当前课程知识点:测试与检测技术基础 > Week4 测试信号分析与处理(3)(Signal processing III) > 功率谱分析与巴塞伐尔定理 (Power spectral analysis and Parseval’s theorem) > 功率谱分析与巴塞伐尔定理 (Power spectral analysis and Parseval’s theorem)
接下来我们看一下第四个部分
也就是功率谱分析
在功率谱分析当中
我们将会简单向各位同学介绍
自功率谱密度函数
巴塞伐尔定理
和互功率谱密度函数
前面我们已经了解到
相关函数是可以用于
描述时域当中的随机信号的
如果对相关函数应用傅里叶变换
则可以得到
频域当中的随机信号
我们把这种傅里叶变换
称为功率谱密度函数
所谓的功率谱密度函数
是指描述信号功率密度
沿频率轴的分布情况
下面看看自功率谱密度的函数
自功率谱密度的函数Sxx(f)
可以定义为
它是反映相关函数
在时域内表达随机信号自身
与其他信号在不同时刻的
内在的联系
我们假设x(t)
为一个零均值的随机过程
并且x(t)中没有周期性分量
它的自相关函数Rx(τ)
当τ趋向于∞的时候
Rx(τ→∞)的时候等于0的
则这时候自相关函数Rx(τ)
就满足傅里叶变换的条件
接下来我们对这个Rx(τ)
作傅里叶变换
就可以得到Sx(f)
2.169式
同样我们可以得到
它的逆变换Rx(τ)
我们可以得到2.170式
通常我们把2.169式
和2.170式称为维纳-辛钦公式
Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函数
通常我们把它简称为
自谱或者是功率谱
对于功率谱Sx(f)
与自相关函数Rx(τ)之间
实际上它们是一对傅里叶变换对
从下面的式子当中
我们也可以看到
Rx(τ)与Sx(f)之间的关系
实际上是一个傅里叶变换对
由于Rx(τ)为实偶函数
因此Sx(f)也为实偶函数
从图2.63当中我们可以看到
单边功率谱和双边功率谱的情况
其中Sx(f)为x(t)的
双边功率谱密度函数
对于单边功率谱而言
我们可以把它记为功率谱G(f)
接下来我们看一下
当τ=0的时候
根据自相关函数Rx(τ)
和自功率谱密度函数Sx(f)的定义
我们可以得到2.171式
也就是Rx(0)
等于Sx(f)在-∞到∞区间内求积分
其中Sx(f)曲线下面
和频率轴所包围的面积
称为信号的平均功率
Sx(f)就是信号的
功率谱密度沿频率轴的分布
我们也把它称为功率谱
下面图2.63
就是单边功率谱和双边功率谱
接下来我们给各位同学介绍一下
巴塞伐尔定理
它是这么描述的
信号在时域中计算的总能量
等于它在频域中计算的总能量
也就是
它是反映了能量守恒
这样一个规律
如果有变换对
x(t)与X(f)是一个变换对的话
按照卷积定理
我们就可以得到下面这个式子
也就是在时域当中x(t)h(t)
那么在频域当中的卷积
就是X(f)卷积H(f)
假设h(t)=x(t)的话
我们可以得到x2(t)
在-∞和∞之间
求它的积分
等于X(f)X(-f)
在-∞到∞区间内
求它的积分
接下来如果x(t)为实函数的话
那么这个时候X(-f)=X*(f)
于是我们可以得到2.172式
也就是x2(t)
在-∞和∞之间求它的积分
我们得到的式子就是2.172式
实际上巴塞伐尔定理
指的是信号在
时域当中计算的总能量
等于它在频域中计算的总能量
也就是它是反映了能量守恒的
实际上我们上面介绍的2.172式
称为信号能量等式
其中|X(f)|的平方
称为能量谱
它是指沿着频率轴的能量分布密度
在整个时间轴上
信号的平均功率
可计算为下面2.173式
下面我们还可以得到2.174式
就是自谱密度函数
与幅值谱之间的关系
就是Sx(f)
等于频域当中|X(f)|的平方
再乘以1/T在T趋于∞的时候
求它的极限
下面说一下互功率谱密度函数
互功率谱密度函数
它是描述相关信号功率密度
沿着频率轴的分布的
如果互相关函数Rxy(τ)
满足傅里叶变换的条件
那么信号x(t)和y(t)的
互功率谱密度函数
就称为互谱密度函数或者互谱
所谓的互谱我们从2.177式
可以看到Sxy(τ)
那么根据维纳-辛钦公式的关系
我们可以看看互谱
与互相关函数
也是一个傅里叶变换对
那我们可以看到
从2.178式当中得到这样一个结论
好同学们
这一课的内容我们就讲授到这里
我们下节课再见
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