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现在我们来学习

分析寡头竞争市场竞争情况的另外两个模型

叫做Bertrand和Hotelling模型

它们都是根据经济学家的名字命名的

学习了古诺模型之后

我们知道寡头市场中的企业

可以通过产量进行竞争

但是Bertrand对古诺模型

提出了一些批评

他提出在双寡头的市场中

其实每家企业都有动机

选择一个更低的价格

如果两个企业的产品一模一样

那么低价的厂商

就会获得全部的市场

为此Bertrand设计了一个模型

用来解释生产相同产品的

双寡头企业在价格方面如何竞争

现在正式来看Bertrand模型

这个模型中还是有两家企业生产相同的产品

不同的是这两家企业都选择价格

而不再以产量来作为他们的策略

我们仍然用静态博弈的模型来看

这两家企业只互动一次

而且同时做出价格的选择

做出以下关于价格的假设

首先不论价格差多少

所有的消费者都会选择

购买更低价厂商的产品

另外如果价格是相同的

那么两家企业就会平分整个市场

用此线性需求函数来代表市场需求

首先将其表达成价格是数量的函数

当然也可以把它反过来写

即把数量表达成价格的函数

每家企业的成本函数 假定为是C

其中边际成本都为100

qi来表示企业i的产量

q1和q2的和为市场的产量Q

现在要求两家企业都选择自己的价格

而不再是产量

所以用Pi来表示企业i的价格

每一家企业都通过

选择自己最优的价格

来最大化自己的利润

现在给出Bertrand模型的结论

Bertrand模型当中的纳什均衡结果

是两家企业都选择同样的价格

而且都等于边际成本

这个例子里就等于100

那么现在来证明这个结论

就是证明纳什均衡是两家企业

选择同样的价格都等于边际成本

我们一步一步来证明该结论

先假设企业1

选择了一个价格高于边际成本的

但由于市场的需求曲线限制

厂商1的价格高于100

但不可以高于500

现在来分析企业2应该如何选择

因为企业1的价格 P1高于100

如果企业2的价格P2又高于企业1的价格

那就没有消费者去购买企业2的产品

企业2的利润就是0

企业2如果选择与企业1一样的价格

它会获得一半的市场需求

这时 可以算一下企业2的利润

就可以用π2一撇来表示

现在是这个表达式 它一定是一个正数

现在与企业1一样的价格得出的结果

比企业1更高的价格更好了

那么现在来看一下企业2

会不会选择比企业1更低的价格

假设它比企业1的价格低一点点

这个差额用ε来表示

它是一个很小的正数

企业2通过降低这样一点点的价格

就会获得全部的市场

它现在的利润就变成了这个新的表达式

在ε是很小的正数的时候

这个表达式是趋近于刚才利润表达式的2倍

一定高于刚才的利润π2一撇

所以我们现在已经证明了

只要厂商1的价格是高于边际成本的

总存在比较小的正数ε

使得厂商2会选择比厂商1的价格

正好低ε这样更低的价格

从而获得全部的市场

也最大化自己的利润

在这种情况下

企业1就得到了0的利润

根据对称性

因为企业2有这样的动机去选择

比企业1稍微低一点点的价格

企业1同样也有这样的动机

在这种情况下

它们会竞相的降低自己的价格一点点

只要都没有低过边际成本

它们会通过这种方式

获得全部的市场

其实这也说明了

任何严格高于边际成本的价格

都不可能是均衡价格

因为任何一家企业

都有一个动机去继续降低该价格

当两家企业都收取

与边际成本正好相等的价格100的时候

任何一家企业都没法通过降低

或者提高价格来使自己的利润增加

所以这也达到了纳什均衡

我们刚刚已经证明了

在Bertrand的模型中唯一的纳什均衡

就是两家企业收取完全相同的价格

而且都等于边际成本

这个分析告诉我们 在寡头市场中

企业竞争的时候选择的策略变量

是非常很重要的

在古诺模型中他们（企业）选择产量

而在Bertrand的模型中选择价格

但模型所得到的结果是截然不同的

价格竞争下

两家企业就足以使市场竞争的结果

趋近于完全竞争市场

也就是价格等于边际成本

而在古诺模型中

我们需要很大数量的企业

才能够接近这样一个结果

这样两个模型的差异

也被称为博川德悖论

在现实生活中我们应该采用哪个模型呢

这就要取决于市场现实的条件

在某些市场中

企业只能控制自己的产量

比如我们之前提到过的欧佩克这样的市场

在其他一些市场条件下呢

企业也许有能力也制定自己的价格

在更多的情况下

企业通常对自己的价格和产量

都有一定的控制力

现在我们来进一步分析一下

有没有办法可以解决Bertrand悖论

Bertrand悖论说的是需要两家企业在价格上竞争

就足以使市场上的价格

变成与边际成本一致

这种结果在现实生活中可能很少出现

想要改变这个结果

有下面一些方法

第一个方法是 引入一些动态性

比如说我们可以在企业选择价格进行竞争之前

允许企业先选择自己的生产规模或者产能

这样在选择产能之后再进行价格竞争

其实就等同于

在古诺模型中进行产量选择的情况

另外一种解决Bertrand悖论方式是

将产品进行差异化

或者说两个互相竞争的企业

他们生产的产品并不完全一样

在其中一家企业降价的时候

还会有一些消费者继续购买

另一家价格稍高但是不完全相同的产品

这就是我们下面

要给大家介绍的Hotelling模型