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功率谱分析与巴塞伐尔定理 (Power spectral analysis and Parseval’s theorem)在线视频

功率谱分析与巴塞伐尔定理 (Power spectral analysis and Parseval’s theorem)

下一节:数字信号处理概述 (Outline of digital signal processing)

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功率谱分析与巴塞伐尔定理 (Power spectral analysis and Parseval’s theorem)课程教案、知识点、字幕

接下来我们看一下第四个部分

也就是功率谱分析

在功率谱分析当中

我们将会简单向各位同学介绍

自功率谱密度函数

巴塞伐尔定理

和互功率谱密度函数

前面我们已经了解到

相关函数是可以用于

描述时域当中的随机信号的

如果对相关函数应用傅里叶变换

则可以得到

频域当中的随机信号

我们把这种傅里叶变换

称为功率谱密度函数

所谓的功率谱密度函数

是指描述信号功率密度

沿频率轴的分布情况

下面看看自功率谱密度的函数

自功率谱密度的函数Sxx(f)

可以定义为

它是反映相关函数

在时域内表达随机信号自身

与其他信号在不同时刻的

内在的联系

我们假设x(t)

为一个零均值的随机过程

并且x(t)中没有周期性分量

它的自相关函数Rx(τ)

当τ趋向于∞的时候

Rx(τ→∞)的时候等于0的

则这时候自相关函数Rx(τ)

就满足傅里叶变换的条件

接下来我们对这个Rx(τ)

作傅里叶变换

就可以得到Sx(f)

2.169式

同样我们可以得到

它的逆变换Rx(τ)

我们可以得到2.170式

通常我们把2.169式

和2.170式称为维纳-辛钦公式

Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函数

通常我们把它简称为

自谱或者是功率谱

对于功率谱Sx(f)

与自相关函数Rx(τ)之间

实际上它们是一对傅里叶变换对

从下面的式子当中

我们也可以看到

Rx(τ)与Sx(f)之间的关系

实际上是一个傅里叶变换对

由于Rx(τ)为实偶函数

因此Sx(f)也为实偶函数

从图2.63当中我们可以看到

单边功率谱和双边功率谱的情况

其中Sx(f)为x(t)的

双边功率谱密度函数

对于单边功率谱而言

我们可以把它记为功率谱G(f)

接下来我们看一下

当τ=0的时候

根据自相关函数Rx(τ)

和自功率谱密度函数Sx(f)的定义

我们可以得到2.171式

也就是Rx(0)

等于Sx(f)在-∞到∞区间内求积分

其中Sx(f)曲线下面

和频率轴所包围的面积

称为信号的平均功率

Sx(f)就是信号的

功率谱密度沿频率轴的分布

我们也把它称为功率谱

下面图2.63

就是单边功率谱和双边功率谱

接下来我们给各位同学介绍一下

巴塞伐尔定理

它是这么描述的

信号在时域中计算的总能量

等于它在频域中计算的总能量

也就是

它是反映了能量守恒

这样一个规律

如果有变换对

x(t)与X(f)是一个变换对的话

按照卷积定理

我们就可以得到下面这个式子

也就是在时域当中x(t)h(t)

那么在频域当中的卷积

就是X(f)卷积H(f)

假设h(t)=x(t)的话

我们可以得到x2(t)

在-∞和∞之间

求它的积分

等于X(f)X(-f)

在-∞到∞区间内

求它的积分

接下来如果x(t)为实函数的话

那么这个时候X(-f)=X*(f)

于是我们可以得到2.172式

也就是x2(t)

在-∞和∞之间求它的积分

我们得到的式子就是2.172式

实际上巴塞伐尔定理

指的是信号在

时域当中计算的总能量

等于它在频域中计算的总能量

也就是它是反映了能量守恒的

实际上我们上面介绍的2.172式

称为信号能量等式

其中|X(f)|的平方

称为能量谱

它是指沿着频率轴的能量分布密度

在整个时间轴上

信号的平均功率

可计算为下面2.173式

下面我们还可以得到2.174式

就是自谱密度函数

与幅值谱之间的关系

就是Sx(f)

等于频域当中|X(f)|的平方

再乘以1/T在T趋于∞的时候

求它的极限

下面说一下互功率谱密度函数

互功率谱密度函数

它是描述相关信号功率密度

沿着频率轴的分布的

如果互相关函数Rxy(τ)

满足傅里叶变换的条件

那么信号x(t)和y(t)的

互功率谱密度函数

就称为互谱密度函数或者互谱

所谓的互谱我们从2.177式

可以看到Sxy(τ)

那么根据维纳-辛钦公式的关系

我们可以看看互谱

与互相关函数

也是一个傅里叶变换对

那我们可以看到

从2.178式当中得到这样一个结论

好同学们

这一课的内容我们就讲授到这里

我们下节课再见

测试与检测技术基础课程列表:

Week1 绪论 (Introduction)

-测试技术发展与研究内容 (The development of measurement technology)

--测试技术发展与研究内容

-测量的本质与基本前提 (The precondition and foundation of measurement)

--测量的本质与基本前提

-标准及其单位 (Standards and Units)

--标准及其单位

-本章小结 (Chapter summary)

--本章小结

Week2 测试信号分析与处理(1)(Signal processing I)

-测试信号分析与处理基础知识 (Basic knowledge of signal processing)

--测试信号分析与处理基础知识

-周期信号的频域描述 (Fourier series)

--周期信号的频域描述 (Fourier series)

-非周期信号的频域描述 (Fourier transform)

--非周期信号的频域描述 (Fourier transform)

-Class Exercise1

-Homework1

Week3 测试信号分析与处理(2) (Signal processing II)

-傅里叶变换的性质 (The property of Fourier transform)

--傅里叶变换的性质 (The property of Fourier transform)

-功率信号的傅里叶变换 (Fourier transform of power signal)

--功率信号的傅里叶变换 (Fourier transform of power signal)

-本章小结 (Chapter summary)

--本章小结 (Chapter summary)

-Class Exercise2

-Homework2

Week4 测试信号分析与处理(3)(Signal processing III)

-随机信号的描述 (Description of random signal)

--随机信号的描述 (Description of random signal)

-随机过程主要特征参数 (Characteristic parameters of stochastic process)

--随机过程主要特征参数 (Characteristic parameters of stochastic process)

-相关分析 (Correlation analysis)

--相关分析 (Correlation analysis)

-功率谱分析与巴塞伐尔定理 (Power spectral analysis and Parseval’s theorem)

--功率谱分析与巴塞伐尔定理 (Power spectral analysis and Parseval’s theorem)

-Class Exercise3

-Homework3

Week5 测试信号分析与处理(4) (Signal processing IV)

-数字信号处理概述 (Outline of digital signal processing)

--数字信号处理概述 (Outline of digital signal processing)

-离散傅里叶变换 (Discrete Fourier transform)

--离散傅里叶变换 (Discrete Fourier transform)

-离散傅里叶变换的性质 (The property of discrete Fourier transform)

--离散傅里叶变换的性质 (The property of discrete Fourier transform)

-采样定理 (Sampling theorem)

--采样定理 (Sampling theorem)

-泄漏与加窗 (Spectral leakage and windowing)

--泄漏与加窗 (Spectral leakage and windowing)

-栅栏效应 (Picket fence effect)

--栅栏效应 (Picket fence effect)

-快速傅里叶变换 (Fast Fourier transform)

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-Class Exercise4

-Homework4

Week6 测试系统特性分析(1) (Analysis of measurement system I)

-测试系统概述 (Outline of the measurement system)

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-测量误差 (Measurement error)

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-测试系统的静态特性 (Static characteristics)

--测试系统的静态特性 (Static characteristics)

-测试系统的动态特性 (Dynamic characteristics)

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-Class Exercise5

-Homework5

Week7 测试系统特性分析(2) (Analysis of measurement system II)

-伯德图与奈奎斯特图 (Bode plot and Nyquist plot)

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-一阶惯性系统 (First-order system)

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-二阶惯性系统 (second-order system)

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-测试系统对典型激励的响应函数 (The response function of typical signal stimulus)

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-测试系统实现精确测量的条件 (The preconditions of accurate measurement)

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-测试系统的负载效应 (Loading effect)

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-Class Exercise6

-Homework6

Week8 被测量的获取(1) (Sensors I)

-被测量获取的基本概念 (Outline of sensors)

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-传感器的分类 (The category of sensors)

--传感器的分类 (The category of sensors)

-电阻式传感器 (Resistive sensors)

--电阻式传感器 (Resistive sensors)

-Class Exercise7

-Homework7

Week9 被测量的获取(2) (Sensors II)

-电感式传感器 (Inductive sensors)

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-电容式传感器 (Capacitive Sensors)

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-压电传感器 (Piezoelectric sensors)

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-磁电式传感器 (Magnetic sensors)

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-Homework8

Week10 被测量的获取(3) (Sensors III)

-霍尔传感器 (Hall sensors)

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-图像传感器 (CCD image sensor)

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-光纤传感器 (Fiber optic sensor)

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-传感器选用原则 (Selection principles of sensors)

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-Class Exercise9

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Week11 测试信号的转换与调理(1) (Signal conditioning I)

-测试信号转换绪论 (The introduction of signal conditioning)

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-电桥 (Bridge circuit)

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-调制与解调 (Modulation and demodulation)

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-Class Exercise10

-Homework10

Week12 测试信号的转换与调理(2) (signal conversion II)

-滤波器概述 (Outline of filter)

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-滤波器的一般特性 (The characteristics of filter)

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-滤波器的类型介绍 (The category of filter)

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-滤波器的综合运用与MATLAB实现 (The application of filter and MATLAB realization)

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-Class Exercise11

-Homework11

Week13 虚拟测试系统 (Virtual instruments)

-虚拟仪器技术概述

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-Class Exercise12

-Homework12

功率谱分析与巴塞伐尔定理 (Power spectral analysis and Parseval’s theorem)笔记与讨论

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