9.2 牛顿-柯特斯公式在线视频

这小结呢

给大家讲

牛顿柯特斯公式

这也是我们数值积分的

其中中间

比较重要的

一个公式

在前面说过的时候

插值型的

求积公式中间

我们的一种特殊情况

就是我们把

积分节点

设成

a到b中间的等距节点

比如说非常简单

把a到b区间

n等分

这样从a到b

就一共有n+1个点

x0就是1

xn

就是b

xi呢是a加上

加上i乘上

这个步长n分之b减z

这种插值型公式

就是利用这些点

做的插值型求积公式

我们就称为叫做牛顿柯特斯公式

套用上节

内容

我们可以看

它的求积的系数呢

ai

积出来分数以后

实际上就是它们的

插值型的

基函数的积分

我们可以把具体的表达式带进去

在这种等距节点的

基础项的时候呢

我们会发现

具体的数值

提出一个h以后

剩下的

我们可以做一个简单的变化

就是x=a+th

这样就可以转化成为

一个关于t的积分

积分的点呢

仅仅和i有关系

这就是求积系数

这个系数我们就叫做科特斯系数

科特斯系数的时候

具体的表达式呢

我们可以用

刚才的

那个积分的表达式给出来

它们给出来的时候是n的

乘上k的阶乘

n-k的阶乘

分之负一的

n-k次方

它们在后面的积分

整个时候是t乘t-1一直乘到

t-n

但中间唯独落下了t-k

这是k有关系的

那个表达式

就第k个

奇函数表达式

这样科特斯系数的时候

我们只要确定下来n

确定下来k它是一个常数

这样为了方便呢

我们可以

先把它形成一个表格

根据需要的时候

我们就给它

直接拿出来使用就可以

对应第一种情况

n=1的情况对应两个

科特斯系数

还有n=2的时候呢

它三个系数六分之一

六分之四六分之一

这个系数呢

如果写出来以后

实际上高等数学中间也学过

就是抛物线公式

或者称为

叫做辛普森公式

但是后面的n=3

n=4n=5以后呢

这些数值呢

给出来时候呢

我们可以列出来很多很多

但是一般的大多数书上的时候了

我们仅仅只列出来的时候

大概到n=8为止

为什么会造成

这种只到8的这种情况

并不是我们偷懒

而是8以后的东西

基本上不太好用

为什么我们后面再给大家做解释

常用到的这个

科特斯公式呢

就是牛顿科特斯公式呢

n=1是我们2点的梯形公式

n=2是3点的抛物线公式

n=4的时候呢

就叫科特斯公式

它的系数呢

90分之7，90分之32

90分之12

90分之32

90分之7

我们得注意一下

我们刚才的那个表格中间

它的系数了是左右对称的

这个图形呢

我们左边的这个图形呢

就是抛物线公式

刚刚这样

好像看上去误差有点大

我们本身的

是一个曲边梯形

渠边往下

拉伸的比较低啊

在这个图像中间拉伸的比较低

但是我直接找这个直边的T形来做

多了很多东西

后面的时候是抛物线公式右端的

这是抛物线公式

好像有多算的也有少算的

但具体它们的精度呢

到了什么程度

我们先可以

来看一看

它们的公式的相关的余项

梯形公式的时候

计算出来以后

得到的时候

是负的12分之1倍的

(b-a)³

在乘上

二阶导数

辛普森用类似的方法

我们也可以

就利用

积分中值定理

和那个泰勒公式展开

具体的

我们的牛顿的柯特斯公式呢

到底有多高啊

我们给

预算运算

发现它有一些规律

就说采用了点呢

我们是n+1个点

从n等分啊

实际上我们做了n等分

是n+1个点

n是偶数的时候

代数精度

是n+1

n为奇数的时候

代数精度是n

也就比如说

我们规律是这样的

一阶的公式就是一次公式

二阶和三阶的

都是三次代数精度

三次精度

然后四阶的

和五阶的

他具有都是5次代数精度

这样在充分光滑的

过程中间的时候

这个被积函数

我要保证

预算量少

当然我们就说

具有相同大小精度呢

二阶和三阶一样

三阶还有多算一个计算数字

我们不需要

不需要

所以尽量我们都选择的时候

是偶数的情况

至于牛顿柯特斯公式

为什么

我们刚刚说了

n等于8以上为什么不用呢

我们可以回想一下

在做插值的过程中间

有一个什么样现象

@@@的时候呢

在插值过程中间

如果点插值越多

并不一定

是越来越精确的

反而的地方

会出现一种

高频振荡的过程

在端点的附近

就是我们所提的

以前的时候的学过的

Runge现象

Runge现象会在

左右两个端点附近的

时候能出现高频的震荡

我们现在拿这个高频振荡的东西

去求积分

这样就会造成

误差非常大

误差非常大

就是因为有这个Runge现象

我们不去

使用高阶

牛顿柯特斯公式

这是第一个原因

我们刚刚的表的中间没有给出来

n=8的这个情况

你们可以从书上看

或者从其他资料中间可以查到

柯特斯公式的时候

他们的柯特斯系数

n=8以后呢

它的这个系数

就开始有正有负

它是有正有负的话

这个时候

他们的绝对值之和

就是越来越高了

我不像原来n小于等于7的时候

全加起来的这些系数和的

就是一倍

按照我们数值放缩的方式的时候

知道每个地方的误差

都给出来一个小误差

然后呢

最后放缩的时候

因为全部的系数加起来

是常数一

全都是正误差或者说

全是负误差

加起来以后

它的误差不会超过

最大的那个那个误差

那后面我们看看

随便找一个简单的例子

我们看看如何来进行使用

这个牛顿柯特斯公式

我们只给它

一个比较简单的就是

就是比较低阶的几个

高阶的

你们可以自己自行进行做计算

我们现在做了一个劲翻的比较奇怪

它本身是0到1所做的积分

根号的1-x平方做分之x做积分

这个积分呢

他是一个狭积分

比如说广义积分在x=1的时候

积分函数是无穷大的

这种积分我们一般的时候

不太好积

但好在的时候了

我们可以做一个变化

比如说x等于cost

直接的时候呢

可以把

刚才的根号1-x平方给它去掉

这样变成的时候是一个

连续的函数的这么1个积分

但是是根号cost的积分

但是不好的地方

根号cost没原函数

我们写不出来

大概的近似求出来这个值

给出来的时候是1.198左右

给出来的时候是1.198左右

但是我们可以看看

用梯形公式

用梯形公式

抛物线公式和柯特斯公式计算

误差是比较大的

梯形公式中间

得到是四分之派

大概只有0.78左右

这误差太大了

大概的时候有0.3,0.4左右

的误差

相对误差的话有大概有30%左右

然后用第二个抛物线公式

给出来的时候

稍微好一点

能达到数值的1.14左右

比例1.19

还差那0.05

但相对误差的时候

缩小的大概只有到5%以下

还好

但这个精度一般的工程上也没法用

在看看

柯特斯公式

这个时候是五个点的时候

n=4，偶数

5个点的时候

代进去刚才这个数值呢

进去是1.198070403

虽然和我们刚才具体的数值呢

只有小数点后面

大概三位到四位是一样的

但是

到这个地方基本还是算准的

这里头也提给我们一个问题

主要的地方的时候再以什么方式

你这样进度是不是

我要随着

继续往下再继续做

它能不能更精确了

但是说

刚刚又说有Runge有什么现象

发生

我们不太方便

去使用高阶的方式去做

然后这个柯特斯公式

我到底用到

什么程度合适啊

你非要用到

n=8吗

n=8效果实际上和

我到底用到

n=8效果实际上和

这个差不了太多

差不多的时候了

他可能就有小数点后面的

大概六位左右的数字

主要的情况下是刚才我们看到的

那个误差的函数

它和这些导数有关系

刚好cost的导数

非常麻烦

非常麻烦

具体我们怎么来进行更深的

更好的这个利用这些公式的时候了

我们在后面的时候再给大家讲解