6.3 概率与正态分布在线视频

大家好

今天我们学习概率与抽样分布中

概率与正态分布的相关内容

那么正态分布可以说是在我们心理统计中

特别重要的一个连续变量的分布的形态

它不仅是对于描述一组数据的时候重要

而且在后面的推断统计部分

也是特别重要的一部分的内容

所以这一节课的内容特别重要

首先在这一个部分我们会了解到

什么是正态分布

然后对于正态分布里面有一种特殊类型的

我们把它叫做标准正态分布

另外我们也会举一个例子来说一下

正态分布在实际中的应用

那么我们来看第一个问题

什么是正态分布

正态分布我们又把它叫做常态分布

高斯分布 是连续型随机变量中最重要的一种

概率分布的类型

之所以说正态分布重要

是因为在实践中正态分布应用特别广泛

很多随机变量的分布的形态都会服从正态分布

比如说身高 体重 智力

那么我们说它们都会服从这样的一个正态分布

另外正态分布也是我们统计理论的一些基础

很多其他的分布的推导

都是基于正态分布而来的

比如说T分布 卡方分布 F分布

它都多多少少和正态分布有一定的关联

这是我们说正态分布它特别重要的一个方面

那么我们来看一下正态分布的定义

那么上一次课我们就说到 说对于一个连续型的

随机变量来讲

我们在描述它的分布的时候

因为我们没有办法把它的每一个值都列下来

在描述它的概率的时候

我们也不会关注它取某一个点的概率

而是更加关注它落到某一个范围里面的概率

我们通常会用的一个方法就是用概率密度函数

来描述一个分布的形态

那么对于正态分布来讲的话

它就是有这样的一个概率密度函数来确定的

这样的一个分布

我们把它叫做正态分布

f(x)其实描述的是X它的一个取值的概率了

那么在这里面我们可以看到

除了随机变量X的取值以外

还有两个参数

一个是μ这个参数

一个是σ

那么我们说μ这个参数

它描述的是正态分布的平均值

σ描述的是正态分布的标准差

那么我们说其中π和e它都是一个常数

这就是我们说正态分布

它的一个概率密度函数

也可以说就是正态分布的定义了

那么对于正态分布

我们定义了这样的一个分布以后

它的概率密度函数画出来

到底是一个什么样的形态呢

根据正态分布的概率密度曲线

我们可以画出来正态分布的这样的一个曲线

看起来就是这个样子

正态分布的曲线

它是一个中间高两边低

并且以它的均值μ为对称轴的

这样的一个左右对称的这样的一个钟型的曲线

所以说正态分布曲线它要有一些特点

我们要注意的

首先那么我们说它是一个左右对称的

这个正态曲线

它还是一个单峰的分布

在哪一个点取到它的最大值

在X等于μ的这个点取到它的最大值

也就是说在平均数这个地方

它出现的概率是最大的

越偏离平均数它出现的概率是越来越小

也就是说这样的一个分布的形态

随着X的取值远离平均值

它的概率在变小

无限的接近于X轴

但是不会相交

这是我们说一个特点

另外在正态分布的曲线里面

我们说对于它的弯曲的程度

它有两个拐点

它的拐点的位置在偏离均值

一个标准差的地方是它的拐点

那么我们说拐点它的弯曲的方向会发生变化

这是我们说正态分布的它的一个分布的形态

和它分布形态的这样的一个特点

对于正态分布而言的话

那么我们说正态分布里面它的概率密度函数

由两个参数来确定

一个参数我们说是这个μ了

一个参数是σ

μ我们说是描述它的均值的

我们又把它叫做位置参数

我这个地方所画的这三个图

它的位置左右的位置不一样

那么我们说描述了它的均值不一样

μ叫做它的一个位置参数

σ我们又把它叫做一个形状参数

它是描述它的一个离散程度的大小的

那么我们说这个是均值相同

但是σ不同

也就离散程度不同的几个正态分布了

那么我们说从这一点上我们也知道正态分布

就是由它的均值和标准差

唯一确定了的这样的一个分布

那么正态分布它指的是一族分布

而不是一个分布

μ不一样

或者说是标准差不一样

它的分布的形态就会不一样

那么我们说这是正态分布

我们要了解到它的两个特点

也就是说它里面最重要的就是两个参数

一个是它的均值

一个是它的标准差

那么决定这个曲线位置和形态的关键的

就是这两个参数平均数和标准差

那么我们说标准差大就描述它的分布

是比较低扩的

如果标准差小的话就描述它的数据是比较集中的

而平均值描述了它的这样的一个位置

所以我们说对于正态分布来讲的话

我们要了解的有多少种不同的

μ和σ的组合

就有多少种不同的这样的一个正态的曲线

但是在这里面有一个特殊的曲线

那么我们说如果有一个曲线

它的均值是等于0的

标准差σ是等于1的

我们就把它叫做标准正态曲线了

后面我们还会讲到说有这么多的正态的分布

那么我们说对正态分布里面的概率的话

它怎么来计算

那么我们说在正态分布里面

我们如果想要确定它的概率值的话

也就是对于一个连续型的随机变量

它的概率如何来计算了

比如说我们要计算X

落到a和b区间里面的概率

那么我们说实际上就是它的概率密度函数f(x)

在这个区间里面求积分了

也就是说这个曲线下的这一块

在ab区间里面的面积就描述了它的

概率的大小

在任意的一个正态分布里面

那么我们说X落到ab区间里面

只要我们知道了μ和σ

这个正态分布的曲线就确定了

也就是f(x)就确定了

我们就可以通过求积分来计算出来它的概率

虽然说起来容易

但是实际上真正要去计算它的概率的话

并不是特别容易的一件事情

那么我们说通常来讲

这个也是我们前面讲过的一个结论了

说在正态分布下

那么我们说一定的标准差里面它都和概率

有一个固定的这样一个值

说对于一个均值是μ

标准差是σ的正态分布

它落在正负一个标准差里面的概率是68.3%

落在正负两个标准差的概率95.4%

落在正负三个标准差的概率99.7%

我们在前面讲过极端值的选择的时候

实际上是用过这样的一个结论的

所以这几个概率我也是希望大家能够记住

它就描述了在这个分布里面的话

你的数据落到某一个范围里面的

一个概率的大小

所以我们说有几个比较特殊的这样的一些值了

正负一个标准差 正负两个标准差

正负三个标准差这样的一些值

那么除了这几个重要的值以外

通常在正态分布里面

还有一些我们要特别关注的

比如说我们经常会说90%的样本

都落在哪一个范围里面呢

90%的样本都是落在

正负1.645个标准差这样的一个范围里面的

然后我们经常会说

95%的可能它会落在哪一个里面呢

正负1.96个标准差里面包含了95%的样本

那么99%说正负2.58个标准差

包含了它99%的样本

这个在后面的我们的推断统计里面

我们都会用到这样的一些数值

当然了这些数值也都在正态概率分布表里面

是可以查表得到

或者说通过求积分能够算出来的

但是这个值因为它特别常用

所以我们经常也是建议大家能够记住这几个

比较特殊的值

这是我们刚才说到了正态分布里面

它的一些特殊的这样的一些值

那么我们刚才说到正态分布的时候我们就知道说

μ不一样

σ不一样

我们要求ab这个区间里面的面积的话

或者我们要求X落到ab这个区间里面的

概率的话

我们都要通过去求积分了

相当于你的每一个变化都要求积分

有没有一个简单的方法呢

那么我们说标准正态分布

是特别关键的这样一个分布

刚才前面我们说了 说μ和σ不同

分布的形态就不一样

我们要计算的时候

我们能不能把它转换到

一个相同的这样的一个尺度上了

我们前面讲过Z分数的这样一个转换了

我们知道Z分数的这样一个转换

它是可以把任意的一个所有的不同的东西

我都转换到一个标准化的这样的一个单位上的

怎么样的转换呢

比如说那么我们说我有一个X变量了

它是服从正态分布的

均值是μ标准差是σ

那么我们就可以对它做一个Z分数的转换

也就是把X转化为Z 那么X转化为Z怎么转换

就是减去它的均值μ

再除以它的标准差σ了

这样的话那么我们说我们就可以去做一个转换

通过这样的转换

我们就把X落在X1和X2之间的概率

转换为了Z落到这样的一个范围里面的概率

如果说我能够知道标准正态分布里面

它在哪一个范围里面这个概率的话

理论上来讲我就能够知道

任意的一个正态分布里面的

所以说这一步的转换对于我们今天

是特别重要的一个部分的内容

你要了解的就是任何一个正态分布

都可以通过一个Z分数的转换

转换为一个标准正态分布

那么根据刚才我们说任意的一个正态分布里面

正负1个标准差

相当于就是Z的值落在正负1之间

正负2个标准差

相当于在标准正态分布里面Z落在正负2之间

那么我们说正负3个标准差就意味着Z分数

是落在负3和3之间

它们之间就有了这样的一个对应的关系

所以这一步我们知道任意的一个正态分布

通过Z分数的转换

转换成了均值是0

标准差是1的一个标准正态分布

那么我们可以根据标准正态分布

来解决正态分布里面的概率计算的问题

我们来看一个正态分布的一个应用

一般来讲我们说考试成绩它会服从正态分布

假如说在一次公务员的资格考试里面

我们平均分是60

标准差是10

假如说这一次考试是服从正态分布

我们就知道它现在服从的μ等于60

σ等于10的一个正态分布

所以一个学生考了75分

那么你怎么来看待这个分数呢

所以我们知道这是一个原始的75分了

也就是说你怎么来解释这个分数

那么前面我们通过Z分数的部分

我们就知道Z分数

它是可以来描述它的一个相对的位置的

所以我们来解释75分的话

我们可以来看看75分呢

在它群体里面是一个什么样的位置

我们可以首先把原始分数转化为标准分数

那么75分了所得到的标准分数是1.5

那么这个1.5意味着什么

我们就可以查标准正态分布表

来看一下1.5以上的概率有多少

这个是可以查表得到的

一会我会告诉大家这个表怎么查

P大于1.5的概率0.06681

所以我们就知道说呢

比他考生成绩高的大概有多少人

不到7%的人的分数会比他高了

所以你现在这就是你对于75分的

这样的一个理解

所以我们说我们想要知道某一个分数

它在里面的这个位置的话

我们可以通过求Z分数

然后再去查正态分布表

来知道分数以上或者分数以下

或者说它落到某一个区间里面的概率的大小

所以这一步就有一个重点

就说我们可以把任意的一个正态分布

转换成标准正态分布

那么我们可以在标准正态分布里面去查表

求到这样的一个概率值

从而解决正态分布里面概率的计算的问题

我们来看一下标准正态分布的

它的一个正态分布表

这是常见的一个正态分布的一个表了

那么我们说这边给出来的是一个正态分布

在这个里面给出来一个Z的值

Z的值就使标准正态分布

或者说是一个原始分数转换来的

标准分数的这样的一个值

那么我们知道它一定要服从的是一个正态分布

也就是横轴上的这个Z

这是我们说Z有一列值

在这个表里面还有Y和P的值

Y指的是什么呢

Y指的是纵轴的高度

指的是纵轴的高度

那么P指的是阴影部分的面积

也就是说这个部分的概率

所以在正态分布图里面的话

它给出来的就是说

这个数值它落在哪一个范围里面

它落在零和Z之间的概率

也就是说我们通过P的值是能够得到了

Z大于零小于Z0的这样一个概率

我们举个例子来看

比如说我们找Z等于0.3这一个点

这是Z等于0.3

那么0到0.3之间的概率是多少

我们就可以得到这个是0.11791

也就是说在标准正态分布里面

值落在0到0.3之间的概率是0.11791

这我们就可以直接查表得到

但是有时候你会说

你说我不想知道零到Z之间的概率

我想知道它大于Z的概率

也就是说我想要知道的是

Z大于某一个数值的这样一个概率

那么我们知道在正态分布里面

曲线下的面积是等于1的

整个是等于1的

那么正态分布又是一个对称的分布了

我们知道大于零的概率是0.5

你知道了零到Z之间的你就应该能够求出来

大于Z的

那么我们知道是0.5减去它就可以了

比如说我想要知道Z大于0.3的概率是多少

那么Z大于0.3的概率

你知道了0到0.3的概率是0.11791

那么大于0.3的概率就应该是

0.5减去这一个0.11791

这是这样的

那么我们说你说如果说在这个地方

我想要知道的是这一个点

这一个点假如说是负1

我想要知道Z大于负1的概率是多少

那么我们可以看一下

大于负1的概率实际上就是0到负1之间

能不能求出来

那么因为它是对称的

那么0到负1之间就相当于是0到1之间的概率

所以0到负1之间的概率应该在这个表里面

是能够查出来的

然后这一边大于零的是多少是0.5

所以我们说如果你想要查Z大于负1的概率

你就把它转换为大于负1小于零的概率

再加上0.5

那么负1到0之间的概率

根据它的对称性

它又等于0到1之间的概率

那么这个概率在这个表里面是可以直接查出来

今天下去以后

大家要特别熟练的掌握

正态分布表的这样的一个使用

那我刚才告诉大家的都是从Z的值

去找P的值

通常有时候我们还会根据P的值

再返回去找Z的值

道理是一样的

那么我们说要明白你知道的是

哪一个区间里面的概率

这是比较重要的

这是我们说到的标准正态分布表的

这样的一个使用

那么我们把这一节课的内容总结一下

这一节课首先我们就讲到了什么是正态分布

也说到了正态分布曲线的它的一些特点

我们还说到了为了计算正态分布表里面的

这样的一系列的概率的话

我们说我们需要把正态分布转换成

一个标准正态分布

我们就讲到了均值是0

标准差是1的这样的一个标准正态分布

最后我们还讲到了标准正态分布表的一个使用

这是我们这一节课的内容

好谢谢大家