4.5.3 Long-term trend determination: equation method 长期趋势测定：方程法在线视频

好 那我们现在进入这个第七讲内容
Well, now let's start Lecture 7

长期趋势测度之方程法
equation method for measurement of secular trend

在第六讲中我们提到
In Lecture 6 we have mentioned that

对于长期趋势这样一个因素的话
the smoothing method

我们选择通过修匀法
can be used for secular trend

那这是比较简单的一种方式
It is a simple method

如果说我们要根据这个
What if we want to establish

时间数列的一个数值特征
an appropriate trend equation

或者说数据特征
based on the numerical features

来建立一个合适这个趋势方程
or features of the data of a time series

来描述这个时间数列的
so as to

一个趋势变动的话
show its trend

那这样子的话
By doing so

不仅能对历史数据进行一个分析
not only can we analyze the historical data

找到它的这个趋势
but also map the trend

并且它更进一步能推算出
Moreover, we are able to

接下来的未来的一些时期内的
further figure out the trend value

一个趋势值
in the next periods

那这样子的话
In this way

通过方程法的话
With equation method

它能比修匀法更进一步的
we can further predict the secular trend

做一个长期趋势的预测
than we do with smoothing method

所以我们看看这种方程法
So, let's see

如何来建立
how to apply the equation method

然后来得到未来的一个趋势值
and get a future trend value

首先我们看到
First of all

我们要去建立这个趋势方程的话
if we are to establish a trend equation

首先我们要选择合适的模型
we shall first select the appropriate model

那选择合适模型时候怎么做呢
How to select the right model

我们说很多方法
There are many methods

比如说直接观察法
such as the direct observation method

前面我们有提到
As mentioned earlier

在这个修匀法中有提到说
in the smoothing method

我来做一个散点图
we can make a scatter diagram

来简单看看
and see

它这个趋势是什么样一个趋势
what kind of trend it is

可能选择直线方程
and whether to establish a linear equation

还是这个曲线方程
or a curve equation

另外一种方法叫增长特征值法
Another method is called the growth eigenvalue method

那我们说也是通过
We say it is by

这个增长的一个特征的一个分析
analyzing the traits of growth

来看看
to decide

我们究竟应该选择什么样一个模型
which type of model to be established

那我们看到
We see

对于这个常见趋势方程的话
there are several types of

主要有以下几种类型
common trend equations

第一个类型的话
The first type

我比较的多的这个学习的过程中
is a more common

比较多的基础性的
and basic one

就是我们提到这个线性趋势方程
It is the linear trend equation

那我们说线性趋势方程
What are the characteristics

它的一个特征是什么呢
of the linear trend equation

逐期增长量
It is that the growths by period

它大致是相等的
are roughly the same

一般我们用（公式如上）
Generally, we use the equation (formula as the above)

来进行展示
to show this

那我们在这个方程中的话
The main function

最主要的内容
of the equation

就是来求到这个a和b的这个数值大小
is to figure out the values of a and b

第二种方程是什么呢
The second type of equation

二次曲线趋势方程
is the quadratic curve equation

那我们看到第三种方程是什么呢
and the third type is what

指数曲线方程
it is the exponential curve equation

二次曲线方程
The general form

它这个一般形式是
of the quadratic curve equation is

（公式如上）
(formula as the above)

那在这个方程中我们发现
In this equation, we see that

我们要找的就是a的大小
we need to figure out

b的大小和c的大小
the values of a, b and c

而对于指数曲线方程的话
For the exponential curve equation

我们注意到
we notice that

它是环比速度
it grows with a ring speed

近似为一个常数
approximate to a constant

因此我们看到
So, we see that

它的这个一般表达式是
its general expression is

（公式如上）
(formula as the above)

那这里的话
Here

我们发现
We found that

根据我们在本科阶段
based on the basic mathematics

所学习到的这个数学基础的内容的话
we learned at the undergraduate study

我们发现
We find that

其实对于这三种趋势方程来讲
as for these three types of trend equations

可能我们能够在本阶段
probably, at undergraduate level

能够做解答的话
the only equation

可能就是我们提到这个
we can solve

线性趋势方程
may be the linear trend equation

当然 我们同学回去自己想想也知道
Of course

对于线性趋势方程
the linear trend equation

它相对来讲是比较简单的一种关系
reflects a relatively simple relationship

那我们说对一种简单关系来讲的话
But most of the time series

可能不能够涵盖
in real life

就是现实生活中的大部分
do not demonstrate

这个时间数列
simple relationships

但是它是一种非常典型的一种方法
Anyway, it is a very typical method

那我们现在了解一下这种方法的
Let's now take a look at

一个思路过程是什么
the idea of this method

那我们看到 在这里的话
We see

我们给了一个这个例子是
here is an example

房地产中介有关销售额的一个资料
Sales data of a real estate agency

如下所示
is shown as below

那这个时间数列
This time series

是从2009年
covers a period

一直变化到2015年的一个时间数列
from 2009 to 2015

它对应的这个经济指标
The economic indicator

是销售额的一个变化情况
reflected is the changes of the sales revenue

那我们说我们如何来通过
How to establish the relationship

这个方程法来建立它们的这个关系
using the equation method

第一步的话应该怎么办呢
What’s the first step

我们首先应该建立一个趋势方程
First, we should establish a trend equation

（公式如上）
(The formula is as the above)

那这样子的话
In this case

在这个方程中
in the equation

我们关键问题就是找到
the key point is to determine

这个a和这个b的一个大小关系
the relationship between a and b

那如何来找这个a和b的大小关系
How to figure out the relationship between a and b

我们说根据这个图形中我们发现
According to the diagram

我们把散点标注起来了
we have marked out the scatter points in the diagram

我们要找的这个
we need to find out

时间数列趋势方程的话
the trend equation for this time series

实际上就是在这个图形上找一条直线
In fact, it is to find a straight line on the diagram

这条直线与这些散点之间的
The distance between this straight line

距离为最短
and the scattered point is the shortest

那我们回到前面所学习的
Let's recall what we have learned

这个描述统计的内容中
in descriptive statistics

我们知道 在找这个距离最短的
We know that among the methods

这些方法中
to find the shortest distance

有几种方法可以选择呢
there are several methods for option

首先我们想到
First, we think of

我们可以采用离差绝对值最小
the method of minimum absolute deviation

这是一种方法 对不对
This is one method, right

还有一种方法就是我们提到的这个
There is another method that we have mentioned

在讲算术平均数中
in figuring out arithmetic mean

我有提到一种叫
which is called

离差平方和最小
minimum sum of squared deviation

那这种方法就是我们提到的这个
It is called, as we've mentioned

最小二乘法
least square method

也是我们今天在这个趋势方程中
It is also the basic method

选择的这个基本方法
we are to use in the trend equation today

使用最小二乘法
Through the least square method

得到这个（公式如上）
we get the formula (formula as the above)

等于最小值的话
If it is equivalent

这样子的话
to the minimum value

对这个方程组来进行求偏导
We’ll take the partial derivative of this system of equations

最后能得到这个a b值大小
Finally, the values of a and b will be obtained

那我们说把这个（公式如上）
Then we plug a and b into the formula

代进去 我们发现
(formula as the above)

a+bt是我们要找的a b的数值
a+bt are the values of a and b

是我们要找的
we are looking for

那这个时候的话
Here we need to

我们对q这样的一个方程
take the partial derivative of a

关于a来求偏导
for the equation of q

然后再进一步关于b来求偏导
and then get the partial derivative of b

这时候我们发现
Here through the system of simultaneous equations

联立方程组得到什么呢
the expression

得到a b的这个表达式
for a and b is obtained

就分别如ppt上所示
as shown in the PowerPoint

那我们看到 这个时候的话
Here we see that

a等于什么呢
a is equivalent to

（公式如上）
(formula as the above)

而b等于什么呢
while b is equivalent to

（公式如上）
(formula as the above)

那这个公式我们看起来
This formula looks

它有一些复杂
a bit complicated

我们把这个a展开的话
If we expand the expression for a

它其实是（公式如上）
it actually is (formula as the above)

然后把b乘以t拔展开的话
and then we expend the expression for b multiplied by bar(t)

（公式如上）

对于这样的一个方程组的话
There is actually

我们实际上还有一种
a simpler method

更简单的一个处理方式
to deal with such equations

什么处理方式呢
What method is it

我们注意到这个图形中
We see in this graph

它有一种处理方式就是
one method is that

如果说把t代入进行计算的话
if we plug t into the calculation

由于它是2009年到2015年
since it is from 2009 to 2015

我们发现这个t的数值非常之大
we see the value of t is very big

在计算过程中
so the data in the calculation

它这个数据非常大
are very large

那我们可以做一个简单的
Here we can

一个简捷计算的一个代
simplify the calculation with substitutes of t

假定那我们这个时候发现
If we assume

我把这个t假定为 什么呢
assume the values of t

假定为1一直到什么
is from 1 to what

到7的这个阿拉伯数字来进行代替
from 1 to 7

那之所以能做这样一个代替
The reason for this substitution

是跟这个时间数列的特点有关系
is related to the characteristics of the time series

它们这个时间数列的间隔都是相等
The intervals of this time series are all equal

对不对
right

所以如果我把这个2009到2015年
So if we substitute the values from the year 2009 to 2015

用这个1到7进行代替的话
with numbers from 1 to 7

我们发现会出现一个情况
We will see that

就是我们在刚刚那个方程组中
in the equation system mentioned just now

我们这个方程组的计算过程
the calculation process of this equation

就会进一步要更简捷一些
system becomes simpler

那这个时候我们看到
Then we will wonder

既然我可以把t用1到7进行代替的话
since t can be replaced with 1 to 7

是否我们还能做一个
can we make

进一步的一些变化
further changes

我们把这个t做一个假定
Let's have a group of substitutes for t

使得最后得到∑t等于0的话
so that finally ∑t = 0

是不是最后我们的公式
Isn't the final formula

变得相当之简单
quite simple

a等于多少
a is equivalent to

我们的（公式如上）
(formula as the above)

而我们的b等于多少呢
while b is equivalent to

我们的（公式如上）
(formula as the above)

这时我们看到
Here we see

如果进行简捷法假定以后
after using the shortcut calculation method

方程的计算就变得特别的简单
the calculation of the equation becomes particularly simple

那但是我们在这个假定的过程中
But in this process of assumption

你发现今天这个例子当中
you see in this example

我们这个t的话
how many values

总共是多少个数据呢
are there for t

我们数一数看
Let's count it

总共是 它是奇数项个
The number of items is odd

那这样子我们的假定过程中
So, in this process of assumption

我们注意到 你的这个t中间
we notice that as for the values for t

可以取一个点为0 对不对
we have one point with value of 0, right

然后根据0往上是-1 -2 -3
Then based on 0, the points upward take value of -1, -2 and -3

往下是1 2 3
points downward take value of 1, 2 and 3

那这样子的话
In this case

加总起来这个∑t确实等于0
it is indeed ∑t=0

好 我们简单讲了普通法
Well, we have briefly discussed the formulas and processes

和简捷计算法的计算公式与过程
of common method and shortcut method

现在我们把两种情形下的
Now let's calculate the values of a and b

a、b分别来进行计算
with the two methods separately

首先我们使用普通法来计算a、b
First, we use the common method to figure out values of a and b

对应表格中的年份t
corresponding to t in the table

我们使用原始的2009
using the original data from the year 2009

2010到2015这个数据
to 2010 and to 2015

根据这个数据计算了∑t平方
Based on these data

和∑ty的数值大小
we work out the values of ∑t squared and ∑ty

依据原始公式 我们知道
According to the original formula, we know that

公式中需要∑ty ∑t ∑y
the values of ∑ty, ∑t, ∑y and ∑t squared

以及∑t平方的数值大小
are required

把计算的这些数值代入公式中
When we plug these values into the formula

最后我们得到b等于1.72
finally, the values of b and a are obtained

而a等于-3443.21
We get b= 1.72, and a=-3443.21

那把a、b代入趋势线方程得到
Then we plug the values of a and b into the equation

（计算如上）
(formula as the above)

接下来我们对比看看
Next let's see

简捷计算法如何来进行计算
how to calculate with shortcut calculation method

首先表格中的原始t
First of all, the original t in the table

2009 2010到2015
corresponds to data for 7 years

总共这七年的数据
that is, from 2009, to 2010 and to 2015

t值 我们用-3 -2 -1 0 1 2 3
The values of t are replaced by

来进行代替
-3, -2, -1, 0, 1, 2 and 3

如此假定之后 我们发现
After making such assumptions, we find that

这个时候∑t等于0
now the value of ∑t is equal to 0

那相对应的∑t平方
Correspondingly, the values

∑ty的数值
of ∑t squared and ∑ty

也由非常大的数据变得更为简单
are simplified

由于我们假定之后
Since with the assumptions

∑t等于0
∑t=0

那这样子的普通法的原始公式
In this way, the original formula in common method

则变成了（公式如上）
becomes (formula as the above)

（公式如上）
(formula as the above)

在这个公式中所需要的这个数据
After plugging the values of

∑ty ∑t平方以及∑y
∑ty, ∑t squared and ∑y

代入公式以后
into the formula

我们最后得到
finally, we obtained

b等于1.72
b=1.72

a等于17.43
and a=17.43

因此这个时候趋势线方程变成了
so here, the trend equation becomes

（计算如上）
(calculation as the above)

对比两个趋势方程
By comparing the two trend equations

我们发现 它们的b斜率是相等的
we find that their b slopes are equal

区别在于a截距大小是不一样的
the difference is in the intercept a

这是由于在t的数值选择不同造成的
which is caused by the difference in values of t

我们把2015年的数据来进行对比
Let's make a comparison with the data in 2015

分别在两个方程式中代入
t=2015 and t=3 are respectively

t等于2015和t等于3
plugged into formulas of the two methods

最后计算得到销售额y的估计值
The estimated values of sales revenue y

都是22.59与实际值22.7有一些差距
worked out with these two methods are both 22.50, different from the actual value 22.7

我们发现普通法和简捷计算法的
We found that the results of common method

这个计算结果都是相同的
and shortcut calculation method are the same

但是简捷计算法的效率
But the shortcut calculation method

将大大的提高
is of much greater efficiency

那如果说我换一个例子
Here is another example

当这个数据时间数列的
When the number of data points in the time series

这个数据点的个数为偶数项的时候
is an even number

那如何来处理这个∑t的
how to deal with

一个简捷的这个假定呢
the simplified assumption of ∑t

那这个时候 我们看到
Here we see

这个图形上它是一个六年的
in this graph, the time series

一个时间数列的长度
cover a period of 6 years

那我们发现 这个时候∑t
Here, if ∑t

如果假定要等于0的话
is assumed to be equal to 0

我们看 我们怎么来处理
how shall we do the calculation

是不是中间所对应的那个点
Is it the data point in the middle

那个0那个点就去掉了呢
which corresponds to 0 omitted

对不对
right

那如果0那个点去掉的话
If the item corresponding to 0 is omitted

那我们来如何保证
How can we assure

我的这个假定的这个t
that the t assumed

它这个时间间隔是一样的
has equal intervals

那我们发现中间那两项的话
We'll see values for the two items in the middle

就是-1和1
are -1 and 1

再往上走的话
Going upward

我们发现-1和1之间间隔多少呢
we see what is the interval between -1 and 1

间隔是2 对不对
the interval is 2, right

那我们往上走的话
So if it goes upward

就是-1到-3然后再到-5
the values are -1, -3 and -5 in turn

而往下的话
while the values downward

就是1 3 5 对不对
are 1, 3, and 5, right

那这样也能够保证什么呢
In this way, we can assure that

保证最后∑t等于0
∑t is equal to 0

并且保证我假定的这个
and assure that

简捷计算法以后
with the shortcut calculation method

这个t的这个间隔还依然是一致的
the intervals of t are still equal

那我们要注意到
We notice that

简捷计算法导致我们最后计算过程
with shortcut calculation method

大大的简便
our calculation is simplified greatly

但是我们在预测过程中
But when we make predictions

一定要注意
we shall pay attention

如果说我的假定过程是-1 1
if the value -1 and 1 is assumed

那这个时候我们要注意
here we need pay attention that

往下走的话就是-3 -5
the values downward are -3 and -5

那如果说我们在这个例子中
In this example, if we are to predict

我要预测2016年的话
the data for 2016

我们接下来应该代用哪个数据
which value shall we use for t

我相信同学们应该马上就能反应过来
I am confident that you will

我如果是2016年数据的话
take 7 for the value of t

我马上就应该代入这个t等于7
when making the prediction

来进行计算 对不对
of the data of 2016, right

那如果说这个时候
If the number of data points in the time series

我们是一个奇数项的话
is an odd number

那我们看到我们假定
and we assume that there is

中间有个0的项的话
a middle item with value as 0

那必然就是123往下走的话
Then downward, the values are 1, 2 and 3

如果这个时候
If here

我们要考察的是2016年数据的话
we are to predict the data for 2016

那这个时候代入的
then the value to be assumed

就不是我们刚刚讲的7了
is no longer 7

就应该代入我们说的这个数据中
The value to be assumed

依次往下再间隔一位的
shall be the next one in turn

就是我们说的这个4了
that is, 4

这是我们看到这个简捷计算法
This is the shortcut calculation method

那一般而言的话
Generally speaking

我们说对于这个长期趋势
ss for the equation method

这个方程法的话
for measurement of secular trend

比较多的是使用这个简捷计算法
shortcut calculation method is more often used

这是我们看到的这个
This is all about

长期趋势这个方程法的这个讲解
equation method for secular trend