当前课程知识点：计算方法 > 第8章 特征值与特征向量 > 8.4 QR方法 > 8.4 QR方法
然后我们后面再给大家
介绍一下
特殊的QR方法
QR方法的时候
是用来求矩阵的
全部的特征值的
但它不能用来求全部的特征向量
只能求特征值
主要的也可以看成是幂法的一种
推广和变化
可以用来求任意矩阵的
全部的特征值
他的方式了
就是在
解决一些阶数不是特别高的
这个特征值
问题上面
也是我目前的时候
用来求解一个矩阵的
所有的特征值的
最有效的方法之一
这个规律的非常简单
就是说用刚才前面的方法呢
有@@@变化也好
JS是变化也好
我先把他做QR分解
或者用别的方法做
QR分解也行
这个分解的地方就说
我们首先A
记成A1
把它分解成Q1乘R1
然后把Q1和R1倒过来
相乘
倒过来
相乘乘上R1乘Q1
这个记成A2
A2和
原来的A1之间的什么关系
就是相当于左边呢
在原来的A一的左边呢
成了一个
R1右边成了一个Q1
它实际上的时候
就是说可以保证A2和A1呢
它仍然是一个
相伴矩阵
就是它是相似变
换的一个矩阵
相似变换的
这样做的话就说
哎
A2和A1的特征值是完全是一样
但是得注意A2和A1的特征
向量已经变了
已经变了
然后这样类似的方法的时候
我把A2在做QR分解
再给他分啊
再把它倒过来
相乘
变成A3
在把A3再分解
按照这种方案分解分解下去
就是每次拆开拆开以后
分解分解
以后倒过来相乘再分解
再拆开再分解
再倒过来相乘
按照方法的时候
我们可以证明出来
这也是一个叫做实Schur分解定理
最终的这个Ak
它会趋向于这样一个结构
这个结构了是一个上三角矩阵
不是刚才那个@@@@矩阵啊
有点类似
给@@的时候一种对角线部分的手
那是一种分块的
分块的这个分块矩阵写出来时候
R1,R2
Rmm呢
这些矩阵的
给啥@@@的时候
要么是一乘一的
要么是二乘二的
虽然我们也可以通过这个
到了这种程度以后呢
可以知道这些矩阵的
211
的特征值就是原来A的特征值
二二二呢
里面特征值
也就是
也是A的特征值啊
因为它是一阶或者二阶的
很容易给求出来
这就是我们做的QR
分解了一个算法
比如说我们看这样一个算例
算例中间的时候了
A这样给出一个五阶的
矩阵
第一步的分解成QR算法
这个要用的时候
我们是
@@@变换做的
变成五阶的
变的这个左边这个Q右边这个R
倒过来相乘以后的产生出来
后面这个A2
这个数值我就不一个个是说它
而这种分解这种方法写完以后
分解完以后
陆陆续续一直下去下去
下去以后的
比如说我们到了第二十步以后了
发现有什么规律的
基本差不多了
就是实Schur那种结构了
主对角线部分是一种分块的
这个
分块的上三角矩阵
然后我们基本上就可以分成三部分
第一部分是
211是25.1598
这是一维的
就是一乘一的一个矩阵
这就是我们一个特征值
然后调号
下面的222的
这是一个二乘二的啊
我这里有一个黑框
给裹起来了
-2.2831
负4点
2575
6.01322
-3.3104
他们这个地方
给出来算出来的这个
特征值了
那就照我们家的数值的时候了
给定的时候
给定的时候了
上传了两个特征值
就他这个二乘二的算术特征值
就是中间那个
-2.7968±5.0336
乘上根号-1
又在往下面的时候的一个
二撑三也是一个二乘二的
他也算出来是一对负数的特征值
当这种QR算法的时候
这种计算量的时候都是比较大的
因为我们不清楚到底什么时候
能够写成这种结构
所以了我们有一些
相当的一些变化呢
做一些讲述D呢
首先的时候
用那个矩阵的所做二乘二、的变化呢
先把它变成上Hessenberg矩阵
因为种基本QR算法的时候
用在Hessenberg矩阵的时候
每步的计算量
是n平方不是n立方
这个这个里头是有一个大量的
就是计算量的减少
第二个地方的
所以和以前的反面法的移位一样
也有做
对应的一个移位
只是每移位完后需要给它移回去
就把A-Qi
我先做分解
然后倒过来相乘以后
再把Qi再给加回来
那这个Q取多少呢
一般有两种方法
要么取
右下角
那个数字
要么取右下角的二乘二的
这么一个矩阵的
中间的那个特征值
但是这个特征值要找一个离
右下角的
最近的一个数字
这是一个问题
然后还有一种加速的时候
为什么也是和第一个东西有相关
为什么一定要弄成
Hessenberg矩阵呢
Hessenberg矩阵的时候
就说我如果在分解过程中间的时候呢
这个每次计算过程中间以后了
它仍然是Hessenberg矩阵
反过来相乘以后仍然是
Hessenberg矩阵
但如果出现某个数值
Hessenberg矩阵的这个
那个在对角线下面的某个数值
如果非常小的时候
我就基本可以认为是零
认为是0
认为是0的话
那这个时候我可以直接降阶
就说把的一个大矩阵
可以拆成两个小矩阵去做啊
比如说像Ak，k-1
这个数据差不多变成零了
他的判断的方法什么时候判断它是零呢
就是它比它
上面的和右边的两个对角线上的
元素的绝对值
之和要小得多的时候啊
小得多的时候
就可以进进行降阶了
这时候降阶的时候呢
上面的
k-1
k-1的这个
上面的一个
k-1阶的
的矩阵拿下去
然后它的的右下角的那部分
是一个也是另外一个
n-k的这个矩阵
n-k阶的矩阵
就分成两个矩阵去做
这样可以简化我们的计算
具体算例了
你们可以参考我们的教材
比如说我们现在给出一个
A矩阵的时候
现在我看看啊是一个四阶矩阵
右下角的二乘二矩阵
的时候
是4423
能够算出来
它的两个特征值
是6.3723
和0.6277
距离3比较近的
那就是a44啊
就是第四行第四列的
这个元素a44是比较近的
是0.6277
D是一位
一个是0.6277
把a-0.6277的
I
我们给他做QR分解
可分解再分解回来
分解回来以后的这个数字
当然
第一次可能看不出来效果啊
按照这样类似的方式的时候做第二部第三部
第四部
第三部就差不多了
差不多的时候考的什么方式了
这个时候得注意到第四行
第三列
这个数字差不多就是零了
差不多是零的地方的时候了
那么这个时候右端的
那个剩下的就是一个
数字了0.3802
这就是一个特征值
然后剩下的时候就是一个三级的了
就是上面的
第一行
第二行
第三
第三行第一列
第二列第三列写了这个三乘三的
这个就是可以降阶做处理了
那这个降价做处理的方式
用刚刚类似的方法也做处理
再做过再做两步
差不多地方的情形下
说的这个时候的第三行第三列
数据变动0.00003
相对这个数字也差不多可以看成0了
这时候了
它右边的那个5.1701
也就是我们的一个近似值
上面是一个二乘二的
那就很简单
直接求出来了
可以求出另外两个
近似值
9.3984
和-1.9487
这就是它的全部的特征值
这是我们一种
简单的
这种一移位这种做了计算
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 算法与效率
-1.3 计算机数系与浮点运算
-1.4 误差与有效数字
-1.5 四则运算与函数求值的误差
-1.6 问题的性态与条件数
-1.7 算法数值稳定性
-第1章 作业
--第一章 作业
-2.1 引言 2.2 线性空间
-2.3 内积空间与元素的夹角
-2.4 赋范线性空间
-2.5 向量范数与向量序列极限
-2.6 矩阵范数
--2.6 矩阵范数
-第二章 作业
--第二章 作业
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.3 不动点迭代法
--3.2 二分法
-3.4 不动点迭代法的收敛条件
-3.5 牛顿迭代法及其变形
-3.6 迭代法收敛阶
-3.7 重根的计算与加速收敛
-3.8 数值实验
--3.8 数值实验
-第3章 作业
--第3章 作业
-4.1 引言
--4.1 引言
-4.2 Lagrange插值
-4.3 Lagrange插值余项
-4.4 Newton差商插值
-4.5 Hermite插值
-4.6 分段多项式插值
-4.7 三次样条插值
-4.8 数值实验
--4.8 数值实验
-第4章 作业
--第4章 作业
-5.1 函数逼近与曲线拟合基本概念
-5.2 连续函数的最佳平方逼近
-5.3 曲线拟合的最小二乘法
-第5章 作业
--第5章 作业
-6.1 引言 6.2 高斯消元法
-6.3 矩阵分解与应用
-6.4 误差分析 6.5 数值实验
-第6章 作业
--第6章 作业
-7.1 引言 7.2 线性方程组的迭代法（上）
-7.2 线性方程组的迭代法
-7.3 非线性方程组的迭代法
-7.4 数值实验
--7.4 数值实验
-第7章 作业
--第7章 作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 幂法与反幂法
-8.3 矩阵的正交分解
-8.4 QR方法
--8.4 QR方法
-8.5 Jacobi方法
-第8章 作业
--第8章 作业
-9.1 引言
-9.2 牛顿-柯特斯公式
-9.3 复合牛顿-柯特斯公式
-9.4 龙贝格算法
-9.5 高斯型求积公式
-9.6 数值微分
--9.6 数值微分
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 梯形公式和改进的欧拉方法
-10.3 单步法的误差与稳定性收敛性
-10.4 高阶单步方法
-10.5 线性多步法
-10.6 多步法的误差与稳定性
-10.7 一阶微分方程组与高阶微分方程
-第10章 作业
--第10章 作业
