当前课程知识点：测试与检测技术基础 > Week5 测试信号分析与处理（4） (Signal processing IV) > 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier transform) > 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier transform)
好，接下来我们首先看一看
第一方面的内容
就是离散傅里叶变换
我们通常也把它称之为DFT
实际上对于一个非周期的
连续时间信号x（t）而言
它的傅里叶变换
应该是一个连续的频谱
我们把它称之为X（f）
它的运算公式
实际上我们在第二章当中
已经介绍了
就是X（f）
得到的公式是2.199式
同时它的逆变换x（t）
它的逆傅立叶变换
得到的公式是2.200式
这两个式子
我们在前面已经介绍到了
大家都已经很熟悉了
下面我们看一下图2.70当中
它就是一个无限连续信号的
傅立叶变换的几种类型
这几种类型实际上
我们在后边的信号处理当中
也会谈到、用到
首先看一看
对于一个非周期的
连续信号X（t）而言
它的频谱X（f）是连续的
同时对周期的连续信号而言
它的傅立叶变换就转化为
采用傅立叶级数的方式来表示
因而它的频谱也是离散的
这个结论前面也提到过
对于非周期的离散信号而言
它的傅立叶变换
是一个连续的周期频谱
应该说周期离散的时间序列
它的频谱就是周期离散的
从这个图当中
我们也可以看到
是这样的情形
给出一个结论
对于无限连续信号的
傅立叶变换
一共有四种情况
第一种情况是
非周期连续信号X（t）
它的频谱X（f）是连续的频谱
非周期连续信号x(t)
其频谱X（f）是连续谱
它的频谱是离散的
对于非周期离散的信号
它的傅立叶变换
应该是一个周期连续的频谱
最后呢
是周期离散的时间序列
它的频谱是周期离散的
接下来我们看下面的结论
如果x（t）是一个周期的信号
那么在频域当中X（f）
必然是离散的
反之亦然
如果x（t）是一个非周期的
那么X（f）一定是连续的
反之亦然
在第四种情况下
时域和频域应该说
都是离散的信号
并且都是周期的
我们利用这样的情况
实际上给我们
利用计算机实施频谱的分析
就提供了一种可能性
对于这种信号而言的傅立叶变换
我们只需要取
它在时域上的一个周期
比方说我们取N个采样点
和频域上的1个周期
同样我们也取N个采样点
对这两个N个采样点进行分析
也就是对时域的一个周期
和频域的一个周期的
各N个采样点进行分析的话
我们就可以了解整个信号的全过程
下面我们介绍一下离散傅立叶变换
对于离散傅立叶变换DFT
我们给出的定义是这样的
对有限长度的离散时域
或者频域信号序列
进行傅立叶变换
或者是它的逆变换
同样我们也得到有限长度的
离散频域
或时域信号序列的方法
称为离散傅立叶变换
或它的逆变换
就是IDFT
下面2.205式
我们给出了
离散傅立叶变换的公式
X（k）和x（n）2.206式
在这个式子当中
Wn＝e的-J2π比上N
其中x（n）和X（k）
分别为x^（n△t）
和X^（kf0）的一个周期
此处我们是把△t和f0进行了归一化
归一为1
接下来我们介绍一下
为什么要做离散傅里叶变换
它的意义何在
对任意连续的时域信号
我们首先要进行采样和截断
并对它做傅里叶变换的运算
从而得到离散的频谱
这个频谱的包络
即是对原连续信号
真正的频谱估计
离散傅里叶变换的
主要结算过程
有这么如下三个阶段
第一个阶段是时域的采样
第二个阶段是时域的截断
第三个阶段是频域的采样
下面我们分别详细地看一下
首先看一下
为什么要进行时域的抽样
它的目的就是
解决信号的离散化问题
我们要达到的效果就是
对于连续信号离散化
从而使得信号的频谱
被周期地延拓
接下来我们再看一下
第二个过程
就是时域的截断
时域截断
实际上就是在工程上
无法处理时间的无限信号
因此我们要通过
加窗函数
一般来说是用矩形窗
对信号进行逐段地截取
我们要达到的目标
也就是结果
实际上是对时域
乘以矩形脉冲信号
在频域当中
相当于和抽样函数进行了卷积
接下来一个步骤就是
时域周期的延拓
它要达到的目的
首先是要使频率的离散
也就是要使时域变成周期信号
采用的方法是
周期延拓当中的搬移
通过与δ函数的卷积来实现
要表示的是
延拓后的波形
在数学上可以表示为
原始波形与冲激串序列的卷积
得到的结论是
周期延拓后的周期函数
具有离散的频谱
最后一个过程是
经过抽样、截断和延拓之后
信号的时域和频域
都是离散的，周期的
第五个过程
实际上是
我们要对处理后信号的
连续时间傅立叶变换
进行傅立叶变换
我们可以看到这样的式子
实际上H^（f）是离散函数
仅在离散频率点f这个地方
存在冲激
它的强度呢
是为ak的
其余的各点是0的
另外ak是一个周期的函数
它的周期为Nf0＝Ts分之1
实际上每个周期内
都有N个不同的幅值
最后是时域的离散时间间隔
或者称为周期
与频域的周期
或者是与离散的间隔
是互为倒数的
下面给各位介绍一下
离散傅里叶变换过程的图解
我们在左侧这一列
实际上是它的时域的函数
在右侧这一列是
它的相对应的频域的函数
那么实际上我们可以看到
在左侧上面两个函数
进行时域相乘之后
得到最下面的函数
就是抽样后的这个函数
那么在右侧这一列当中
上面的两个函数
在频域当中进行卷积之后
就可以得到最下边这个函数
标着叠加干涉这张图
从这个过程当中我们可以看到
是进行这样几个步骤
第一步骤是
我们知道一个原函数
接下来要对它进行抽样
最后呢
在时域当中进行相乘
在频域当中进行卷积之后
就得到了所谓抽样后的结果
接下来介绍另外一个过程
就是所谓的截断
前面我们也谈到了
截断的过程实际上
就是通常采用矩形函数的方式
和原函数在时域当中进行相乘
同样在频域当中
我们要对它进行卷积
这张片子当中
分别讲到的是
用于截断前
和用于截断后的
这样的一个过程
好下面我们再看一看所谓的延拓
同样我们也是对左侧这一列
上面的两个函数
在时域当中进行卷积
反过来在右侧这一列当中
上面的两个函数
在频域当中相乘的话
我们就可以得到
这样的一个延拓的过程
好简单做一个总结
实际上DFT的定义
也就是离散傅里叶变换的定义
它是针对任意的
离散序列x（nTs）当中的
有限个离散抽样的
它并不要求该序列是具有周期性的
由离散傅里叶变换我们求出的
离散的频谱H（k）
它是离散的周期函数
它的周期是Nf0
同样它的离散的间隔是
N乘以Ts分之1等于f0
对于离散频谱
关于变元k的周期是N
如果我们称之为离散频谱
经过一个逆傅里叶变换所得到的
序列重建的信号x’的话
则所重建的信号
就是离散的周期函数
周期是N乘以Ts它是等于F0分之1
同样离散的间隔
Ts等于Nf0分之1
接下来再给一些结论
经过逆傅立叶变换重建信号的基频
就是频域的离散间隔
或者是在时域周期的倒数
f0等于T0分之1
等于NTs分之1
实序列的离散
是关于原点和2分之N
是共轭对称的
实际上共轭对称是和幅度对称的
因此
真正有用的频谱信息
可以从O
到2分之N减1
这样的一个范围内得到
也就是说从低频到高频的范围内
在时域和频域的范围内呢
N个点分别是各自的
主值区域或主值的周期
以上我们对离散傅立叶变换
做了一个简单的总结
希望大家能够了解
这样的一个过程
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