18.2 回归模型和回归系数慕课视频播放-心理统计-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

今天我们继续学习

回归与预测这一章中的

回归模型与回归系数这一节

上一节我们简单介绍了

一元线性回归的表达式

那么这一节我们重点来讲

如何来计算截距和斜率

它的计算步骤呢包括

首先要根据数据资料做散点图

来判断变量之间的关系是否是线性的

如果是线性的

那么我们就要选用合适的回归系数的方法

来计算斜率和截距

然后将求得的截距和斜率呢

代入方程式得到回归方程

现在呢问题是我们如何来选择

这条最佳的拟合直线呢

以及用什么方法来计算回归系数呢

总体参数也就是那条总体回归直线的

截距B0和斜率B1是未知的

我们可以通过样本来估计它

我们X呢可以取不同的取值

比如说X1到Xn

我们进行独立实验可以得到样本

X1和它的配对的取值Y1

X2和它的配对的取值Y2

这是一个样本

我们基于这样的样本可以采用最小二乘法

或者是最大似然法来估计回归系数

下面来看一下

我们怎么来找这条最佳的拟合直线

这是一个散点图

横轴是X纵轴呢是Y

这是假设是我们要找到的那条最佳的拟合直线

那么在这个拟合直线上有一个点

以及它所对应的实际的观测值

这个是我们的观测值

这个就是我们可以有X所预测的预测值

那么Yi减去Y∧

我们就叫做残差

我们说这个残差呢有正有负

它的和呢为零

也就是说它的期望

E（εi）呢是零

所以我们用和呢

是无法来衡量预测值和观测值的距离呢

所以我们把它加以平方

我们的目标呢就是找出一条线

使每一个观察值与预测值的距离的平方和最小

大家可以看到

我们有一个样本

我们有不同的观测值

就会有很多个残差

那么我们让它平方

我们主要是让这个平方和呢最小

如何让它最小呢

我们看一下这个式子

我们叫残差的平方和

我们重新来表达一下这个式子

Yi减去Y∧

也就是等于ei

那么其中Y∧呢是能够由X所预测的部分

所以这一部分呢带入这个公式

我们可以看到经过整理

它等于Yi减去B0减B1Xi的平方

Xi和Yi呢都是实际观测的值

我们是想找到最佳的b0和b1

使得这个SSE呢最小

那么如何使得SSE最小呢

我们可以用微积分的方法来找

也就是说我们求b0和b1点处的一阶偏导

当它等于0的时候

SSE的取值呢是最小的

我们求一阶偏导

这个式子可以转化成这样的关系式

由刚才的那个联立方程我们可以计算

b1是这样的一个表达式

其中b1的分子部分

我们以前见过是协方差的分子部分

那么代表的是X和Y的离差的集合

那么分母呢是X的离差平方和

我们还可以进行一个公式的一个转换

那么这个式子呢跟前面这个式子是等价的

只是它方便计算

同时截距b0

我们说它怎么来算呢

因为这条回归直线会过中点Y的平均数

和X的平均数

所以我们把b1带进去

我们就可以转换出b0来

我们举一个例子

这里呢我们有十个数据

有它的股利

我们看一下能不能去预测股价

因为股票的价格也就是股价与其获利的能力

有很大的关联

所以我们希望建立

股利对股价的这个预测的方程

而且我们还想预测

当X等于13的时候

它的股价是多少

我们把这样的数据进行一个转换

首先计算Xi乘以Yi就是13×115

类似的求出这样的一列数据

这里是X的平方

这是Y的平方

基于这样的数据我们来计算b1

我们基于这样的公式

把这相对应的数字带进去

b1呢等于7.5072

因为回归直线呢它是过中点

X平均数Y的平均数的

那么你把它带入这个相对应的式子

我们就可以把b0求出来

b0等于15.2017

回归系数b0和b1我们都求到以后呢

我们把它代入这个方程

那么也就是说Yi的估计值

等于截距加上斜率乘以X

同时我们还可以说这个方程表达成

y=15.2017

也就是截距加上斜率

7.5072乘以X

然后呢我们后面要加上一个残差

也就是你实际观测到的y

等于它所能预测的部分

这一部分我们称为Y∧

加上残差

大家注意

我这里的表达不再是ε

而是e

因为这个是基于样本表达式的

我们下面呢可以基于这个回归方程来做预测

当X等于13的时候

我们带入这个回归方程

可以得到y的取值呢等于112.8

下面我们再重新回到数据表当中

这里呢是股利和股价

当X等于13的时候

我们通过求得到的

最佳的那条拟合直线的回归方程

找到它的预测价格

也就是y∧=112.8

股价呢115

这是它的实际观测值

这个115和112的差

就是2.205

我们就叫做残差

下面我们来看一下

如何通过回归系数来计算斜率

我们刚才说通过最小二乘法

我们可以知道

b1等于这样的一个式子

我们重新表达一下

b1等于分子上面是离差积和SP

分母下面是离差平方和SSx

大家看这个形式是不是特别熟悉

因为它跟相关系数

也就是X跟Y的相关系数非常像

它的分子部分都是离差积和

分母部分是X跟Y的离差平方和乘积开根号

所以我们可以找到二者的一个转换关系

b1等于相关系数乘以Y的标准差

除以X的标准差

所以我们也可以用b1呢来求r

你也可以用r来求b1都可以

它们有这样的对应关系

在相关分析那一章

我们知道相关系数r呢是没有单位的

它不受X跟Y的单位的影响

但是b1呢

它等于相关系数乘以两个标准差的商

也就是说b1呢受X跟Y的单位的影响

如果我们把X跟Y做一个转换

比如说这是X这是Y我们有两列数据

我们分别去求X的标准分数

和Y的标准分数

X跟Y都是标准分数

它的平均数为零

标准差为1

如果我们去建立X跟Y的标准分数的回归方程

它应该是一个什么样的形式呢

我们可以看到

ZY也就是说

Y的标准分数的估计值等于β乘以Zx

X跟Y的标准分数有这样的一个回归方程

那么在这个回归方程里只有斜率

它的截距呢为零

因为X跟Y的标准分数的平均数都为零

所以它的截距呢也会为零

那么这个β

有什么样的关系呢和相关系数

我们说它等于r

等于r

因为b1等于相关系数乘以这样的一个式子

我们说当ZX跟ZY建立回归方程的时候呢

那么它的标准差也就是ZY的标准差

和ZX的标准差都是1

所以这个式子呢就等于消掉了

消掉了

所以X跟Y的标准分数的这样的回归方程

它的相关系数就变成r了

就变成r了

我们说当我们用X跟Y的标准分数

来建立预测方程的时候

这个式子也就是它们的前面的这个回归系数

我们称为标准化的回归系数

就是标准化的回归系数

这个回归系数等于

X跟Y的相关系数r

我们说这种标准化的回归系数呢

我们一般说用β来表示一个希腊字母

一般来说

如果你用电脑软件

比如说SPSS SARS等等

来计算回归系数的时候

它会同时输出b值

就是X跟Y的回归系数

同时也会输出X跟Y的标准分数的相关系数

我们叫标准化回归系数β值

好

在这一节里边我们讲了如何来建立回归方程

这是它的步骤

同时我们还讲了如何运用最小二乘法

来得到回归系数

这里是它的斜率的表达式

我们用不同的这个式子来表达

这里还重点强调了

这个回归系数和相关系数的关系

它有这样的对应关系

标准化的回归系数呢

在一元线性回归方程里边

就等于X和Y的相关系数

好

这节课我们讲完了

感谢大家收看

心理统计课程列表：

1 统计学入门

-1.1 统计学的意义

-1.2 心理统计简介

-1.3 基本概念介绍1

-1.4 基本概念介绍2

-1.4 基本概念介绍2--作业

-1.5 研究方法

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2 统计图表和频数分布

-2.1 统计表和统计图简介

--2.1 统计图表

-2.1 统计表和统计图简介--作业

-2.2 频数分布表

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-2.3 频数分布图

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-2.4 百分位数和百分等级

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-3.1 平均数

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-3.3 众数

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4 离散趋势

-4.1 全距和四分位距

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-4.3 差异系数

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-5.1 Z分数介绍

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-6.1 概率的基本概念

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-6.2 概率与二项分布

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7 假设检验

-7.1 假设检验的一般原理

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-8.1 t统计量与t检验

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18 回归与预测

-18.1 简单线性回归

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-18.2 回归模型和回归系数

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-19.1 二项检验

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20 非参数检验

-20.1 非参数检验概述

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--20.1非参数检验概述--讨论

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-20.2 单样本非参数检验

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-20.3 两独立样本非参数检验

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-20.3 两独立样本非参数检验--作业

-20.4 多个独立样本非参数检验

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-20.5 两个配对样本非参数检验

--20.5 两个配对样本非参数检验

-20.5 两个配对样本非参数检验--作业

-20.6 多配对样本的非参数检验

--20.6 多配对样本的非参数检验

-20.6 多配对样本的非参数检验--作业

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