2.5 向量范数与向量序列极限在线视频

今天我们介绍第五节

向量范数与向量序列极限

首先介绍向量范数

在上一节

我们借助于向量的内积

定义了向量的2范数

我们说

在向量空间Rn中

还可以定义不同的向量范数

以上两个式子可以验证

他们是Rn上的向量范数

左侧称为向量的1范数

右侧称为向量的无穷范数

向量的1范数定义为

向量的n个分量的绝对值之和

向量的无穷范数定义为

向量的n个分量绝对值的最大值

下面我们来验证1范数

满足范数定义的三个条件

我们将n维向量的n个分量的

绝对值之和

定义为P(x)

验证P(x)满足

范数的三个条件

正定性

齐次性和三角不等式

根据定义

P(x)

等于x的n个分量的绝对值之和

它一定是非负的

P(x)等于零

当且仅当每一个分量

xk等于零

这里k=1,…,n

从而推出

x是零向量

任取一个实数

λ

λ乘以向量x

用函数P作用

那么P（λ x）

等于λxk的绝对值

再求和

k从一到n

从合式中提出λ绝对值

就等于

λ的绝对值

乘以xk的绝对值之和

我们再来验证

三角不等式成立

P(x+y)

等于

xk加yk的绝对值

再求和

Xk与yk是数

两个数相加的绝对值

根据

数的三角不等式

sk+yk的绝对值

小于等于

xk的绝对值加yk的绝对值

对这两个绝对值分别求和

我们就证明了

三角不等式

P(x+y)小于等于

P(x)加P(y)

在向量空间中

常用的三种向量范数

分别是向量的1范数

无穷范数

和

2范数

这三种范数可以统一的记为

向量的P范数

P的取值是1,2,无穷

下面我们来

计算向量范数

设x是一个四维向量

它的四个分量分别是

1

-4

0

2

求它的向量范数

首先计算x的1范数

等于它四个分量绝对值求和

计算结果是7

再来算x的2范数

等于它四个分量的平方再求和

开根号

最后结果是根号21

我们再来求x的无穷范数

对它的每一个分量

取绝对值

再求最大值

在四个分量中

求四个分量绝对值的最大值

计算的结果是4

从这道例题也可以看出

同一个向量x

按照不同的范数定义

它求出的范数是不同的

下面我们来介绍向量范数的性质

我们在上一节介绍了

元素范数的两个重要性质

连续性,等价性

我们说这两个重要性质

对于向量范数同样成立

元素范数的性质

一定适用于向量范数

向量范数的连续性

描述为

向量x的范数

是向量x的

连续函数

向量范数的等价性可以描述为

在Rn上

任取两种向量范数

我们设为向量的

A范数与向量的B范数

则一定存在

两个正数

M与m

使对一切

Rn中的n维向量

有

x的B范数

大于等于m乘以x的A范数

小于等于M

乘以x的A范数

将向量范数具体化

我们就得到了下面一系列的不等式

x的1范数大于等于x的无穷范数

小于等于n倍的x的无穷范数

这是

向量的1范数

与向量的无穷范数的等价性

那么后面两个不等式分别给出了

向量的2范数

与向量的1范数以及

向量的无穷范数

与向量2范数之间的等价性

下面我们就第一个不等式

也就是

向量的1范数

与向量的无穷范数的等价性

来进行证明

根据向量1范数的定义

x是一个n维向量

x的1范数

等于它的n个分量的绝对值之和

这个和

一定大于

它的n个分量的绝对值的最大值

那么这个最大值呢

就是x的无穷范数

因此我们有x的1范数

大于等于x的无穷范数

另一方面

x的1范数

又小于等于

n倍的x的无穷范数

这是因为x的1范数呢

是它n个分量

绝对值的和

而无穷范数

是n个分量绝对值的最大值

我们把1范数中的每一个分量

都放大为最大值

那么当然

x的1范数数就小于等于

n倍的x的无穷范数

这样就证明了

X的1范数

与x无穷范数的这种等价关系

我们也可以交换x的1范数

与x的无穷范数

的位置

将x的无穷范数

放在中间

将x的1范数放在两侧

那么就有x的无穷范数

大于等于二n分之一

乘以x的1范数

小于等于x的1范数

当两个范数的位置交换之后

它们对应的

M和m也会相应变化

下面我们介绍向量序列的极限

什么是向量序列呢

若按照某一法则

对于每一个自然数k

都对应一个确定的向量x(k)

可以将这些向量按照上标向量

从小到大进行排列

我们就得到了一系列的向量

那么这一系列的向量

就称为是向量序列

记为

{ x(k)}

举一个例子

这是一个三维向量

我们取k为自然数

就会分别得到x(1), x(2),

那么当k取一切自然数的时候

就得到了一个向量序列

下面我们来定义向量数列的极限

在向量空间Rn中

任取两个向量x与y

我们将x与y之间的距离

定义为它们差的范数

由于范数

是刻画向量大小的量

我们用

x减y的大小来描述

x与y之间的距离

引入了距离

我们就可以定义向量序列的极限

给定向量序列x(k)

设x*

是Rn中的一个确定的向量

如果向量序列x(k)

与向量x*之间的距离

当k趋于无穷时

极限为零

那我们就称

向量序列x(k)

依范数收敛于向量x*

记作向量序列x(k)

以x*为极限

请大家注意

在定义2.8中

我们并没有具体指出是哪种范数

这意味着

我们可以采用任何一种范数

来定义这个极限

根据向量范数的等价性

按照一种范数收敛

那么按照其它范数

它也一定收敛

那怎么样来求一个向量序列的极限呢

我们给出下面的定理

向量序列x(k)

收敛与向量x*

的充分必要条件是

向量序列x(k)的

每一个分量都收敛到

x*的对应分量

也就是说

向量序列x(k)的第j个分量

它以

向量x*的第j个分量为极限

这里j取1，2到n

我们来证明

这个定理

由已知条件向量序列x(k)

以向量x*为极限

那么按照定义

就是向量序列x(k)

减去向量x*

差的范数

当k趋于无穷时

极限为零

这里我们把范数

具体的取为向量的无穷范数

那么什么是

向量x(k)减x*的无穷范数呢

按照定义

就是向量x(k)

减x*的n个分量

绝对值的最大值

这就是向量x(k)

减x*的无穷范数

这个最大值当k趋于无穷的时候

以零为极限

那么对于向量序列x(k)减x*的

每一个分量

xik减去xi*

它一定满足

当k趋于无穷的时候

他的极限是零

这也就意味着

数列xik

当k趋于无穷时

它以数xi*为极限

这样我们就完成了定理2.2的证明

举一个例子

我们给定这样一个三维的

向量序列

当K取自然数的时候

它会给出一系列的向量

那么这个向量序列

是否收敛呢

我们就来看它的三个分量

所构成的数列

是否收敛

它的第一个分量k分之一

当k趋于无穷时

以零为极限

第二个分量

2的k分之一次方

当k趋于无穷时

它以1为极限

第三个分量

k加1分之k

K趋于无穷

它的极限是1

因此

这个向量序列的极限

一定存在

是一个确定的三维向量

0，1，1

以上我们介绍了向量的范数

并且定义了

向量序列的极限

我们介绍了3种常用的向量范数

向量范数

在误差分析中

将起重要作用

下一节

我们介绍矩阵范数