当前课程知识点：测试与检测技术基础 > Week3 测试信号分析与处理（2） (Signal processing II) > 功率信号的傅里叶变换 (Fourier transform of power signal) > 功率信号的傅里叶变换 (Fourier transform of power signal)
下面我们看一下
功率信号的傅里叶变换
我们知道
只有满足狄里赫利条件的信号
才具有傅里叶变换
也就是|x(t)|在-∞到∞区间的
积分小于∞
那么有限平均功率信号
在(-∞，∞)区域上的能量
可能趋近于无穷
但同样它的功率却是有限的
也就是我们可以看到
下面这个式子也就是在-T/2到T/2
这个区间内
对x平方求积分
再乘以1/T
在T趋于∞这个范围内
求它的极限
那么这个P是小于∞的
那么我们已经知道
我们在前面已经探讨了
几种特殊能量信号
比方说矩形脉冲
三角脉冲
和单边指数衰减函数的傅里叶变换
下面我们就来实现一下
这些函数的功率信号的傅里叶变换
首先看一下单位脉冲函数
那么在图2.38当中
这是一个矩形脉冲函数与δ函数
那么在Δ时间内
激发有一个矩形脉冲pΔ(t)
那么它的幅值就为1/Δ
面积就为1
当Δ趋于0的时候
则该矩形脉冲pΔ(t)
它的极限我们称为什么呢
单位脉冲函数
或者叫δ函数
请各位同学一定记住
δ函数是一个非常有用的函数
那么为什么说它有用
实际上在后面的
很多的实际的应用当中
我们都可以体现出来
首先我们看看它的性质
性质一δ(t)在t=0的时候
是等于∞的
那么同样δ(t)在t≠0的时候
是等于0的
那么我们来看一下
对于δ(t)在-∞到∞区间内
对它求积分的话
它实际上是等于1的
据δ函数的两个性质
我们可以得到x(t)δ(t-t0)
在-∞到∞区间内求积分
它实际上是等于x(t0)的
在这个其中x(t)在t=t0时是连续的
单位脉冲函数δ(t)的傅里叶变换
X(ω)实际上是等于1的
也就是说δ(t)和1之间
是一个傅里叶变换对
我们可以看一下图2.39
那么δ(t)和它的傅里叶变换
如图所示
接下来我们看看
时移单位的脉冲函数
也就是δ(t-t0)的傅里叶变换对
如图2.40我们可以看到它的形状
在这个当中我们可以看到
它的相位的情况
是如图2.40最左边这张图
那么常数1的傅里叶变换对
我们可以看到
图2.41当中
常数1它的傅里叶变换的形式
那么接下来我们看看
单位脉冲函数δ(t)
和任一函数x(t)的卷积
那么这个任一函数是什么
是x(t)
也就是x(t)和δ(t)的卷积
等于它原来的函数x(t)
那至于这证明的过程
我们就不证明了
同学们在课后
也可以进行一些简单的推导
那么它表明的是什么呢
是任意函数与一单位脉冲函数的卷积
结果就是该函数本身
也就是说我们可以通过
一个函数在时域当中
它俩做卷积还等于它的函数本身
那么推而广之呢它有时移的话
也同样符合这样的性质
接下来我们看一下余弦函数
首先再熟悉一下欧拉公式
欧拉公式刚才我们已经介绍到了
是2.109式
那么我们接下来看看
余弦函数的频谱是cosω0t
它和后面的这个式子2.110式
是一个傅里叶变换对
同样正弦函数的频谱sinω0t
和后面的这个式子jπ
和后面相乘的这个式子
也是一个傅里叶变换对
那么我们看一看
对于正弦函数和余弦函数
它们的在频域当中
是一个什么样的情况
我们可以看一下
在图2.44当中
分别就是正弦和余弦函数
它的频谱的情况
上面是余弦函数和它的频谱的情况
下面是正弦函数和它的频谱的情况
下面我们看一下符号函数sgn
符号函数大家都比较清楚
它实际上在t<0的时候等于-1
t=0的时候等于0
t>0的时候等于1的
那么它的频谱呢我们可以看看
我们要求它的频谱
我们还要想到前面的性质
也就是傅里叶变换的微分性质
那么假如说x(t)和X（ω)
是一个傅里叶变换对
就有dx(t)它的微分与jωX(ω)
是一对傅里叶变换对
那么接下来我们简单做一个推导
可以看到
对于一个符号函数的傅里叶变换
我们可以看到
它的傅里叶变换是jωX(ω)
那么下面我们看一下
符号函数的频谱推导
对于一个符号函数sgn
求它的微分
它是等于2δ(t)
那么则这时候
符号函数的傅里叶变换
就变成了jωX(ω)
那么同样对于一个
单独的符号函数sgn(t)
它和2/jω是一个傅里叶变换对
希望我们大家能记住
这样的一个结论
今后在做相关的习题和练习题的时候
都会用到这样的一个结论
在这张PPT当中我们可以看到
符号函数及其频谱的情况
也就是X(jω)=2/jω
那么在
左边这张图是它的时域sgn函数
在右边这张图当中
分别是它的幅值和相位的频谱情况
接下来我们看一看单位阶跃函数
对于一个单位阶跃函数
它的时域可以表示为
ξ(t)=1/2+sgn(t)/2
那么单位阶跃函数的频域的表示
就可以表示成下面这个式子
F(ξ(t))=πδ(ω)+1/jω
我们也要记住
对于阶跃函数而言
也是我们经常用到的
一个特殊的一个函数
请大家记住2.115式
这张PPT当中就表示了
单位跃函数它的频谱
左边这张图是它的时域
右边这两张图分别是它的实部和虚部
接下来我们介绍一下周期函数
周期函数它的傅立叶级数表达形式
前面我们已经介绍到
那么它的傅里叶变换
我们可以看到X(ω)等于
2πCnδ(ω-nω0)
求它在-∞到∞的累加
那么这个表达式说明
对于一个周期函数的傅里叶变换
它是由无穷多个位于x(t)的
各谐波频率上的单位脉冲函数组成
与各脉冲函数相关的面积
等于傅里叶系数的2π倍
那么实际上
我们可以看到2.117式
它是傅立叶级数信息的
另一种表达的形式
那么这就是我们前面叙述那段话
在图2.49式当中
是周期脉冲序列函数及其频谱的情况
那么也就是一个周期的
脉冲序列的傅里叶变换
它在频域中仍然是一个周期脉冲序列
那么在这个时候
每个脉冲的强度为ω0=2π/T
并且各脉冲分别是位于
各谐波频率nω0=n2π/T上
那么因此说
对于一个周期脉冲函数
它起的作用是
经常用在对时域波形
进行采样这样的一个作用
好简单举个例子
我们看一下下面这个图
是一个周期T的脉冲序列x1(t)
那么我们也常把这样的一个
周期为T的脉冲序列
也称为梳状函数那么用combt表示
那么它的傅里叶变换
可以根据卷积定理
它的分配率的公式
我们可以得到下面这个式子
那么其中我们可以看到
x(t)的图形我们可以看
下面图2.50(c)
我们可以看的是
一个周期为T的周期信号
它的每个周期内的波形
与x2(t)是完全相同的
那么图2.50(c)梳状函数
与三角脉冲的卷积的情况
我们可以看一下如图所示
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