9.3 复合牛顿-柯特斯公式（下）在线视频

大家好

我们今天继续

来看看柯特斯公式在应用过程中间

有什么一些变化

对于符合

牛顿柯特斯公式

我们前面已经看过了

它们的误差项呢

是有一定项的

比如说

我们的复合梯形公式

他们的误差项呢

主要的时候是h平方

这么一个阶段数

这个阶数呢

按照误差的这个项h平方

这项呢

我们就可以给出来

一个

更简单更快的一个处理方法

比如说我们可以看看

把步长呢

如果缩小成原来的一半

也就相当是原来n等分

改成了2n等分

等分完以后呢

我们注意一下误差项

误差项现在的时候

是2分之b-a是一样的

h改成了h除以2

然后导数可能也变化了

但是如果说我们这个导数呢

在我整个区间上的时候

变化不是特别大的时候

N等分的过程中间

和2n等分的过程中间呢

他的这个误差项呢

差不多是四倍

我们就可以利用这个四倍

利用误差抵消误差

然后我们把这边的误差呢

我们给它削掉三倍

削掉三倍以后呢

比如说我四倍的这个Tn

减掉1倍的Tn

比如说在T的2n基础上的时候

我加上了

前后的T2n

和Tn的大概三分之一

这个三分之一呢

刚好的时候

是T2n的误差

因为它是这两者误差

本来是四倍啊

剪完以后了就变成三倍

我们给他除了一个3

然后我们现在给

出这个公式来的时候

就说利用

n等分或2n等分的

这种现象

我们只需要

控制误差小于某个数值的时候

这个数值我只要前后的

2n等分和n等分的时候

这两组数据的误差非常小

小于我给定的@@@@就可以

这样的就说

基本上了

在

误差给定以后了

我们是一般怎么来进行求的呢

刚才我们讲的是梯形公式

它是误差是h的平方

如果是

@的抛物线公式

它的误差项的是4次方

这样的话

如果在步长的缩短的过程中间

的时候了

我们也有类似的一个结论

这个结论的就前后两次的误差呢

大概的时候

相差是16倍

2的4次方16倍

所以我们可以利用的

前后的这个差值

然后呢、

除以15，这个15分之1呢

就基本上是S2n的

他的一个误差项

把这误差项呢我们给它补充全

就更准确了

更准确了

然后柯特斯公式也是类似的啊

我们假定它是六阶导数的时候

变化不是特别大的时候

同样的地方

也会有一个

类似这样的一个公式

这个公式呢

给出来的时候

它的数字应该是2的6次方

步长缩为原来的一半

步长缩为原来的一半的时候呢

我们这个误差项

是缩小为原来的2的6次方分之1

也就是64分之1

这样那就是我们的误差

抵消误差的时候了

我们需要做一个

除以63

就说类似这样的一些公式的时候

我们利用误差抵消误差

这样来计算的时候

就会控制的比较方便啊

我不需要的时候

是人为的说我先去给他算出来

到底需要

多大的这个n

我才去照这个n等分去分

实际上

这个n等分

刚才说过了他不一定是

最佳的啊

不一定最佳的有可能还没算到

因为我们计算过程中间

多多少少了计算机呢

会出现这样或者那样的一些毛病啊

比如说加的数值都多的时候了

有些累计的误差

会造成误差变得更大

比如说来

我们现在一个非常简单的例子

我们找一个椭圆

椭圆的这个

长半轴都是3

短半轴是2

它的那个

就是

这个椭圆面积很好求

πab

πab

这是整个算起来

就是就是六倍的π

但是说

边长的

就是整个的这个椭圆的周长

周长

我们怎么来求

这个求的时候就不太好求

这个因为他所所做的时候

本身就是一个椭圆积分

写出来以后的根据对称性呢

我们可以把它写出来是四倍的

这么一个积分

从0到2分之π这么一个积分

里头是根号9减掉

五倍的sin平方

θ

整个这个开根号然后积分

积分的时候

我们要用到的复化的这个

辛普森公式

最开始的时候就是

零到二分之派

整个一个区间上的辛普森公式

就抛物线

直接给出来

将给出来的数值算出来是

15.91534926

差不多的时候

十位有效数字的时候差不多

是这个数字这个数值

这个数值的时候

当然我们不知道这个误差多大

然后在把他做

等分下去

就说我现在刚刚一等分不行

二等分再继续做

做的时候能这样就说

把

零到2分之π的时候

实际上是相当分成

零到四分之π和四分之π到

二分之π之间

分成两个区间

分别去用辛普森公式

这样的算出来数值呢

稍微的

小了一点点

变成15.86608383

这也是十位有效数字稍微的

离我们的准确是更近了一点

但是我们现在要求的

不是精确到那个

到这个地方就为止了啊

我们要精确到的时候

一百万分之一这么一个级别

现在的时候

n等于1

n等于2

它并没有达到我们所需要的要求

现在要求的这个误差的时候大概还有

八个

5%左右

还很大

那不行的话

就我们就是这个原则

n等分不行

我就换到2n等分

2n等分不行

再换3n等分

一直换下去

按照四等分的数据的时候

我们再重新算

算以后呢是

15.86543994

这个时候

离n=2

n=4两个数值

它的误差

两者之间的差距

现在缩短一点点大概的时候

到了小数点后面第四位了

比如说大概万分之一左右

这么一个级别

但是还没有达到我的要求

我达到是一百万分之一

这么一个级别

然后这样不行

我们再继续往后写啊

在做的时候坐成八等分

八等分以后呢

做的这个辛普森公式的

现在算一下数据呢

和n=4的时候基本是一致的

我们可以看到是

15.86543959

只是在

十位有效数字后

两位的有区别

一个是94

一个是59

也就说误差的时候

这个时候已经实际上

也达到了差不多10的负7次方啊

真实的值呢

我们可以看一看

他得到的时候是

差不多的

是15.865439258

我们看到

θ前面的十位有效数字

3959

最后几位3959

它是3958但舍五入以后了

这样就是3959

函数

就说有的时候变化的规律

比较奇怪

有的地方的时候

可能快

有变化了

非常抖动的非常厉害

有的地方的时候可能一马平川

比较缓的一个过程

变化不是特别大

那如果说把这些

变化非常大的区间呢

拿过来做的话

我们如果用刚才的

那个

就是等分区间的方式

方式来进行做的话

有可能需要等分成

非常非常小的区间

才能达到要求

而我们现在如果是

比较平缓的地方

变化不是特别大的地方

我就不需要选择那么

很密的这个地方

只要稍微把那个区间

可以拉的稍微长一点

拉的长一点的时候呢

我们照样的地方的时候

是可以来进行

计算的

我如果说给你一个

非常非常长的区间

你要去做计算啊

这样做的话就有可能会把

中间有变得快的

也有变得慢的

然后这个时候了

我们就不能用刚才那种手法了

那才那种手法

不管三七二十一就是

二等分四等分八等分

一直等下去

等到的最后的时候

实际上就是把最密的地方等分出来

才合适

这样实际上造成的在

在比较缓慢的地方的时候

实际上不需要那么多等分

我们可以看看我们可以做一个

自适应的等分

仍然拿

我们刚才的

复合的辛普森公式来看看

所用的时候怎么做呢

我们说是把整个区间

一部分一部分的过关

先拿整个区间来看

a到b这个区间来看

a到b区间拿出来以后

先算出来

它的辛普森公式的

就一个区间上

它的一个S1

就是它的所有的辛普森公式S1

然后分成两个区间做的

另外一个同样的辛普森公式

这个计算S2

S1和S2如果小于

15倍的ε的时候

这个S2呢

和真实的值

差不多的时候就ε

可能稍微有点区别

但是一般不会特别大

按说我们说一个区间过@@@公式

如果说判断这个原则判断对了

这个就是这个区间能满足这个条件

我给你一个限制

你这个区间中间我只能误差有多大

你现在达到我这个误差的要求了

那就我这个区间就通过了

区间通过了

然后去取这个S2呢

对应的S2呢

就作为我这部分积分的

这个数值

但是如果出现的时候不符合

这种情况

也就说我这个

算出来S1,S2的话

可能非常误差非常大

误差非常大的时候那怎么办呢

那就说我们现在就

把a到b这个区间呢

本身是不通过的

不通过以后了呢

然后把它分开成为

两个区间

一般情形下说的是

左边一半右边一半两个区间

就是a到2分之a+b

这算一个新的区间

二分之一a+b

到b呢是另外一个区间

就分成两个等距的区间

然后这两个等距长区间的时候呢

我们把它的误差的控制了一人一半

一人一半因为后面我还要把他的这

两个部分的全加起来

一人一半的误差

你达到一半误差我达到一般为误差

加起来以后最多的误差

也不会超过一倍的误差

就像这种方法

我们一个一个去看

如果说你分成两半的这个区间

还没通过那继续分

好了

我们可以看看一个

比较变化比较大的例子

就是e的x次方

这是一个指数函数

指数函数的时候

我们知道在0的附近的时候

增长是比较慢的

但是到了后面呢

指数增长嘛

增长的非常非常快

我们这里还显得比较小啊

只选到到5

选到5选到5的地方

那我们可以看看我现在要求

整个的数据的也是能达到

最后

最准的误差要达到

一百万分之一

现在我们就先一个一个来

来把这个区间过关

第一个区间

最开始的区间就有一个区间

就是a等于0

a等于0，b等于5

这样它算出来S1

165多一点点

S2呢149

这个很明显没通过

两个差距差太大了

没通过的时候能让这时候

就要开始往下掐了

掐的时候掐成前面的一半

我们先看前面的一半

来看它能不能过关

a等于0

b先换成2.5

就是前面前半截区间

算出S1呢

11.3099

S2呢

11.1915

注意到这个时候了

误差的控制的应该缩小

成为一百万分之1的一半

一半一半这个肯定还不行

虽然它误差已经降得比较低

降到大概是

小数点

后面一位了

大概是零点一左右的误差

但达不到我的要求

达不到要求的时候

这个时候再继续往下做

那就说我再把它

分成两个区间

有零到1.25

和1.25到2.5

这两个区间

我们先

比如说就照这种方法了

陆陆续续的

往下去进行做

做到什么时候为止呢

第一个能通过的区间

是A等于0

B呢

等于0.078125

也就是64分之5

这么一个级别

第一个这个区间是通过的

这个区间里头的时候呢

就0到64分之5

这个区间中间的S1

大概是0.0812578

后面是0848

S2给出来的时候类似

基本是一样的

0.08125780755

S1S2和S1的差距的时候

大概算出来以后

相对误差是比较小的

它达到的时候@@@的时候

是十的负十次方左右

然后这些通过的地方

陆陆续续的时候就是说

前面的

比较大区间是变得比较缓

它64分之1的这个

原始的区间的长度了

差不多就通过了

但越往后的时候的这个区间长度

就会变得越来越

少一小一点

最后的时候都通过了一个区间

的时候了才比较靠5的

这边的通过的区间

它的长度

实际上说到的是

128分之5

整个这个数据的时候了

但是中间的时候

本身还有一些计算的技巧

这些做的时候

就说

大概的时候可能有一半

是64分之5

有一半是128分之5

大概可能是有60

前面有64个数据

后面的地方的求一下

差不多所有也是一百多个数据

加起来可能也算到

不到二百个数据算出来就完事了

但如果用原来的

那个

单独的

就是我n等分

2n等分4n等分

8n等分这么等分下去的话

二百等分是绝对不够的

所以这个运算量呢

它比原来的运算量要小得多啊

但具体这个数值到底多少了

你们回去给自己

算一算啊

我就留给大家当习题了