当前课程知识点：心理统计 > 18 回归与预测 > 18.3 线性回归的基本假设 > 18.3 线性回归的基本假设
同学们你们好
今天我们继续学习回归与预测这一章中的
线性回归的基本假设这一节
这一节的内容主要是有关我们的数据
要满足什么样的形式
我们才能够进行线性回归的分析
我们来看一下我们的数据的形式
这张图呢我们以前见过
横轴呢是X纵轴呢是Y
对于给定的X的取值
比如说X1
Y呢有不同的取值
它的纵轴代表的是Y的分布的密度
那么在这个中点
Y呢有最大的密度
也就是说Y有最大的取值
对于第二个比如说一个X的取值
Y呢也是有不同的取值
那么它的均值呢也是有最大的密度
同理这是当X等于Xn的时候
这是Y的均值
也就是它的期望
我们说当X给定的时候
Y的期望在这一条直线上的时候
我们叫这条直线是总体回归直线
只有满足这样的形式
我们才能够去做回归分析
同时我们还有一个要求
就是这些小分布
也就是Y的取值的分布是等方差的
也就是相同的方差
我们在方差分析里边其实学到了这一部分
它叫方差齐性
也就是说在X的不同水平上
Y呢有等方差的分布
这里呢X就是给定的X
只是相对于方差分析来说
X呢有更多的取值
我们的总体回归直线呢可以这样来表达
那么这个期望就是指的这些中心点
在这条直线上的点
那么对于X等于X1的时候的Y的取值不一定
都是这个中心点
它可能有其它的取值
那么这些其它的取值该如何表示呢
我们以前也看过
就是Yi等于这是它的期望
也就是这个中心点
那么这些值要加上谁呢
加上εi
这个部分呢我们说就是Y的预测值
也就是能够有X所预测的部分
剩下的部分就是εi
那么我们来看一下
这个εi的性质是什么样子的
我们说当Y的取值呢有相同的方差的时候
我们才能够进行回归分析
这也就意味着它的残差项εi
实际上也是具有等方差的
它的方差叫σ平方 和Y的方差是一样的
你可以考虑一下为什么εi的方差
和Y的方差是一样的呢
我们看Yi
我们给定的任何一个Xi
比如说给定的一个值X1
那么Yi呢来说
这个数相当于一个常数
就是B0+B1Xi
这是给定的一个X
就是这个X那么这个Yi
它是有一个常数
加上这个是一个变量来构成的
所以εi这个变量
和Yi这个变量是一样的方差
也就是一样的变异
也就是说这些εi的方差也是这样的
也是这个σ平方
那么我们具体来看一下它的前提条件
也就是叫基本假设
也就是当数据满足这样的前提条件的时候
我们才能够做回归分析
我们说这是回归方程一元线性回归方程
那么我们的第一个前提条件
是εi呢是正态分布
εi和Yi呢
大家可以看到除了均值不同
它的方差是相同的
分布形状是一样的
那么也是正态分布
这也就意味着因变量Y
也是正态分布它的基本要求
也就是εi服从正态分布
Y呢也要服从正态分布
第二个呢对于每一个Xi
εi的残差项的这个期望值为零
为零
我们可以说Yi的
我们说yi的期望值是谁呢
Yi的期望值等于B0
加上B1Xi 对吧
我们总体的回归直线表达式是这样子的
那么Yi呢等于这个式子加上εi
好 那么这个部分呢
它其实是等于
等于这个值的
好
那么我们说那它的整个的
从这个式子上它的期望是谁呢
是不是等于这个式子加上εi啊
这两个式子你看是一样的
所以它呢为零
为零
也就残差项的均值为零
同时第三个条件我们看一下
等方差性也叫方差齐性
也就是说每组的残差项的方差要相等
综合以上我们说εi服从正态分布
均值为零
方差是σ平方
Yi呢也是服从正态分布
只是它的期望是这样的
也就是它的期望可以有Xi来预测
在那条总体回归直线上
它的方差是σ平方
这两个呢是一样的
我们再来理解一下方差齐性
看一下
这就方差齐性
我们要求每一个小的正态分布的方差是相同的
这就是随着X的增大
你看Y的均值在上升
但是它们的方差是一样的
我们看一下这个
方差还一样吗
是不是逐渐在增大
那什么时候我们会遇到这种情况呢
比如说我们想看一下人群当中
随着他的年龄的增长
他们的收入是不是在增加
比如说你刚大学毕业
你的收入会比较少
你工作十年以后呢
你的收入会增加
20年以后也会增加
我们一直考虑到退休前
我们基本上会有一个趋势
就是随着年龄的增长
收入在增加
那么我们能否建立年龄和收入的回归方程呢
不可以
为什么大家可以想
这里呢比如说是你们的大学刚毕业的时候
大家刚大学毕业的时候
你们的收入差异是比较小的
尤其同专业的
你们收入基本上是一个水平
差不了太多
所以你们的变异很小
但是当你们工作20年以后
你们的职位会有不同的变化
有的人可能就做到上市的老板
有的人可能还是基本的员工
那么你们的收入的差异就非常大了
那么在这种情况下
我们就说它不满足方差齐性的假设
像这样的数据是不能够做回归分析的
好
我们再来看第四个假设
也就是说εi和εj呢
它的协方差为零
也就是说它们是相互独立的
我们说有一个一个的ε
在给定的X不同的情况下
ε是有不同的变量
这意味着什么呢
比如说上一节我们讲了
家庭收入和娱乐支出的关系
那么家庭收入是900的时候
那么这些人的娱乐支出
不受那些家庭收入是800的时候
那些人的娱乐支出的影响
也就是说它们数据与数据之间
家庭与家庭之间都是没有关联的
好
第5个呢也就是残差值与X也不相关
我们的残差是什么样子
和我们的X的取值是没有关系的
好
这是一元回归的假设
我们看一下这一章的小结
我们说它的前提
就是我们什么样的数据能够做回归分析
第一个自变量X跟Y
一定得成线性关系
如果是曲线关系
我们是不能够计算线性回归方程的
还有一个就是Y呢是随机变量
它的分布呢依赖于X的取值
为什么说依赖于X取值
主要是它的期望也叫均值
是由X来预测的
而且它要服从正态分布
第三个就是所有残差ε的方差是相同的
也叫方差齐性
还有一个就是误差之间
误差与X之间是相互独立的
样本之间的这些个体没有相互关联
好
这一节我们讲完了
感谢大家收看
-1.1 统计学的意义
-1.2 心理统计简介
-1.3 基本概念介绍1
-1.4 基本概念介绍2
-1.4 基本概念介绍2--作业
-1.5 研究方法
--1.5 研究方法
-2.1 统计表和统计图简介
--2.1 统计图表
-2.1 统计表和统计图简介--作业
-2.2 频数分布表
-2.2 频数分布表--作业
-2.3 频数分布图
-2.3 频数分布图--作业
-2.4 百分位数和百分等级
-2.4 百分位数和百分等级--作业
-3.1 平均数
--3.1 平均数
-3.1 平均数--作业
-3.2 中数
--3.2 中数
-3.2 中数--作业
-3.3 众数
--3.3 众数
-3.3 众数--作业
-4.1 全距和四分位距
-4.1 全距和四分位距--作业
-4.2 标准差和方差
-4.2 标准差和方差--作业
-4.3 差异系数
--4.3 差异系数
-4.3 差异系数--作业
-5.1 Z分数介绍
-5.1 Z分数介绍--作业
-5.2 Z分数的分布及转换
-5.2 Z分数的分布及转换--作业
-6.1 概率的基本概念
--6.1 概率与二项分布--作业
-6.2 概率与二项分布
-6.2 概率与二项分布--作业
-6.3 概率与正态分布
-6.3 概率与正态分布--作业
-6.4 抽样分布与推论统计
-6.4 抽样分布与推论统计--作业
-7.1 假设检验的一般原理
-7.1 假设检验的一般原理--作业
-7.2 假设检验的一般过程
-7.2 假设检验的一般过程--作业
-7.3 假设检验的不确定性和误差
-7.3 假设检验的不确定性和误差--作业
-7.4 有方向的假设与单侧检验
-7.4 有方向的假设与单侧检验--作业
-8.1 t统计量与t检验
-8.1 t统计量与t检验--作业
-8.2 单样本t检验的方法
-8.2 单样本t检验的方法--作业
-8.3 有方向的检验和单侧检验
-8.3 有方向的检验和单侧检验--作业
-9.1 独立样本t检验
-9.1 独立样本t检验--作业
-9.2 独立样本t检验的应用
-9.2 独立样本t检验的应用--作业
-10.1 相关样本t检验方法
-10.1 相关样本t检验方法--作业
-10.2 有方向的假设和单侧检验
-10.2 有方向的假设和单侧检验--作业
-11.1 效应量的测量
-11.1 效应量的测量--作业
-11.2 均值检验效应量
-11.2 均值检验效应量--作业
-11.3 统计检验力及其影响因素
-11.3 统计检验力及其影响因素--作业
-12.1 参数估计的基本内容
-12.1 参数估计的基本内容--作业
-12.2 用t统计量作参数估计
-12.2 用t统计量作参数估计--作业
-12.3 假设检验和参数估计
-12.3 假设检验和参数估计--作业
-13.1 方差分析的逻辑
-13.1 方差分析的逻辑--作业
-13.2 方差分析的计算
-13.2 方差分析的计算--作业
-14.1 完全随机单因素方差分析
-14.1 完全随机单因素方差分析--作业
-14.2 方差分析的测量效应和事后检验
-14.2 方差分析的测量效应和事后检验--作业
-15.1 重复测量单因素实验设计
-15.1 重复测量单因素实验设计--作业
-15.2 重复测量单因素方差分析的逻辑和计算
-15.2 重复测量单因素方差分析的逻辑和计算--作业
-16.1 完全随机两因素实验设计
-16.1 完全随机两因素实验设计--作业
-16.2 完全随机两因素方差分析的逻辑和计算
-16.2 完全随机两因素方差分析的逻辑和计算--作业
-16.3 简单效应检验
-16.3 简单效应检验--作业
-16.4 完全随机两因素方差分析的效应值和事后检验
-16.4 完全随机两因素方差分析的效应值和事后检验--作业
-17.1 相关概述
-17.1 相关概述--作业
-17.2.1 皮尔逊相关1
-17.2.1 皮尔逊相关1--作业
-17.2.2 皮尔逊相关2
-17.2.2 皮尔逊相关2--作业
-17.3 等级相关
-17.3 等级相关--作业
-17.4 点二列相关和二列相关
-17.4 点二列相关和二列相关--作业
-17.5 φ相关
--17.5 φ相关
-17.5 φ相关--作业
-18.1 简单线性回归
-18.1 简单线性回归--作业
-18.2 回归模型和回归系数
-18.2 回归模型和回归系数--作业
-18.3 线性回归的基本假设
-18.3 线性回归的基本假设--作业
-18.4 变异的分解
-18.4 变异的分解--作业
-18.5 回归方程的估计标准误
-18.5 回归方程的估计标准误--作业
-18.6 回归方差的有效性检验
-18.6 回归方差的有效性检验--作业
-19.1 二项检验
-19.1 二项检验--作业
-19.2 卡方检验
-19.2 卡方检验--作业
-19.3 四格表及列联表
-19.3 四格表及列联表--作业
-20.1 非参数检验概述
-20.1 非参数检验概述--作业
-20.2 单样本非参数检验
-20.2 单样本非参数检验--作业
-20.3 两独立样本非参数检验
-20.3 两独立样本非参数检验--作业
-20.4 多个独立样本非参数检验
-20.4 多个独立样本非参数检验--作业
-20.5 两个配对样本非参数检验
-20.5 两个配对样本非参数检验--作业
-20.6 多配对样本的非参数检验
-20.6 多配对样本的非参数检验--作业
