当前课程知识点：计算方法 > 第4章 插值法 > 4.6 分段多项式插值 > 4.6 分段多项式插值
今天我们讲第六节分段多项式插值
前面各结我们介绍了多种插值方法
lagrange插值
newton插值
hermit插值
插值是数值逼近的一种手段
而数值逼近是为了得到一个数学问题
足够精确的结
那么
是否插值多项式的次数越高
就越能达到这个目的
我们这一节来讨论这个问题
先看一个例子
1901年
龙格给出了这样一个例子
FX等于一加25x平方分之一
定义在负一到1上
FX是一个光滑的函数
它的任意阶导数都存在
我们对他在负1在1上
作等距节点插值
分别画出五次插值
与14插值的多样式的图形
在这个图形中
黑色的光滑曲线是被插值函数
FX的图形
粉色曲线是五次插值多项式的图形
而蓝色的曲线是十次插值多项式的图形
由图可知
在端点附近
余项会随着N的增大而增大
比如我们计算五次差值在零点九六的函数值
它等于负的零点0693
14插值
在该点
的函数值等于1点80438
而精确值
FX在零点九六的值
等于零点0416
可以看出
实际插值的误差最大
那么我们由图还可以看到
在X等于零附近十次插值逼近
被插值函数Fx的效果是比较好的
余项较小
但是在靠近边缘部分
随着N的增大
它震荡比较大
而五次差值的震荡比十次插值要小
这种随着结点的增加
余项不是更小而是增大的这种现象
我们称之为龙格现象
上述现象告诉我们
通过提高插值多项式的次数来提高精度
是不适当的
从数值计算的角度来看
高数差值在计算中可能会带来舍入误差
从而引起计算失真
那么
如何提高计算的精度
我们说
采用分段插值是一种方法
下面我们首先给出
分段多项式的定义
设FX是定义在A
B上的函数
我们将区间A
B做一个划分
分点是X0 x1一直到xn
这里X0等于a xn等于b
设FX在节点
Xi处的函数值等于Yi
如果函数φx满足下述条件
第一φX在区间AB上连续
第二一φx在每一个子区间xi到xi加1
是次数为M的插值多项式
那么我们就称φx是fx在ab上
的分段M次插值多项式
当M等于1时
我们称B上连续X是分段线性插值
当m等于二时
称fx为分段抛线差值
如果φx
在子区间xi到xi加1上
是三次hermit插值
那么我们就将@x称为A
B上分段三次
hermit插值多项式
分段线性插值公式简单
应用比较广
下面我们来介绍分段线性插值
φx在每一个子区间
xi到xi加一上是一次插值
那么根据一直插着的定义
我们可以写出@X
在区间Xi到xi加1上的表达式
在每个小区间上
都有这样一个线性插值的表达式
那么在整个ab上
它就是一个分段线性函数
注意
在每小段上
它的一次的表达式是不一样的
它的几何图形就是一条折线
我们用分段线性插值来逼近fx
实际上就是用折线来逼近曲线
我们看这个例子
FX等于一加25x平方分之一
定义负一到1上
我们将负一到1十等分
用分段线性插值来逼近
F括号负的零点九六
首先
我们将区间负一到十等分
结点为
xi等于负一加五分之i
h等于五分之一
插值点是负的零点九六
那么插值点
它属于负一到负的零点八
这个小区间
那么我们就写出分段线性插值
在这个区间上的表达式
它是一个线性插值
将X等于负的零点九六代入法@x
我们得到它的函数值
是零点04253
fx在负的
零点九六的函数值是零点0416
那我们说小点后两位是一致的
之前我们计算的十差次插
它在零点九六的值是
1 80438
所以分段线性插值较高数差值
它的精度有很大的改进
在本节的最后
我们介绍分段线性插值的余项定理
设FX在A
B上具有二阶连续导数
当x属于ab时
我们假设fx二阶导数有@
也就说
我们假@X的绝对值
小于等于@我们@小区间不长的最大值
则有下述不等式成立
分段线性插值余项rhx的绝对值
小于等于八分之M乘以X平方
这里X属于A
B区间
我们来证明这个不等式
根据lagrange余项定理
当x是属xi到xi加1时
φX是线性差值
那么线性插值
的余项我们可以用下式来表示
在xi到xi加1这个区间上而来
而hx它的表达式是二的阶层分支
F"乘以xi减xi
乘以X减xi加1
放大这个式子
根据假设F@X在A
B上他的绝对值不超过大M
那么这里F@
它的绝对值也是不超过大M的
所以我们得到@的绝对值小
于等于二分之m
乘以X减xi在乘x减xi减xi加1
乘积绝对值
在xi到xi加1上的最大值
那我们直接计算
可以把后面这个成绩的最大值
直接求出来
等于四分之一xi加1减xi
括号平方那么不超过四分之X平方
这个h我们前面定义过
它是此区间长度的最大值
这样我们就证明了分段线性插值
它的余项绝对值不超过
@M乘以h平方
这个定理的结论告诉我们
当小区间不长
区域零时
分段线性插值是收敛到Fx的
本节我们介绍了分段插值
那么分段插值它计算简单
收敛性有保障
但是它却不能保证
整条曲线的光滑性
从六十年代开始
由于航空
造船等工程设计的需要
发展起来了样条插值
样条插值既保留了
分段低次插着的优点
又提高了插值函数的光滑性
那么在下一节我们将介绍三次样条插值
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 算法与效率
-1.3 计算机数系与浮点运算
-1.4 误差与有效数字
-1.5 四则运算与函数求值的误差
-1.6 问题的性态与条件数
-1.7 算法数值稳定性
-第1章 作业
--第一章 作业
-2.1 引言 2.2 线性空间
-2.3 内积空间与元素的夹角
-2.4 赋范线性空间
-2.5 向量范数与向量序列极限
-2.6 矩阵范数
--2.6 矩阵范数
-第二章 作业
--第二章 作业
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.3 不动点迭代法
--3.2 二分法
-3.4 不动点迭代法的收敛条件
-3.5 牛顿迭代法及其变形
-3.6 迭代法收敛阶
-3.7 重根的计算与加速收敛
-3.8 数值实验
--3.8 数值实验
-第3章 作业
--第3章 作业
-4.1 引言
--4.1 引言
-4.2 Lagrange插值
-4.3 Lagrange插值余项
-4.4 Newton差商插值
-4.5 Hermite插值
-4.6 分段多项式插值
-4.7 三次样条插值
-4.8 数值实验
--4.8 数值实验
-第4章 作业
--第4章 作业
-5.1 函数逼近与曲线拟合基本概念
-5.2 连续函数的最佳平方逼近
-5.3 曲线拟合的最小二乘法
-第5章 作业
--第5章 作业
-6.1 引言 6.2 高斯消元法
-6.3 矩阵分解与应用
-6.4 误差分析 6.5 数值实验
-第6章 作业
--第6章 作业
-7.1 引言 7.2 线性方程组的迭代法（上）
-7.2 线性方程组的迭代法
-7.3 非线性方程组的迭代法
-7.4 数值实验
--7.4 数值实验
-第7章 作业
--第7章 作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 幂法与反幂法
-8.3 矩阵的正交分解
-8.4 QR方法
--8.4 QR方法
-8.5 Jacobi方法
-第8章 作业
--第8章 作业
-9.1 引言
-9.2 牛顿-柯特斯公式
-9.3 复合牛顿-柯特斯公式
-9.4 龙贝格算法
-9.5 高斯型求积公式
-9.6 数值微分
--9.6 数值微分
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 梯形公式和改进的欧拉方法
-10.3 单步法的误差与稳定性收敛性
-10.4 高阶单步方法
-10.5 线性多步法
-10.6 多步法的误差与稳定性
-10.7 一阶微分方程组与高阶微分方程
-第10章 作业
--第10章 作业
