当前课程知识点：计算方法 > 第10章 常微分方程初值问题的数值解法 > 10.6 多步法的误差与稳定性 > 10.6 多步法的误差与稳定性
同学们大家好
我们前面学习了简单单步法
高阶单步法和线性多步法
下面我们来学习多步法的误差
以稳定性
我们先介绍线性多步法的稳定性
先看线性差分方程
常系数线性差分方程的一般格式
我们可以写成
LYK等于A零YK
加a1yk加1
一直加到anyk加n
等于CN加k
也可以@an
yn加k n减1yn
加k减1
加一直加到y0
A零
AK
这是常系数线性差分方程的
一般形式
其中K等于K零K零加壹
那么K0为差分方程的起始下标
当A零
乘an不等于零时
六点一为N阶差分方程
而称
Lyk横等于零
为相应于
6.1的
齐次差分方程
给定
N个初值
Y零
到
Yn减一
可唯一确定差分方程的解Yk
下面来研究
齐次
差分方程六点一的解的结构
设K零得零
称P λ
等于an λ的N次方
加an减一 λn减@
加一直加到a0等于0
为差分方程6.7和
6.2的特征方程
容易验证有如下性质
性质一设r为特征方程的某个根
那么YK等于α
rK次方
就是其次差分方程六点二的根
性质二
设r1 r2
到rn为特征方程的N个相异实根
则Y等于α1r1的K次方
加α2
r2k一直加到αn
Y
n的k次方这种线性组合
也是差分方程六点二的根
定理二
若齐次差分方程
LYK等于零的特征方程
P λ
等于0有N个互异实根
则齐次方程的通解
可以写成这种形式
YK等于
α1r1的K次方
一直加到αn
αn的k次方
其中α1到αn
为任意常数
可能是实数可能是负数
给定N个初值时
其系数可以唯一确定
那么我们称
YK的i次方
等于XI的K次方
i等于1到n
为齐次方程 L
YK
@基本解集
基本解集
是一组线性无关集
无关集的任何线性组合
均为齐次差分方程的解
反之
齐次差分方程的任何一组解
均可表示为这组解集的线性组合
当特征方程有重根时
齐次方程的解情况比较复杂
我们这就不做讨论了
同学们可以专看差分方程教材
下面
两个定理可以用来
确定线性多步法的收敛性与稳定性
定理三
齐次
线性差分方程
LYK
等于零的任意一组解
Yk收敛于零的充分必要条件
是其特征方程Pnλ
等于零的根的绝对值小于1
就是所有特征根的绝对值
都小于一的时候
那么这个
齐次差分方程的
任意一组解都收敛于0
反过来也成立
定理四
齐次差分方程
Lyk等于@任意一组解
一致有界的充分必要条件
是其特征方程pnλ等于0的根
满足
λi绝对值小于等于一
且落在单位圆边界上的根
只能是单根
二
线性多步法的稳定性
另前面讨论的结果
定理可以得到线性多步法的稳定性
将五点一应用于实验方程
得到相应的齐次
线性差分方程
若对其特征方程的根满足
λi的绝对值小于1
做线性多步法
五点一是绝对稳定的
使该不等式成立的H一杠
等于λh
在复平面的允许的范围就是方法
五的绝对稳定域
下面我们看
Adams方法的绝对稳定性
将四阶
Adams显式法应用于实验方程
我们可以得到如下表达式
其对应的特征方程为
大家看就是yk换成二的K次方
我们代进去得到这样一个特征方程
那么当特征根
ri
λh
满足
ri
λh绝对值小于1时
四阶
Adams显式法是绝对稳定的
其绝对稳定域
如图4
类似
可以得到Adams隐式方法
绝对稳定域
四阶
Adams隐式方法绝对稳定域
见图五
Adams隐式法是一种内插方法
它比同步显示方法精度高
绝对稳定域也大
但隐式方法中
多数情况下Yn加一
往往不容易求出来
需要迭代求解
这样就增加了计算工作量
就类似
改进的欧拉方法和梯形方法一样
但实际已经是一种很少单独使用
Adams显式方法
和Adams隐式方法
一般是将两种方法结合使用
用显式方法提供初值
再用隐式法迭代不断修正
这种联合使用的方法
称为Adams预测-校正法
类似于改进的欧拉方法
下面我们看亚当姆斯预测校正法
最经常使用的是用四阶
Adams显式公式预测
在用四阶Adams隐式方法
进行校正
先用四阶Adams显式公式
我们可以得到
这样一个表达式
令它计算一次
计算出初值
YN加一零
称为预测值
接着计算F的值
利用它可以计算出把这个代进去
可以@FN加一零
接下来
利用四阶Adams隐式公式
来进行校正
那么大家看这FN加一零
我们
yn加1零得到我们可以代到这
代到这就可以的到yn
加一
有了yn加1@
然后再代进来这么一特校正
那么
可以写成如下
循环迭代公式
在这
我们通过这个算出yn加1零
这个当k的0时
yn加一零代到这
这个呢就得到yn
加e1
那么就和循环校正
我们看一个例题
取H的零点一
是用四步四阶显式方法
和三步四阶隐式方法求解初值问题
并以精确节比较
取Y零得一
Y一Y二Y三的值
作为四步四阶显式方法的起点数值
在此数处的Y零Y一
Y二作三步四阶
起点数值
我们可以通过四阶龙格库塔方法
解来代替
计算结果表
见10-12
那么这是显式方法
这是隐式方法
下面小结
这节我们主要介绍了多步法的误差
以稳定性
包括这样既写一些内容
练习留给
大家谢谢
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 算法与效率
-1.3 计算机数系与浮点运算
-1.4 误差与有效数字
-1.5 四则运算与函数求值的误差
-1.6 问题的性态与条件数
-1.7 算法数值稳定性
-第1章 作业
--第一章 作业
-2.1 引言 2.2 线性空间
-2.3 内积空间与元素的夹角
-2.4 赋范线性空间
-2.5 向量范数与向量序列极限
-2.6 矩阵范数
--2.6 矩阵范数
-第二章 作业
--第二章 作业
-3.1 引言
--3.1 引言
-3.3 不动点迭代法
--3.2 二分法
-3.4 不动点迭代法的收敛条件
-3.5 牛顿迭代法及其变形
-3.6 迭代法收敛阶
-3.7 重根的计算与加速收敛
-3.8 数值实验
--3.8 数值实验
-第3章 作业
--第3章 作业
-4.1 引言
--4.1 引言
-4.2 Lagrange插值
-4.3 Lagrange插值余项
-4.4 Newton差商插值
-4.5 Hermite插值
-4.6 分段多项式插值
-4.7 三次样条插值
-4.8 数值实验
--4.8 数值实验
-第4章 作业
--第4章 作业
-5.1 函数逼近与曲线拟合基本概念
-5.2 连续函数的最佳平方逼近
-5.3 曲线拟合的最小二乘法
-第5章 作业
--第5章 作业
-6.1 引言 6.2 高斯消元法
-6.3 矩阵分解与应用
-6.4 误差分析 6.5 数值实验
-第6章 作业
--第6章 作业
-7.1 引言 7.2 线性方程组的迭代法（上）
-7.2 线性方程组的迭代法
-7.3 非线性方程组的迭代法
-7.4 数值实验
--7.4 数值实验
-第7章 作业
--第7章 作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 幂法与反幂法
-8.3 矩阵的正交分解
-8.4 QR方法
--8.4 QR方法
-8.5 Jacobi方法
-第8章 作业
--第8章 作业
-9.1 引言
-9.2 牛顿-柯特斯公式
-9.3 复合牛顿-柯特斯公式
-9.4 龙贝格算法
-9.5 高斯型求积公式
-9.6 数值微分
--9.6 数值微分
-10.1 引言
--10.1 引言
-10.2 梯形公式和改进的欧拉方法
-10.3 单步法的误差与稳定性收敛性
-10.4 高阶单步方法
-10.5 线性多步法
-10.6 多步法的误差与稳定性
-10.7 一阶微分方程组与高阶微分方程
-第10章 作业
--第10章 作业
