周期信号的频域描述 (Fourier series)在线视频

下面我们看一下傅里叶

在我们学信号分析过程当中

傅里叶应该说

是我们经常提到的一个词

实际上傅里叶他是一名科学家

他是一名

法国的数学家和物理学家

在1807年的时候

傅里叶先生向

巴黎科学院呈交了

《热的传播》论文

推导出著名的所谓“热传导方程”

发现解函数

可以由三角函数构成的

级数形式表示

提出任一函数

都可以展成三角函数的

无穷级数

那么同时在1822年的时候

它的代表作《热的分析理论》当中

解决了热在非均匀加热的固体中

分布传播问题

那么实际上傅里叶

对19世纪的数学和物理学

它的发展产生非常深远的影响

那么同时傅里叶分析等理论

也是由此来创立的

包括像傅里叶级数

傅里叶积分

傅里叶变换

这些我们把它们统称为

傅里叶分析

接下来我们首先看一看

傅里叶级数的定义

根据法国数学家傅里叶他的发现

他说任何周期函数

都可以用正弦函数

或者是余弦函数

构成的无穷级数来表示

那么我们选择正弦函数

与余弦函数作为基函数

那么正因为正弦函数

和余弦函数是正交的

那么后边呢

我们把它称为傅里叶级数

实际上傅里叶级数在数论

组合数学

特别是在信号处理

等领域都具有广泛的应用

下面我们看看狄里赫利条件

所谓的狄里赫利条件

我们在高等数学当中

都已经提到或者学习过

那么它是指

只有在满足一定条件的时候

周期信号才能够展开成

傅里叶级数

我们把这个条件称为

狄里赫利条件

在这个当中我们一定要注意

只有是满足一定条件的时候

这个时候周期信号

才能展开成傅里叶级数

那么具体而言是什么呢

首先函数在任意有限的区间内

是连续的

或者是只有有限个

第一间断点

那么第二个条件是

在一个周期内

函数有有限个极大值

或者极小值

第三个条件是x(t)

一定是绝对可积的

也就是有极限值

是x(t)在-T0/2到T0/2

它的积分小于无穷

接下来我们要看看

周期信号是如何进行描述的

那么具体而言

我们要把周期信号进行频域的描述

那么在有限的区间上

如果一个周期信号x(t)

当它满足狄里赫利条件

那么它就可以展开成傅里叶级数

那么下面2.12式就是

一个周期信号

展开成傅里叶级数的

一个表达式

在这个当中我们可以看到

x(t)等于a0/2加上后边

是由正弦或余弦它的累加得到的

其中式子当中

a0/2为信号当中的常值

或者叫直流分量

那么an和bn为傅里叶系数

其中这个an等于什么呢

2/T乘以x(t)再乘以cosnw0t

在-T/2到T/2之间求它的积分

那bn呢

同样是等于2/T乘以x(t)sinnw0t

求它在-T/2到T/2之间的积分

那么请大家记住

2.13式an和2.14式bn

它的表达形式

在这当中我们应该注意的是

an是n或者nw0的偶函数

也就是a(-n)=an

bn是n或者nw0的奇函数

也就是b(-n)=-bn

接下来我们看看信号x(t)

还有另外一种表达的形式

那么这种表达形式也是我们

经常用到的

它的傅里叶级数表达形式是2.15式

那么具体呢是x(t)

等于a0/2加上Ancos(nw0t+φn)

那么求n=1到无穷的累加

其中式子

An=(an2+bn2)开根号

那么φn等于-arctan(bn/an)

那么这是2.16式

其中我们把An称为信号的

频率成分的幅值

φn称为初相角

那么在这当中我们需要注意的是

An是n或者nw0的偶函数

A(-n)=An

而φn是n或者nw0的奇函数

那么其中呢φ(-n)=-φn

那么接下来我们比较

2.12式和2.15式

那么我们可以得到的是

an=Ancosφn

bn=-Ansinφn

在这当中我们得到2.17式

其中这个n是整数1、2、3等等

下面我们简单做一个小结

从上面这个式子2.12式

我们可以看到第一项a0/2

为周期信号中的常值

或者是直流分量

从第二项依次向下

我们分别称为信号的基波

或一次谐波

二次谐波

三次谐波

一直到n次谐波

以信号的角频率w0作为横坐标

可分别画出信号的幅值An

和相角φn随频率w0变化的图形

那么我们分别把它们称为信号的

幅频谱和相频谱图

由于n是整数

各频率分量仅在nw0的频率处取值

因此我们得到的是关于

幅值An和相角φn的离散谱线

那么从上面的分析我们可以得到

周期信号的频谱是离散的

请大家记住这样的一个结论

接下来我们看一下奇偶函数的

傅里叶系数计算特点

那么首先看一看如果x(t)

为奇函数的话

那么这个时候x(-t)=-x(t)

因此我们可以把2.12式

简化为an=0

bn=4/T乘以x(t)sinnw0t

在0到T/2之间求它的积分

那么接下来我们就可以得到的是

x(t)在对称区间(-T/2,T/2)之间

它的积分等于其

在半区间(0,T/2)上积分的2倍

接下来我们可以看看

由公式2.16我们可以得到

an=|bn|

φn=(2m+1)Π/2

那么x(t)为偶函数的时候

也就是指x(-t)=x(t)

那么其中这个时候bn=0

an=4/T

乘以x(t)cosnw0t

在0到T/2区间内求积分

这个时候我们还可以得到

An=|an|

φn=mπ

从图2.15当中我们可以看到

偶函数的一个示例情况

接下来我们看看

如何把傅立叶级数

表达成指数函数的形式

实际上也是傅里叶级数的

另外一种表达形式

那么首先我们看一看欧拉公式

欧拉公式我们

在高等数学当中已经学过了

那么我们知道

它的具体表达式是

ejwt=coswt+jsinwt

这就是著名的欧拉公式

那么我们对

欧拉公式进行加和减

我们就可以得到2.12式当中

它变换的形式

那么其中我们假设cn=

(an-jbn)/2

c(-n)=(an+jbn)/2

c0=a0/2

则这个时候

x(t)=C0加上后面

这两个表达式

或者是x(t)=cnejnw0t

n取整数

接下来我们把上面的2.13式

和2.14式

分别带入到2.23式当中去

我们可以得到2.26式

Cn=1/T乘以x(t)ejnw0t

在-T/2到T/2之间求它的积分

其中Cn是离散频率nw0的函数

我们也称为周期函数x(t)的

离散频谱

Cn一般为复数

那么我们也可以把它写成2.27式

也就是Cn=实部Cn加虚部Cn

那么|Cn|

=(Cn实部的平方+Cn虚部的平方)开根号

那么φn=arctg(虚部的Cn/实部的Cn)

接下来我们看看

离散频谱

它具有两个重要性质

首先看看第一个性质

第一个性质是指

每个实周期函数的幅值谱

是n的偶函数

相位谱是n的奇函数

另外一个性质就是

当周期信号有时间以为τ时

它的幅值谱是不变的

相位谱会发生±nw0t弧度的变化

那么由于时间关系

在这当中我们不做详细的证明了

下面是它的具体证明的情况

同学们如果课后有时间

可以仔细去研读一下

如何去证明的

在这个当中

我们可以看到Cn表达的是

振幅与相角的复数形式

^Cn=|Cn|ej(φn±nw0τ)

我们可以看到

经过时间位移τ之后的信号

幅值谱与原信号的幅值谱相同

但是相位发生了

±nw0τ的角度变化

下面我们看一下

傅里叶级数

两种展开式的频谱图

由三角函数表达的

傅里叶级数的频谱图

我们通常称为单边谱

由复指数表达的傅里叶级数的

频谱图我们通常称为双边谱

那么所谓的双边谱我们可以看到

它的角频率w的变化范围

是扩展到负轴方向

也就是负无穷到正无穷

这样一个区间范围内

那么从图2.16当中

我们可以看到

双边谱它的各自谐波的幅值

为单边谱中各对应的

谐波幅值的一半

实际上我们可以看到

单边谱和双边谱它们的幅值的关系

那么在图a当中是单边幅度谱

图b当中是双边幅度谱

图c呢是单边相位谱

图d是双边的相位谱

前面我们已经看到了

双边频谱当中它的频率范围是

扩大到了负轴方向

出现了负频率

是因为将n扩大到正或者负值

在工程当中

比方说旋转机械

它在一个方向的转动规定为正转

反方向上的转动那么就是反转

它的转动角速度相应的便是

正负之分

这也就是所谓的双边谱

出现的正或者负值它的频率范围

接下来我们看看周期信号频谱的特点

我们简单做一个小结

周期信号的频谱是离散频谱

对于周期信号的谱线而言

它仅仅出现在基波及各次谐波频率处

那么周期信号它的

幅值谱当中

各频率分量的幅值

随着频率的升高而减小

频率越高

那么幅值就会越小

那么请大家熟悉下面表格当中的

一些周期信号傅里叶级数的表达式