傅里叶变换的性质 (The property of Fourier transform)在线视频

同学们大家好

欢迎大家继续学习

测试与检测技术基础这门课程

这节课我们将继续学习

第二章测试信号分析与处理

那么在第三个部分当中

我们会讲一下傅里叶变换的性质

那么我们可以看到

傅里叶变换的主要性质

一共有这么九个方面

第一个呢是对称性

第二个是线性

第三个是尺度变换性

第四个是奇偶性

第五个是时移性

第六个是频移性

第七个是卷积

第八个是时域微分和积分

第九个是频域微分和积分

从这九个性质当中我们可以看到

在今后我们在对一个函数

做傅里叶变换的时候

就需要这些性质

我们可以根据函数的具体的情况

来去确定去采用哪些性质

进行傅里叶变换

那么对这些函数

进行傅里叶变换的时候

我们可以采用这些性质

能够尽量简化傅里叶变换的

整个的运算的过程

那么在这张表当中

就是我们列出了

傅里叶变换的主要的性质

那么具体的表达式我们可以看到

在右侧

表格的右侧

可以看到傅里叶变换的公式的

具体的表达式

那么课后如果各位同学有时间

可以看看这些具体的表达式

后面我们也会对这些

傅里叶变换的公式的表达式

的性质做一个相关的解释

首先我们看一下

在傅里叶变换过程当中

经常用到的一个性质就是对称性

那么对称性我们可以看到

下面这样的一个公式

也就是说对于两个傅里叶变换

x1(t)和X1(w)它们俩

是一个傅里叶变换对

同样的x2(t)和X2(w)

它们俩也是一个傅里叶变换对

那么对于对称性而言

它的意义就是

如果x1(t)和X2(w)

具有相同的形状

那么x2(t)和X1(-w)具有相同的形状

如果在时域当中

它是一个矩形函数x1(t)

那么它的傅里叶变换

在频域当中X1(jw)

就是图中这样的函数的一个形式

那么同样

如果说在频域当中x2(t)

是这样的一个函数的形状的话

那么它在频域当中X2(jw)

那么这个函数的形式就是矩形函数

我们可以看到

这就是对称性当中如果说

x1(t)和X2(jw)

也就是说在频域当中的X2（jw）

具有相同的形状的时候

那么这个时候在时域当中的x2(t)

与频域当中的X1(-jw)

具有相同的形状

接下来是线性性

如果有x1(t)和X1(w)

它两个是一个傅里叶变换对

同样在时域当中x2(t)与X2(w)

它俩也是一对变换对的话

那么则这个时候

它们俩乘以个系数分别相加之后

在频域当中

也同样具有这样的性质

那么下面是一个举例

比方说x(t)=1/2+sgn(t)/2

那么它的变换对是

X(w)=πδ(w)+1/(jw)

接下来我们看看尺度变换性

同样我们有一个变换对x(t)

与X(ω)是一个傅里叶变换对

那么对于实常数a

那么就有如下这个式子

是x(at)与(1/|a|)再乘以(ω/a)

如果信号x(t)在

时间轴上被压缩到原信号的1/a

则这个时候它的频谱函数

在频率轴上将展宽a倍

而它的幅值相应缩减到原来

信号的1/|a|。

那么从图2.30当中

我们可以看到这样一个

尺度变化的一个关系

那么信号的持续时间

与信号占有的频带宽是成反比的

那么从上面的这张图当中

我们也能得出这样的结论

那么比方说需要加速信号的传递

那么我们就会将

信号的持续时间压缩

则要以展开频带为代价的

那么实际上

这两个是一个此消彼长这样一个关系

那么尺度变换的性质表明

信号的持续时间

与信号的频带宽是成反比的

在实际的测量的时候

有的时候要缩短信号的记录时间

加快信号的传输速度

那么这个时候

频域当中就需要展宽频带

反之

我们在处理记录的数据信号

而需要恢复信号的

原来的正常的传输速度时

信号处理设备的频带

就需要把它变得更窄

那么对于x(t)为时间t的实函数而言

那么x(t)为偶函数

也就是x(t)=x(-t)

那么X(ω)为ω的实偶函数

如果x(t)为奇函数也就是x(t)=-x(-t)

那么同样的X(ω)为ω的虚奇函数

那么这个时候x(t)为时间t的实函数

我们可以看到2.73式和2.74式

那么其中

这就是它们的实部和虚部

的表达方式以及它们的相位的表达方式

其中我们可以看到

在频域当中的X*(ω)

为X(ω)的共轭复数

它们俩之间是共轭复数

下面介绍一下时移性

如果时域中的x(t)

和频域中的X(ω)

是一个变换对的话

那么则我们可以得到

这样的一个结论

对于时移性而言

也就是x(t-t0)与X(ω)e(-jwt0)

那么在这个当中我们可以发现就是

幅度的频谱没有变化

只影响它的相位频谱

那么同样如果说

时移性加上它的尺度变换性的话

那么我们就可以得到

比方说在时域当中的x(at+b)

那么它在频域当中的变换呢就是

(1/|a|)再乘以(ω/a)e(jωb/a)

是这样的一个表达式

下面我们看一下频移性

所谓的频移性通常我们称为调制性

那么同样我们有x(t)

和X(ω)是一个傅里叶变换对

那么则这个时候

x(t)e(jω0t)就与X(ω-ω0)

它们俩是一个变换对

从图2.34当中我们可以看到

频移实现的一个基本原理

如果说有一个

矩形函数在时域当中

在频域当中我们就可以看到

它是一个这样形状的函数

那么这个形状它

是跟sinc函数有关的

那么这是sinc函数的一个基本定义

那么如果说在时域当中

那么x(t)乘以cosω0t的话

在频域当中

就相当于有一个频率的移位

接下来我们看一个

非常重要的性质

就是卷积

应该说卷积

在我们测试信号分析当中

是非常非常重要的

那么我们首先看一下

实际上卷积是怎么来的呢

它实际上是在泛函分析当中

它是通过两个函数f和g

生成第三个函数的一种数学算子

它表征函数f与翻转和平移g

重叠部分的累积

实际上这就是卷积的

一个从泛函当中数学角度得到的

那么接下来我们给一个定义

它的定义是这样的

如果函数f与g的卷积记作f*g卷积

那么它是其中一个函数

翻转并平移后

与另一个函数的乘积的积分

它是一个对平移量的函数

它的积分区间

是取决于f和g的定义域的

为什么要做卷积呢

我们可以看到它的好处就是

卷积与傅里叶变换

实际上是有密切关系的

想通过卷积

把傅里叶变换很好的联系起来

比方说两个函数的

傅里叶变换的乘积

等于它们卷积后的傅里叶变换

那么我们就可以通过

卷积和傅里叶变换这样的关系

利用这个性质

就能够简化傅里叶分析中的很多问题

下面可以看一下卷积的图解

在这张PPT当中我们可以看到

首先我们讲两个函数都用τ来表示

对其中的一个函数做水平翻转

其中g(τ)把它翻转后变成g(-τ)

我们在这之间加一个时间的偏移量

就能让它沿着轴滑动

接下来我们让t从-∞滑动到+∞

两个函数交会的时候

我们计算交会范围当中

两个函数乘积的积分值

也就是在计算一个滑动的

加权平均值

也就是使用g(-τ)当做加权函数

来对f(τ)取加权的平均值

从左侧的图当中

我们可以看到

这是整个我们叙述卷积

这样的一个图解过程

下面我们接着看一个

稍微简单点的一个图解动画

那么在这个图示当中

方形脉冲波

和指数衰退脉冲波的卷积

我们可以看到

重叠部分的面积

就相当于“t”处的卷积

那么卷积的过程就相当于

求取两个函数的乘积并求积分的过程

因为“g”是对称的

所以在两张图中

它的“反射”并不会改变它的形状

介绍了卷积

我们下面看看非常重要的卷积定理

卷积定理有时域卷积定理

和频域卷积定理

在时域卷积当中

如果有h(t)和H(ω)

是一个傅里叶变换对

那么则这个时候

x(t)与h(t)的卷积

就与在频域当中的H(ω)和X(ω)

是一个傅里叶变换对

那么同样我们可以看到

在频域的卷积

如果有这样的一个变换对

h(t)和在频域当中的H(ω)

是一个傅里叶变换对

那么这个时候在时域当中

x(t)乘以h(t)的话

在频域当中就是

(1/2π)乘以X(ω)与H(ω)的卷积

那么总结一下实际上就是

时域当中的卷积

在频域当中相当于它的相乘

同样在频域当中的卷积

在时域当中相当于它的相乘

再说说时域的微分和积分

同样还是有这样的一个变换对

x(t)和X(ω)

那么对x(t)求微分的话

在频域当中就是jωX(ω)

那么同样在积分的过程也是这样的

x(t)它的积分是在-∞到t区间

在频域当中就是(1/jω)X(ω)

其中我们可以看到

X(0)=0是2.87和2.88

这两个式子成立的前提条件

那么我们可以看到

如果我们已知在频域当中X

那么里面是xn乘以t

那么我们就可以得到

X(ω)等于后边这个式子

接下来我们看看时域积分的性质

那么我们假设g(t) 为

-∞到t之间对x(t')的积分

那么它的傅里叶变换为G(ω)

那么由于dg(t)它的微分

是等于x(t)的话

我们利用2.87式上面的式子

我们就可以得到什么呢

jωG(ω)=X(ω)

或者是G(ω)=(1/jω)X(ω)

那么同样我们用积分的表达方式

-∞到t之间对x(t)求积分

那么它的变换对就是(1/jω)X(ω)

那么同样对于g(t)而言

它要存在傅里叶变换对G(ω)

就有g(t)它的极限

也就是t到无穷的极限

等于x（t）-∞到∞之间的积分

它是等于0的

那么就等价于X(0)=0

这样一个前提条件

那么同样如果X(0)≠0

则g(t)的傅里叶变换对当中

会包括一个冲激函数

那么下面的式子就是包含的一个

冲激函数δ(ω)

再介绍一下在频域当中微分和积分

同样还是存在一个

x(t)和X(ω)的变换对

那么则这个时候

-jtx(t)与dX(ω)是一个傅里叶变换对

我们同样也可以把它进行扩展

得到2.92式

那么说一个特殊的条件

如果x(0)=0的话

那么我们就可以得到2.94式

就是x(t)/(-jt)

它是与X(ω)在-∞到∞的积分之间

是一个傅里叶变换对