6.1 概率的基本概念在线视频

大家好

今天我们学习有关概率和抽样分布的相关知识

首先今天我们先来看概率的基本的概念

在这一个部分我们将学到概率

它的一些基本的概念

基本的事件以及概率运算的基本的性质

那么在概率的基本概念部分

我们主要介绍随机现象随机事件

以及概率的定义和概率运算的基本的法则

首先在讲到概率之前

我们要来看一看什么是随机现象和随机事件

随机现象从它的字面意思来理解

它是和确定的现象对应起来的

确定现象指的就是说在一定的条件下

完全可以预言一定的结果一定会出现

或者说一定不出现

如果说一个事情一定会出现

我们又把它叫做必然事件

如果说一个事情一定不会出现

我们又把它叫做不可能的现象

或者说叫做不可能的事件

这是确定的现象

那么我们说随机的现象对应起来

它所讲的是在一定的条件下

可能出现这样的结果

也可能出现那样的结果

而且在这个实验之前

我们是没有办法判断会出现哪一种结果的

这样的现象我们把它叫做随机现象

那么随机现象是我们概率所描述的

一个主要的对象

把这个随机现象用一个事件的形式来表示

我们就把它叫做随机事件了

也就是说随机现象中出现了各种可能的结果

我们把它叫做随机事件

比如说我们经常会说到的

说我投掷一个均匀的硬币

那么这个硬币它有可能正面向上

也有可能正面向下

那么正面向上这是一个随机现象的结果了

正面向下也是一个随机现象的结果

所以我们就可以把正面向上

称作是一个随机事件

把正面向下也称作是一个随机事件

再比如说我们在抽样的时候

我们经常会说我从全体的考生中

任意地抽取一个学生

那么我们知道在我抽取之前

我知道有可能的结果就是学生的成绩

高于录取线

也有可能正好等于录取线也有可能低于录取线

这三种可能都有可能出现

但是在我没有抽取之前

其实我不知道会是什么样的结果了

那么我们说它有三种可能的结果

那么这三种可能的结果

我们就把它叫做是随机事件

对于随机事件来讲

通常我们就会用这些大写的字母ABC来表示

这个随机的事件

这是我们讲到的第一组概念

随机现象和随机事件

对于随机现象和随机事件

我们虽然没有办法知道它会出现什么样的结果

但是我们往往希望去描述

它出现的可能性有多大这样的一件事情

所以我们概率就是用来描述随机事件

发生可能性大小的这样的一个指标

那么我们下面就会讲到概率的定义

但是我们知道说在一次实验中

不同的事件它发生的可能性有可能是相等的

也有可能是不相等的

比如说我们刚才所说的投掷硬币的事件

事件A我们把它记为正面向上

事件B把它记为正面向下

我们说事件A和事件B发生的可能性都是0.5

这个0.5其实就是一个概率了

但是也有可能不一样

比如说我们从某一个班级

这个班里面是有30名男生和18名女生组成

随机的抽取一个人

那么我们说抽到男生

我们把它记为事件A

抽到女士记为事件B

那么我们知道因为这个班里面男生和女生的

人数不一样了

所以我们知道抽取到的也就是说

事件A发生的这种可能性

和事件B发生的可能性有可能是不相等的

那么我们说概率是什么

概率就是要描述它们可能性的大小的一个指标

我们给它下一个定义是什么是概率呢

概率就是用来反映随机事件

所以我们知道这个地方一个重点说

它反映的是一个随机事件了

在实验中发生的可能性大小的一个

数量化的指标

也就我们会用一个数值去描述描述什么

描述这个随机事件它出现的可能性

这就是概率的定义

那么我们说从它的定义来讲很容易理解了

但是真正的要计算出来一个随机事件的概率

往往并没有那么简单

通常来讲我们会有两个角度去计算它

一个就是它的先验概率

另外一个是它的经验的概率

先验概率我们也可以把它称作是

概率的古典概型下的概率的定义

那么我们说经验概率也可以把它称作是

概率的一个统计上的定义

那么下面我们就主要来介绍这两种概率的定义

首先我们来看概率的古典定义

我们又把它叫做先验概率

也就是说这种情况下

我们在不做实验之前

我们是能够知道它的概率的

古典概率它指的是什么呢

说在一次实验就是说在这个实验里面

所有可能出现的基本事件是有限的

也就是说我做一个随机的实验

它有可能有很多种不同的结果

那么我们说但是我知道

所有的基本事件个数是有限的

并且每一个基本的事件出现的可能性

也是相等的

那么如果说对于一个随机事件A来讲

A里面包含了m个基本的事件

那么A的概率就是m除以n

它就是说符合事件A的基本事件的数目

除以所有可能的基本事件的总数

我们就得到了这个事件A的概率

也就是说它就是m除以n这就是一个概率的

先验的定义

我们也把它叫做古典的定义

所以在这个里面它有一个重点

它是要求所有可能出现的基本事件个数是有限

所以说首先要判断的就是到底有多少种

可能的基本事件

这是一个重点

另外的一个重点就是你所关心的随机事件

A里面的话它包含有多少个基本的事件

如果这两个东西都能知道的话

那么我们就可以算出来它的概率

那么我们再来看一个例子说我投掷一个色子

那么这个色子它最后我们说投掷出来的

我们得到的点数是偶数的概率有多大

那么我们知道一个色子它是有六个面了

我们所有可能的结果就是123456了

也就你所有可能得到的基本的事件个数

就是只有六个

我们现在所关心的这个事件是说

它出现的是偶数

那么我们说

在所有的可能的结果里面偶数有多少个

就是我们计算概率的一个重点了

出现的事件A它是偶数就表示它出现两点四点

或者是六点

所以说符合这个事件的总共是有三个

所以我们的m是等于3的

因此我们就可以计算出来我所关心的这个事件

它的概率就是多少

那么我们说是m等于3

然后n等于6

我们可以算出来

得到偶数的概率是1/2

我们就可以利用古典概型的定义直接得出来

偶数的概率是多少

这是我们说到的这样的一个古典概型

那么我们说古典概型

它实际上是有一些限定的条件的

比如说基本的事件的个数

基本事件出现的概率相等等等这样的一些条件

在实际中不是所有的都可以转化为它的古典概型

那么第二个我们来看一下概率的统计定义

对于概率的统计定义

又把它叫做是一个经验的定义了

它主要是说在很多的情况下

概率它并不能通过古典的定义或者古典概型下

来确定出来

比如说我们经常会关心的说青少年的犯罪率

一个新药它投入使用以后

它的有效性等等这样的一些问题

我们就没有办法通过古典定义来得到

那么我们说这一类现象它主要

就是不确定的因素很多

它不满足基本事件的个数是有限的

也不满足每一个基本事件发生的可能性是相等的

这样的古典定义的一些先验的条件

所以我们就要用到它的统计的定义

统计的定义它指的是什么

首先就说我不知道它的概率是多少

但是我可以重复的去做很多次的实验

它就是说我在一系列的实验里面

我做了多少次实验

假如说我做了n次实验

那么我关心的一个随机事件

假如说在这n次实验里面它出现了m次

我们实际上就可以算出来一个

你所关心的随机事件它出现的频率是多少

那么它出现的频率就是m除以n的

我们知道这是一个频率

说在不变的条件下

我重复进行n次的实验

这个事件A发生的频率它会随着n的增大

也就是我实验次数n的增大呢

它会趋于一个稳定的值

那么所区域的稳定的值

我们就把它叫做事件A的概率了

因此我们是用一个频率来去估计这个概率的

什么情况下我们要求n要无限的大

也就是说概率的统计定义

它指的是频率的一个极限值

n趋于无穷大的时候

那么我们说随机事件A出现的频率的极限

就是它的概率

这是我们说统计上的定义

根据它的统计上的定义

我们可以去算它

但是我们知道我们需要n趋无穷大

在实际中n可能就没有办法让它数无穷大了

因此我们说频率其实是作为概率的一个估计值

我们再来看一个例子

那么我们说过一个投掷色子的例子

假如说我投掷出来的点数正好是一的概率

那么从古典定义上我们就知道

它的概率其实是1/6了

那么我们说这是一个先验的概率了

我们可以通过古典概型就能够得到

但如果说从统计上的定义是什么

它就说你去做一些实验了

你投掷多次投掷很多次

那么我们现在我们是投掷了60次

我来记录下来它的点数出现的这样的一个次数

那么我们说统计上的定义指的是什么

我得到的11/60其实是一个频率了

那么我们说n趋于无穷大的时候

它会稳定在某一个数值

那么我们会用这个频率

来作为概率的一个估计值了

那么你估计的准确还是不准确

就会依赖于你n的大小

n越大那么它就越接近于真实的概率

如果n比较小的话

那么频率只能是概率的一个估计值

可能偏差就越大

这个我们是所得到的一个经验的概率

当然我们可以在这个地方看到了说

我这两个值不一样

那么我们说古典概型也就是先验概率

真正的得到的是它的概率

但是在实际中通过实验的频率所得到的

只能是概率的一个估计值

那么我们通过刚才前面的定义

我们知道如果要真正的是概率的话

n要趋于无穷大

这个地方我们为什么会有差异

是因为我们的n只有60次

我们使用频率作为概率的一个估计值的

我们也能够理解经验概率

它在实际中的一个局限性了

这是我们说到的概率它的一些定义

那么我们再来看一下经验的概率

它实际上就是说这个事件A的经验概率就是在

n趋无穷大的时候

事件A出现的次数除以总的次数

也就是频率的这样的一个极限值

说随机事件在一次实验中是否发生

虽然我们不能事先确定

但是我们在大量的重复试验的情况下

我们可以发现它的一些规律

这也就是我们研究概率的意义所在

这是一个很有名的历史上的一个实验了

历史上就有很多人做过投掷硬币的

这样的一个实验

那么我们说这个地方最左侧

列出来的就是它投资的次数

然后中间是正面向上的次数

那么我们知道我们第三列算出来的是一个频率

我们可以看到随着次数的增加

频率越来越接近于0.5

那么我们说这是我们通过这样的一个例子

告诉大家统计上关于这个概率的定义

它指的是什么

那么我们说它其实指的是一个极限值了

但在实际中我们可能往往没有办法

让实验的次数n取到无穷大

所以实际中我们所得到的概率的估计值

有可能和它真实的概率

有一点点的这样的一个误差

这是我们要清楚的

说完概率的定义以后

那么我们说根据概率的定义

我们可以去计算一些随机事件的

这样发生的可能性

也就是去计算随机事件的概率

说到概率的计算通常就含有概率运算的

一些基本的法则

那么下面我们来看概率的运算的法则里面的

加法的法则

概率的加法法则它首先对于两个事件AB

有一个限定

它说如果说A和B是不可能同时发生的

这样的一个事件

在概率上我们又把它叫做是一个互斥的事件

也就是说A出现

那么我们说B就一定不出现

B出现AA就一定不出现

那么我们说加法定理描述的是什么

描述的是A并B也就是说A和B里面

至少有一个出现的概率是什么

就是AA出现的概率和B出现的概率的和

这个我们把它叫做加法定理

那么在这个里面其实就是有一个

不可能同时发生

当然了对于加法定理

在它有可能同时发生的时候

概率里面也有计算的方法

我们这个地方只介绍这样的一个简单的公式

我们来看一个例子

说从52张扑克牌里面52张扑克牌

我们知道它是有四个花色了

有13个数字所组成的这样的一个52张的牌

我们说随机的抽到黑桃圈的这样的一个概率

那么我们说1/52

我们从古典概率我们就可以得到52里面

只有一张牌是满足这个条件的

所以概率是1/52

然后说抽到是红桃的概率

那么红糖是四种颜色里面的其中的一种

所以它的概率是1/4

所以我们说我们知道它概率

我们问说抽到一套圈或者是

红心的这样的一个概率是多大

那么我们说两个事件

一个随机事件A所抽到的是黑桃圈

另外的一个随机事件收到的是红桃

这两个事件之间是一个相互排斥的

这样的一个事件

所以我们说它或者它发生也就这两个事件里面

至少有一个发生的概率

就是这两个事件发生的概率的和

也就是是1/52+1/4

这是我们说概率的这样的一个加法定理

那么另外一个我们再来看一下概率的乘法定理

乘法定理它要求描述这两个事件

是互不产生影响的

我们又把它叫做相互独立的事件

什么意思

也就是说有两个事件

随机事件A随机事件B这两个事件

A出现不出现和B没有关系

B出现不出现和A没有关系

举一个例子

假如说有两道4选一的选择题

那么我们说我凭猜测去做这两道题

第一题A事件A做对

那么我们说第一题做对的概率是1/4了

猜对的概率是1/4了

第二题猜对的概率也是1/4

那么我们说第一题你如果全凭猜测的话

我第一题对不对和第二题对不对

其实之间是一个相互独立的这样的一个关系

那么我们说如果说A和B

它是一个相互独立的事件

乘法定理描述的是什么

描述的是A交B

也就是说A和B同时出现的概率

那么A和B同时出现的概率就是A出现的概率

乘以B出现的概率

这是我们所说的乘法定理

对于乘法定理来讲的话

我们也可以看一个例子

来看一下它的一个实际应用

假如说一个毕业生给三家单位

各发了一封求职信

被拒绝的概率分别是1/2 2/3 3/4

那么我们的问题是说

如果说这个学生他最后

是这三个都没有接受他

也就都被拒绝了的概率是多少

那么我们说这三家单位

我们可以把它看成拒绝不拒绝他

它实际上是一个相互独立的世界

所以我们说他一个工作都没有找到的概率

就是1/2×2/3×3/4得到的这样的一个

那么我们说独立事件

或者说在独立事件假设下概率的乘法定理

实际上经常在我们的日常生活中会遇到

会用这样的一个乘法定律来解决我们的概率的

计算的相关的问题

这是我们所说的概率的乘法定理

刚才所说到的加法定理和乘法定理

我们都有一个应用的前提

注意加法定理里面我们就说到了它的一个

互不相容的这样的一个问题

然后那么在乘法定理里面

A和B要求它们之间是一个相互独立的

这样的一个事件

我们来总结一下说这一节课

我们首先讲到了两个基本的概念

随机现象和随机事件

然后我们就讲到了概率的定义

也就是概率

它是用来描述随机事件出现可能性大小的

对于概率的定义

我们讲到了它的古典定义和它统计上的定义

最后对于概率的计算

我们还讲到了两个法则

一个是加法法则

一个是乘法法则

这就是我们这一节课的内容

好谢谢大家