9.3 复合牛顿-柯特斯公式（上）在线视频

大家好

接着上节课的继续给大家

介绍柯特斯公式

只不过

我们需要做一些变化

在上一小节的中间的时候

我们讲过

科特斯公式

在比较低阶的时候了

它的精度虽然说有个

几阶的代数精度

但是对于实际问题往往做的时候

误差有点大

那怎么来进行解决这个问题呢

我们就引入了一个叫做复合的

柯特斯公式

或者叫复化的这个形式

复化就是我们不能使用的

越来越多的这个柯特斯公式

因为有Runge现象

而且又有稳定性问题

就说我们不能增加节点

用更多的方法来进行找

不能增加这个表达式

我们也可以看看

随便在找一个例子

这些呢

一个多项式1+x的

平方分之一

这个积分很容易积出来

我们在-4到4之间

这么一个1+x平方分之一做的积分

积出来的函数呢

大概是2arctan4

数值大概是2.6516左右

然后使用柯特斯公式做的时候

如果越是往下继续找

找到地方

这个数值

误差的反而越往后法越大

这是因为runge现象出现的问题

那我们要把它这个

怎么来进行转换

指的是精度越高

而且我们又不能计算量太多

计算太多

让这个导进去的复化

或者复合的求积公式呢

就是说我们是想办法

缩小区间的长度

也就说

在原有的

这个长曲线上面呢

我们给它

分成若干个小区间

然后每一个小区间上的去使用

牛顿柯特斯公式

而且有可能只需要使用底阶的

比如只使用梯形公式只使用

抛物线公式就能达到比较好的值

就是说

这样得到的

类似的这种

方式得到的时候

就说具有更大价值了

更加实用的

这种求解公式

我们就称为叫做

复化的求积公式

或者称为复合的求积公式

然后我们拿简单的

两种方法来看

第一个的地方的时候都是梯形公式

梯形公式的时候

我们把

现在大区间a到b

先做n等分

这样在我们一个区间中间

比如说

xk-1到xk之间

我们积分计算以后

近似的积分公式是2分之h

注意到

因为是等距步长

这个h就是

单个小区间的长度

然后照着

具体的公测的时候了

这个区间的左端点的

函数值和右端点的函数值

乘出来以后呢

就是单个区间的

然后把这n个区间全加起来

这样就会得到复化的梯形公式

复化梯形公式的时候

是这么一个求和的方式

二分之h

括号里面的时候

第一个点和最后一个点

他前面的是一倍

中间的这些点

算出函数值以后了

需要乘一个2

因为很简单

比如说X1这个点了

应该算第一个小区间

x0到x1之间

我们需要用一次

在第二个区间

x1到x2之间

它又被用到一次

两个加起来

它就用了两次了

中间这一点都是这样的

但这样的做出来以后

就是复化的

梯形公式

我们把一般习惯上的时候了

把它记成Tn

Tn的时候就是刚刚

给出来的N等分的

区间以后的

得到的这么一个复化的

梯形计算公式

Tn大概的误差有多大呢

我们照原来的方式

每个小区间上有一个误差

大概是

12分之一倍的h的立方

乘上某个导数

但有n个二阶导数了

我们得找到一个平均值

大概得到的时候是二分之

一倍的负的b-a

乘上h的平方

类似的时候

我们也可以

构造出来复化形式的辛普森公式

辛普森公式的时候

为了方便点的时候

我们还是做n等分

但是他辛普森公式的时候

用到的地方的时候

不是两个点

还有三个点

三个点的时候

一个是左端点

一个是右端点

还有这个区间中间的中点

这个终点呢

为了方便我们

来进行写的时候

我们把这些中点的表达式

有几种方法来表达

比如说我干脆的

把整个的区间

不是说n等分

利用的是2n等分

n等分的时候x0到x2

这是中间的时候了

使用一个辛普森公式

这样中间的点x1

就是它区间上的中点

这样刚好

是2n等分用n个

区间的

辛普森公式

这样复化出来以后

类似的也是

这样的一个公式

它的系数的一些变化规律的

我们注意一下

肯定和梯形公式不一样

因为终点呢

每个中点只是在每个区间中间用一次

它没有其它的

而在端点的时候

有可能左边用一次右边用一次

所以

我们得到的

复化的具体的公式的时候

就这样

一个表达式

六分之h

乘上

后面是一些函数值的和

左端点f(a)

右端点f(b)

两个函数值的系数是一

然后

我们这个

区间的这个点

因为左边用一次右边用一次

都是两倍

这个

这个两倍和刚才的

复化的抛物线公式中间的

系数呢

两部分一部分是2一部分是4

2的地方是

这些

中间的区间的端点

还有的中点

每个区间的中点

它的系数是4

我们达到的时候

这个程度上完以后

也可以用

前面同样的方法

进行做分析

每个区间给出一个误差公式

然后呢

在找这个误差的平均值给出来

自然而然的

我们就得到了

会得到一个

误差的地方是

两千八百八十分之一

-b-a

乘上h的4次方

然后乘上四阶导数

前面的就是梯形公式

复化的梯形公式呢

它的进度要高得多

大多数情形我们是直接使用

复化的辛普森公式

我们在用类似的方法的时候

也可以把科特斯公司的

复化形式找出来

这样就更麻烦了

因为我们用到的时候

复化的科特斯公式的时候

原始系数的时候

它就需要

找出来的时候

六等分

这样的我们实际上说的方式呢

不是偶数倍

不是偶数倍

我们需要做的时候是

必须得是三的倍数

这样方便了

或者说我们找出来的时候

四的倍数

也可以具体的过程呢

我们不详细的

再带给他的叙述

我们下面有一个误差的项

负的945分之2

b-a

后面是一个h除4的括号的

整个的六次方

这个时候h如果取到0.1的时候

它的进度差不多有

一百万分之一左右的这个进度

所以用柯特斯公式的时候为什么

精度好像是更高的

但一般我们反而不用

因为它计算量

相对来说比较大

那我们来看一个例子

找一个

比较简单的积分

零到一之间做积分

一加X平方分之4

这是我们熟知的

积出来以后的

积分函数值是π

π的这个值大家都非常清楚

数值给出来是

3.1415926

大概这么一个值

精确解

当我们采用的时候呢

比如说九个点

也是说我们做的时候是八等份

八等分如果用梯形公式

给出来时候呢

第一个最后一个

它的主要细数是1

中间的全是2

这样的梯形公式算出来的值

好像不是特别准

形公式

给出来的时候呢

只有3.1398左右

连3.14都没达到

也就大概的

它的

从我们的

有效数字上来看

只有两位有效数字

3.1

这两位数

但同样的时候

用到辛普森公式

辛普森公式

我们用到复化的辛普森公式

同样的还是算这些点

还是这九个函数值

系数变一下

变成142424241

这个变化规律

算出这个值就

基本比较准了

达到了是3.141593

最后的时候我们可以看一下

对刚才所讲的

这个误差啊

刚才是带的时候都是有些导数的

导数的过程中间的时候

如果我们能把导数的最大值找出来

这样呢

在四星的情况下

知道了

我要达到一定的精确值

我就需要把

做成多少等分

简单点

我们只看一下

辛普森公式的一个例子

现在这个积分是

x分之sinx

直接写的话不太方便

因为他首先

x分之3x在0处的时候

他是一个可去的

间断点

可间断点

最好我们能够把它转化为

那个

连续函数

没有间断点的一种方式

直接我们简单做一个变化

变成了对方的时候

是0到1

cosxt

dt的积分

这是0到x的积分

那积分的时候

我如果用辛普森公式的时候

需要找它的四阶导数

四阶导数的时候

我们用积分的表达式给出来啊

它是一个t的四次方

cosx

乘上t的这么一个cos

做了这个积分

积分的时候我们可以通过放缩

我可以知道

它的四阶导数呢

是会比五分之一要小的

五分之一要小

现在的时候

根据刚才的那个误差的

项的一百八十分之一

b-a

原来有负号

现在取完绝对值以后了

负号没有了

除下的h

二分之h的括号的

4次方

乘上这个四阶导数的绝对值

4阶导数的绝对值

现在已经放大到五分之一了

这样算出来以后了

n大概的时候

需要三分之五倍的根号三

比这个数值更大就可以

也就是说

差不多的时候呢

这个数值的时候

是n等于三就够了

但n=3的时候具体代进去

这个数值算出来以后

留给大家自己去做一下计算