9.5 高斯型求积公式（下）在线视频

我们后面看看

常用到的有哪些的高斯的

这个求积公式

我们一般的手里有四大类

四大类的第一大类的地方成为叫了

高斯@求基公式

它所做的时候的区间负1到正1

全函数@X等于1

然后这个高斯时候

对应时候的这个对应的多项式呢

正交多项式@就称为叫高斯

@

这个它是高斯@

这个@的时候

我们常用到的时候是点比较少的

后面我们有一个单独的一个表

一个表

如果说区间出现变化的话

比如说我现在是负一到正一

我直接有一个这个查表

能查到这些点

到时候如果换成一般的区间呢

我就想办法做什么方式

比如说A到B区间做的这么一个积分

我想办法做一个变换

把它变到了X的积分

是负一到正一就行

这样就直接可以继续带它的公式

但注意到这个只是权函数等于一的

高斯型的求解公式

高斯型求解公式

这样带进来以后实际上

权函数等于1如A到B上的积分

它是现代新的这么一个公式

二分之b减a

原来的那些@

系数没变

积分的节点的就做

原来的这个@零点

做了一个这个线性变换

就是照到终点

加上那个二@B减A

再看一下

我们后面时候看一下我们常用到的

它的高斯求积的

这些积分节点和积分的系数

这是我们给出N等于八

以下的积分节点

注意到有一个特征定义

我所有的点

就积分节点是关于零点对称的

有一正的就一个负的

而且正负的时候

对应的系数是一模一样的

所以我们写出来时候

直接写着这么一个简单的表格

那么这个表格的时候

你们回去可以看计算一个事情

我们前面讲的一些例子中间时候

比如说用@公式

@三个点

三个点的话

当这边高斯求积公式中间

@做的时候

它N等于三的时候也是三个点

用这三个点的话

一个九分之五

一个九分之八

两个系数

然后呢九分之八对应的时候

那个终点零

然后另外的时候正负零点

774593

这个号就是根号五分之三

根号五分之三

然后这样带进去以后你们会发现

在相同的计算量的时候

高斯型的这个求积的误差呢

要小得多

就是我这三个点的误差

实验配比@的误差

点是三个点的时候

误差要小

第二大类这是用来处理的地方

的时候

中间的时候会出现无穷大的一些点

@做的时候有点可能是@积分

我们这里和权函数呢

给@比较奇怪

是一个根号一减X平方

整个分之一

这个权函数

在1和负1的地方

这两个点就两区间的两个两端时候

它是无穷大的

或者说趋向无穷大

但好在的时候

我们说过权函数是有个要求的

它要求时候

只要算出它是可积的

可积的时候

这个积分所以相对来说

它的那个

多项式的表达式比较简单

那我们就直接给它写出来

这种多项式写出来时候N次多项式的

@括号N倍的

@x

T零就是1了

T1的地方@

这个方式写出来

应该是二x平方减一

它的首项系数呢

不是1

但是因为有

这个非常简单的表达式的时候

它的多项式的解呢

是非常简单的

所有的这些积分节点

非常简单的就是@

某个2N分之

π的一个倍数这个倍数

只能是奇数倍

只能是奇数倍

按照这种方法写的时候呢

也是说前面那些爱AK呢

就是我们去的这个积分的系数了

而且很简单

都是@

每个都是一样

每个都是一样

这样做的话就是

负一道正1之间的根号1减

X平方

分之FX这么一个积分

当你达到n分之π

乘上刚才所说的这些

x0到XN减一

这些所有的这些

点上的函数值加起来就可以

而这个误差呢

给出误差时候

我们的2N阶导数有关系

这样在有些特殊的地方的时候

比如说我们可以看看下面一个例子

fx等于x六次方

这么一个积分

根号a减H平方分之6次方的积分

这个积分呢

如果用

转成@中间的

积分的公式的时候

可以直接转成是@

@的六次方

直接在零到二π之间做了一个积分

可以算出来

没有可以用@公式直接给求出来

但现在的地方

我们可以看看

在我们这个计算的过程中间的时候

我们可以直接用

这个表达是因为FX是六次方

刚刚说的导数呢

就是误差时候

中间有个导数

是二N阶的导数

二N阶的导数

也是说

如果选择了N等于4

它的误差项和它的八阶导数有关

但六次方的说一八阶导数一定是零

所以这个高斯积分

在这种@x六次方的时候

这么做一个积分积出来以后呢

@区间还是负1到正1

然后计算以后

我们就到四个点

@8分之π@8分之3π

@8分之5π

@8分之7π这是

S零S一S二S三

四个点

四个点时候前面都是四分之π

四分之π所有值的时候了六次方

全带进去

带进去以后

我们非常简单的地方都熟了

稍微整理一下

以8分之7和8分之π

8分之π两个是互补的

它们@以六次方都是一样的

我们稍微核对一下

然后把两个六次方的@

利用立方差公式

我们展开以后

很容易给算出来

它是一减掉

四分之三倍的@

平方4分之π

@化简过程都用到了倍角公式

这样直接求出来以后

是16分之5π

比如说这种方式提供我

一个在比较小的数值的时候

提供了一个我们算准确值的方式

我不需要用其它的公式

当然

你如果熟悉@到底什么数值

那更好

直接往里头一代就行了

这是一个另外的时候

同样的一个例子

把FX改成E的X法

照同样的方式

我们给它进行带进去

带进去以后

前面是还是四分之π

然后里头的时候是

还是八分之cos八分之π

cos8分之3πcos8分之5π

cos8分之7π

这四个点上的

它的函数值

@现在函数函数FX是1的x方

E的cos

8分之πE的cos8分之3π

这四个东西

稍微算出来以后

大概这个数字带进去计算出来

大概是3.977462653

这个数值的时候能到这个程度以后

我们可以看看它误差大概有多少呢

就是我这个数值

大概能精确到多少位呢

我看把刚才的误差项带过来

有一个二的八次方

八的阶层

上面有个2π@

这个@在负一正1之间

负1到正1

之间的@

最多最多就是@

有时候谁知道这个误差的项目最多

最多的时候

二的八次方乘8的阶层分子呢

@这个数值大概只有

十的负六次方左右

第三种呢

高斯的求积公式这是

一个无穷区间上的积分公式

区间的是零到正无穷大

它的权函数呢

是E的负H次方

而这一@的

我们称为@

那个求积公式对应的

多项式@

也叫@多项式

它也是一对重要正交多项式@

而它的高斯点

和这个求积公式也有一个表

我们书上存在着

那如果是一般的零到正无穷大

这个FX做的积分

这样就会转化成零到正无穷大

我们把权函数先给@

1的负H次方

能真正的要计算的东西

是E的X次方乘上fxi

然后呢

下面这个积分的近似公式

在@的积分公式中间就变成

积分系数

乘上E的Xi次方

乘上FXI

XI@积分节点

就@中间的积分节点

这是我们给@一些简单的

这个系数这头的时候也有个规律

好前面那个

负一到正1之间的它的规律

中间@有点不一样的地方

因为@责任重大

所以的这个积分呢

给@气数的时候

大家注意一下这些数值的是

谁的数值越大越大

最大的XI的是越来越大

但是也要注意另外一个情况

虽然有这种情况

但是我们连

离零点更近的点

也越来越接近零点了

而且还注意一下这个系数的变化

系数变化

中间的话越接近零点的

那个系数越大越大

就那个积分系数

别@的时候

这个第一个点是零点415

它的积分系数基本是零点71

后面地方

给@二点几的地方

那个是零点二七了

一下子少了将近三分之一

然后呢

后面的更多的时候

六点多的地方的话

只有1%

@的这个数值

注意一下这个系数的和我们

不管是哪种系数

这个系数做的时候

和前面都有一个特殊的关系

所有的系数全加起来刚好是1

然后最后一种的时候的

我们称为叫做

hermite求积公式

它使用的这个权函数呢

是E的负X平方次方

平方次方的话

能做的时候区间又变了

变成负无穷大到正无穷大了

这样做了叫

叫hermite求积公式

这个hermite也是

对应的时候

是我们原来学过的

hermite正交多项式@

这样@

它的表达形式我就不再重新介绍了

这张表的下面给出了一些我们最常

用到的这些数字就是N

小与等于7之类的这些数字

至于因为它是

负无穷到正无穷大是一个对称区间

所以这些xi

给出来也是对称的

有一个正的就有一个负的

和那个第一个@方法一样

一正一负

正负的对应的系数也是相同的

但这个地方得注意一下

这个时候

它的积分的系数的和不再是一

已经有点变化

像第一个地方的时候

两个应该都是零点八八加起来的话

它@1点六几

这个不是一

这是我们做的时候

高斯型的积分公式

至于高斯型的积分公式的时候

使用的过程呢

相对来说的时候

可能不如前面所说的

@积分的公式用的多

因为比较麻烦时候就是

在于如果权函数出现变化以后呢

我们需要能为的

自己的去重新找出积分节点

找出积分系数

这个计算本身就是一个很麻烦的事情

这个计算本身就是一个很麻烦的事情

还不如多运算一些

@多给外推几次

多算一些可能更快

但是@计算公式就是一个好处

它的积分的代数精度比较高

在比较平稳的一些函数时候

它可以用比较少的点了

得到比较高的精度