Video在线视频

现在来看第二种情况

让厂商自由的选择自己的位置

但是他们的价格是统一的

为了简化分析

假定他们把价格都订成1

而且没有生产成本

他们所需要做的选择是

在海滩的什么位置上

出售自己的产品

消费者的偏好仍然是愿意

去离自己最近的卖家购买

如果有某个消费者

正好处在两个卖家的中间

那消费者会以二分之一的概率

去其中的一家购买

也就是说 无差异的消费者

会平均的分配在两个卖家之间

从刚刚的分析已经看到

单位距离上的消费者人数N

并不影响任何的分析过程

所以在这里就不考虑他

假定N等于1

那两个卖家应该如何

选择自己最佳的位置呢

把卖家ｉ的位置用ｘｉ来代表

下面利用静态博弈的方法

来分析这个问题

每一个卖家现在可以选择的位置

都是0到1之间的任何一点

每个参与者都有无数个选择

我们先从简单的情况开始分析

假设卖家二选择x2等于0这个位置

那卖家一该如何选择呢

与这个情况对称的是

卖家二选择x2等于1的情况

先看ｘ2等于0的情况

这个的时候

卖家一显然会希望

选择一个0右侧的位置

这样他可以获得更多的消费者

但他又不会希望离0距离更远

因为在0和他选择位置之间的消费者

会在这两个卖家之间平均分布

所以卖家一因选择在0的右侧

但是非常接近零的位置

就可以几乎控制整个市场

在这种情况下他的利润是趋于1的

当然他也可以选择与卖家二

一模一样的0这个位置

但这样就只有一半的消费者

会购买卖家一的产品

这个时候他的利润只有1/2

所以选择与卖家二相同的0这个位置

是严格的被占优策略

现在来看第二种情况

如果卖家二选择了

在零和零点五之间的某一个位置

那么卖家一会选择哪里呢 显然

如果卖家一选择在x2左侧的某一位置

厂商二其实是控制了

x2以及x2右侧的所有市场

厂商一只获得了0到x1之间这段市场

并且可以平分ｘ1到x2之间的这段市场

这种情况下

厂商1的利润是这样的形式

厂商1会选择使他的位置

尽量接近x2的左侧

这样他的利润其实接近于x2本身

已知x2是小于0.5的

所以厂商一的利润最大不会超过0.5

他如果选择跟x2一模一样的位置

那他就可以获得市场的一半

他的利润就正好是0.5

所以x2左侧的位置

是严格被占优的选择

现在看x2右侧的位置

通过选择在x2右侧比较近的位置

厂商1可以占据大部分的市场

他的利润现在可以表达为这个形式

这种情况下他会选择

使x1从右侧接近x2

他的利润就会是接近一个对于1/2的数

我们通过上面的分析知道

当厂商二选择一个在0和0.5之间的

位置的时候

在厂商二位置左侧的位置

都是严格被占优的选择

厂商一不会选择 厂商一会选择从

厂商二的位置右侧 接近厂商二的位置

现在来看对称的一种情况

如果厂商二选择了

在0.5和1之间的某一位置

这种情况下

分析与刚才类似

厂商一的最佳选择是在厂商二的左侧

选择一个靠近厂商二的位置

刚才的分析告诉我们

当厂商二选择除了0 0.5和1

这三个位置之外的任何位置的时候

厂商1都不会选择离终点

更远的一个位置

厂商1一定会选择

在x2和0.5之间的某一个位置

而且是要靠近x2

用之前学过的剔除被占有策略的方法

当厂商二选择0 0.5和1之外的

某一位置时

所有比厂商二距离终点更远的位置

都是严格被占优策略

所以厂商一是肯定不会选取的

把这个问题缩小到一个更小的区间上

又由于这个问题的对称性

厂商一不论选择了任何一个

除了0 0.5和1之外的位置

厂商二也仍然不会选择

在产商一位置之外的任何地方

因此我们可以进一步的缩小

这问题所需要考虑的区间范围

大家已经看到刚才的分析

会使我们越来越靠近

这个线段的中点 0.5的位置

只要任何一个厂商选择的位置

不是这个中点

那么另一家厂商

就会选择更靠近中点的一个位置

通过刚才的分析利用反复

剔除严格被占优策略

我们已经发现

除了中点以外的所有其他位置

都不是纳什均衡策略

那现在来验证一下中点

是不是那纳什均衡策略呢

假设厂商2选择了中点0.5的位置

那么厂商1应该选择哪里呢

只要厂商1选择了

除了中点之外的位置

那他就一定只能获得比0.5少的利润

就是因为厂商二

通过选择中点的位置

一定会占据市场的一半或者更多

所以厂商1最佳的选择

也就是选择中点这个位置

这样它可以与厂商二平分这个市场

各自获得0.5的利润

就是他能获得的最高利润

我们已经验证了

当对手选择0.5这个位置的时候

任何一个厂商都希望选择同样的位置

所以0.5中点这个位置

确实是纳什均衡

现在已经找到Hotelling模型

在商家自由选择位置时的均衡结果

两个厂商都会选择中点

这个同样的位置来出售自己的产品

那这意味着什么呢

刚才知道厂商的位置

其实代表了他们产品之间的差异性

但是在均衡的时候

他们选择同样的位置

也就是说

他们会选择差异最小的产品设计

所以Hotelling模型可以用来解释

在消费者的偏好有一些差异的情况下

厂商为了自己的利润最大化

会主动的选择相似的产品设计方式

这点也可以用来解释

除了产品差异化之外的一些情况

比如说 在选举的时候

候选人如何选择自己政治观点的位置

在政治科学领域

有个类似的结论叫中间选民定理