1.5 四则运算与函数求值的误差在线视频

今天介绍第五节

四则运算与函数求值的误差

带误差的数据进行数值计算

必然导致计算结果也出现误差

本节推导四则运算的误差

与函数求值的误差

首先介绍四则运算的误差

设x是x*的近似数

我们把x的绝对误差

表示为e(x)

等于x*-x

将x的相对误差

表示为er(x)

等于绝对误差除以x

我们也可以

把绝对误差用dx来表示

对应的相对误差

可以表示为dx/x

这是因为

根据微分学原理

自变量的改变量

等于其自身的微分

当自变量的改变量很小时

函数的改变量也可以用微分近似

这样我们就把x的绝对误差

当成是它自身的改变量

用它的微分

来近似

同样x的相对误差就可以表示成dx/x

一般的

设u=f(x，y)是一个

二元可微函数

则我们可以把函数u的绝对误差

用他它的微分du来近似

根据全微分公式

等于f对x的偏导数

乘以dx

加上f对y的偏导数

乘以dy

u的相对误差

近似于

du/u

那么利用这个关系式

我们就可以讨论

两个数的四则运算的误差

这里

我们将二元函数

分别表示为x加减y

x乘以y

x/y

这里y不等于0

先来考察四则运算的绝对误差

x加减y的绝对误差

近似于

x加减y的微分

根据微分法则

等于dx加减dy

那么我们就导出来了

和或差的

误差限

小于等于

dx的绝对值

加dy的绝对值

也就是

和或差的误差限

不超过

自变量的

误差限之和

x乘以y的绝对误差

约等于

x乘以y的微分

根据微分法则

等于

ydx

加xdy

那我们就得到了乘积的绝对误差限

等于

ydx+xdy的绝对值

x除以y的绝对误差

约等于

x除以y的微分

那么根据

商的微分法则

等于ydx-xdy

除以y的平方

这里我们假设

分母y不等于零

以上

利用微分法则

我们推导出四则运算的绝对误差限

下面我们来考察

四则运算的相对误差

首先来讨论

和或差的相对误差

按照定义

和或差的相对误差

近似于

和或差的微分

比上

x加减y

那么根据

微分法则

以及不等式

我们最后放大为

和或差的相对误差

的误差限

小于等于

x的相对误差限

乘以x比上x加减y的绝对值

加y的相对误差限

乘以y比上x加减y的绝对值

下面我们分别讨论

和或差的

相对误差限

这里我们假设

x与y符号相同

先考虑

两个同号数相加的相对误差限

那么我们把上式中的减号去掉

得到x加y的相对误差限

小于等于x的相对误差限

乘以

x比x+y的绝对值

加

y的相对误差限

乘以y比x+y的绝对值

由于我们假设x与y

符号相同

这样就保证了

x/x+y总是正数

因此

它的绝对值就等于它自身

类似

y/x+y也是正数

它的绝对值也等于它自身

我们记

x的相对误差的绝对值

与Y的相对误差的绝对值的最大值

为Mxy

那么根据上式

我们就得到了

下面的一个不等式

上式小于等于

Mxy

乘以

x+y/x+y

化简之后就等于Mxy

这样我们就可以将

两个同号数

之和的相对误差限

简化为

x的相对误差

与y的相对误差绝对值的最大值

再来考虑

差的相对误差

将加号去掉

我们得到了两个同号数相减的

相对误差限

注意

右边这个式子

不能再简化了

下面我们再来讨论

乘积或商的相对误差限

按照定义

我们得到了

x乘以y的相对误差限

小于等于

x的相对误差的绝对值

加上y的相对误差的绝对值

同样

x除以y的相对误差的误差限

也是小于等于

x相对误差的绝对值

加y相对误差的绝对值

那么也就是说

乘积或商的相对误差限

为自变量的相对误差限之和

特别的

如果y等于f(x)是一元函数

我们也有y的绝对误差

近似于y的微分

dy

或者是df

等于f’(x)dx

y的相对误差

约等于df/f

特别

如果我们取f

为一个具体函数

比如说x的n次幂

那我们就得到了

f的

绝对误差

约等于df

等于n倍的xn-1乘以dx

f的相对误差

约等于df/f

等于n倍的

dx/x

也就是n倍的x的相对误差

下面我们做一个填空题

已知自变量

的相对误差er(x)等于0.05

求

x的100次幂的相对误差

根据上述公式

n取100

我们就得到了

x的100次幂的相对误差

就等于5

以上

我们讨论了四则运算的

绝对误差和相对误差

总结一下我们特别关注以下两点

第一点在

做商的运算的时候

它的绝对误差

与分母有关

当分母过小的时候

会产生比较大的绝对误差

第二点

同号数相减

它的相对误差

与这两个数的接近程度有关

相近的两个数相减

会产生比较大的相对误差

综上

我们总结了数值计算中需要

注意的四点问题

分别是

防止相邻数相减

防止大数吃小数

防止接近零的数做除数

注意计算步骤的简化

减小运算次数

在数值计算中

如果遇到

一到四

这样的问题

我们要设法

改进公式

来

减小误差

下面我们举例

当x充分大的时候

我们来计算根号x+1减根号x

当x较大时上式属于相近数相减

这个时候我们就要利用

恒等式

a减b等于a方减b方除以a加b

这样一个公式来改进上面的公式

把上面的公式转化为

根号x+1加根号x分之一

这样就去掉了相近数相减

从而保证所得的结果是可靠的

再看一个例子

计算（1-cosx）/sinx

假设x等于2度

x等于2度

比较小

这样的话sinx

接近于零

而cosx接近于1

出现了

相近的数相减

以及小分母的问题

那么我们需要将上式变形

将分子分母

同乘1+cosx

通过三角公式

最后把原公式

变形为

sinx/(1+cosx)这种形式

而去掉了刚才我们说的相近的数相减

以及小分母的问题

保证

我们公式

计算出来的结果是可靠的

第二个问题防止大数吃小数

如果在数值计算中遇到这样的问题

我们也要设法

改进公式来避免大数吃小数

举例

十进制五位字长的计算机数系中

我们来计算23456+0.2+0.4+0.4

我们把上面的和式

表示成五位字长的机器数

然后在靠高阶

那么每一个机器数

表示成10的5次方乘以尾数

大家看到后面这三个机器数

他们的尾数的位数都达到六位

而且第六位分别是2、4、4

从左至右相加的时候

第六位都被舍掉了

所以最后的结果呢

还是

23456

显然这个结果是错误的

这就是所谓的大数吃小数

对阶的时候小数被吃掉了

那么如果我们将

这个算式反序排列

小数放在前面

大数放在后面

先将前面的小数相加

最后再与大数相加

就会得到正确的结果

另外

我们还要注意

防止接近零的数做除数

以及简化计算步骤

减小运算次数

本节推导了四则运算的误差界

总结了数值计算中

需要注意的四点问题

分别是防止相近数相减

防止大数吃小数

防止接近零的数做除数

简化计算步骤

减少运算次数