近似值

X的相对误差限

相对误差限可以取为

误差限比上x的绝对值

这里请大家注意

相对误差与相对误差限是没有量纲

下面举两个例子. 已知精确值

x*=10,近似值x=11

那么我们求出它的绝对误差是-1,

在给一组数据,精确值y*=1000

近似值

Y=1001,仍然得到绝对误差

是e等于-1

这两组数据近似值的绝对误差是相同的

都是-1

那么这两个近似值的质量是否相同

我们再来算一下它们的相对误差

第一组数据x的相对误差是-0.1

第二组数据y的相对误差是-0.001

很显然

我们认为近似值y的质量更高

通常相对误差比绝对误差

更能反映准确数和近似数的差异

再看一个例子

给定一组数据精确值等于3

近似值x等于3.1

我们算出绝对误差

e等于-0.1

再给一组数据

y*等于0.3乘10的负3次方

近似值y

等于0.31乘10的负3次方

第二组数据近似值的

绝对误差等于负的0.1

乘10的负4次方

很显然

第二组数据近似值的绝对误差比

第一组数据近似值的绝对误差要小

那么

我们再来计算它们的相对误差

第一组数据的近似值的相对误差

是-0.3333

乘10的负一次方

第二组数据

近似值的相对误差也是这个数

那么这两组数据哪个近似值比较好

我们说仍然是相对误差的意义更大

因此

我们认为

这两组数据两个近似值的质量

是相同的

下面我们再来看一个例子

计算e的0.5次方

的近似值,使近似值的

相对误差不超过0.5

乘10的-3次方

首先我们要写出eX的

Maclaurin级数

注意这个级数的收敛域是整个整个实轴

特别在x=0.5处

它也收敛

这样

我们将x=0.5代入

上式得到了一个数项级数

很显然

等号的右边这个数项级数有无穷多项

计算机是无法直接求和的

那么我们取数项级数的

部分和记为Sn

根据级数理论

当n趋于无穷时

Sn的极限就是数项级数的和

e的0.5次方

我们需要选择一个适当的n

用部分和Sn来近似e的0.5次方

这样

我们需要定义部分和的相对误差

大家知道当n较大时

Sn比Sn-1

更接近e的0.5次方

这样

我们按照如上方式

定义近似值的相对误差为en

等于Sn- Sn-1比上Sn

它就是近似值的相对误差

我们逐项计算Sn

再来检验，给出一个满足要求的近似值

那首先我们算出

S0=1 ,s1=1.5

计算一下相对误差e1

得到的值是0.333

不满足要求

继续算S2=1. 625

再计算相对误差

e2=0.0769

也不满足要求

我们将计算的结果列成表

从表中可以看出

当n取5的时候

Sn等于1.648698

这时候相对误差达到了0.000158

已经满足了精度要求

因此我们就可以用

S5作为e的0.5次方的一个近似值

以上我们介绍了绝对误差和相对误差的概念以及误差的应用

下面我们要介绍另外一个重要概念

有效数字

我们给出如下定义

设近似值x

等于正负10的n次方乘以

0.a1a2…ak

如果近似值x的绝对误差

的绝对值小于等于0.5

乘10的n-k次方

我们就称

近似值X准确到小数点后第k位

从小数点后第k位

直到最左边的非零数字

之间的所有数字都称为有效数字

特别的

如果x的表达式中尾数中的第一位

a1不等于零

那么

满足上述不等式的近似值x就有k位有效数字

下面我们举个例子

设x等于根号3,

x1=1.73

X2=1.7321

X3=1.7320

是它的近似值

问这三个近似值

分别有几位有效数字

我们先来考察x1算一下x1的绝对误差限

得到

X-X1绝对值小于0.5

乘10的-2次方

我们将x1表示成规格化的浮点数

0.173乘10的1次方

那么

-2就可以表示为1-3

从而确定近似值X1

有三位有效数字

再来考察近似值X2

我们仍然算一下X2的绝对误差限

它的误差限为0.5

乘10的-4次方

将X2表示

成规格化的浮点数

-4

又可以表示为1-5

我们得到x2有五位有效数字

最后考察x3

它的绝对误差限

是0.5乘10的-3次方.注意

我们将x与x3相减

得到的是0.0000508

那么它的误差限达不到0.5

乘10的-4次方

所以是0.5乘十的-3次方

那么同样-3=1-4

因此我们说x3

有四位有效数字

归纳一下

X1有3位有效数字,

x2有5位有效数字

也就说

它们的有效数字的位数

就等于这两个近似值本身的位数

而X3

它是五位近似值

它只有四位有效数字

分析一下

我们发现有这样的一个特点

就是

用四舍五入得到的规范化的浮点数

每一位都是有效数字

我们说有效数字越多

误差就越小,计算结果

越精确

我们再看一个例子

设计算机数系为F（10, t,L,U）

实数X等于

正负尾数乘以十的c次方

这里a1不等于零

是一个规范化的浮点数

用四舍五入法

把X表示成机器数FL(x)

求机器数的有效数字

绝对误差限

相对误差限

我们首先来求X的机器数

Fl(x)

将fl(x)表示成

正负尾数乘以10的c次方

这里我们将尾数呢

表示成a

首先我们来求尾数a

按照四舍五入法来确定a

如果x的尾数的第t+1位小于5

我们就截取x的尾数的前t位

如果第t+1位大于等于5

我们就向第t位进1

这样

我们获得

机器数的绝对误差限

X减去fl(x)绝对值小于等于

0.5乘10的c-t次方

从而机器数的有效数字的位数

是t位

下面推导机器数

fl(x)的相对误差限

我们将fl(x)的相对误差记为er

er的绝对值

等于X减去fl(x)的绝对值

比上X的绝对值

根据X的表达式

等于正负号尾数乘以10的c次方

那么X的绝对值

大于其尾数的第一位0.a1

乘10的C次方小于

0.(a1+1)乘10的c次方

那么我们可以得到

er的绝对值

它就小于等于

0.5乘10的c-t次方

比上0.a1乘10的C次方

化简之后等于1/2a1

乘10的1-t次方

从相对误差的误差限可以看出

机器数的相对误差限与X无关

只与字长t有关

我们将机器数的相对误差限

定义为机器精度

记为

EPS

也就是EPS等于0.5乘10的-t+1次方

本节介绍了误差与有效数字的概念

通过这一节的介绍

我们要了解相对误差比绝对误差

更能反映

精确数与近似数的差异

因此也更有意义

另外

我们在上一节曾说过

字长t规定了机器数的精度

机器数有单精度与双精度之分一般

单精数的字长是23

约为十进制的七位有效数字

双精度的字长是52

约为十进制的15位有效数字