当前课程知识点：测试与检测技术基础 > Week2 测试信号分析与处理（1）(Signal processing I) > 非周期信号的频域描述 (Fourier transform) > 非周期信号的频域描述 (Fourier transform)
接下来我们看一看
非周期信号频域的描述
首先看看傅里叶变换
那么在傅里叶级数当中
复杂的周期函数
是可以用一系列简单的
正弦或者余弦波之和来表示的
傅里叶变换
是对傅里叶级数的一种扩展
由它表示的函数周期趋近于无穷的
也就是傅里叶变换
在不同的领域
有多重不同的表现形式
那么有连续的傅里叶变换和
离散的傅里叶变换
其中呢傅里叶变换属于谐波分析
所谓的谐波分析是指什么呢
任意关于时间的周期函数
都能展开成傅里叶级数
也就是无限多个正弦函数
和余弦函数的和的表示方式
我们把这种分析方法称为谐波分析
周期信号可以用
傅里叶级数来表示
对周期信号主要考察信号
在一个周期上的变化
但是对于非周期信号
我们是可以用傅里叶变换来表示的
对于非周期信号
我们主要考查的是
信号在整个时间轴上的变化
那么实际上的信号
通常多是非周期信号的
那么下面来看看
傅里叶变换的意义
应该说凡是傅里叶变换
它都具有唯一性
那么实际上傅里叶变换
它的性质也揭示信号的
时域特性和它的频域特性之间
确定的内在联系
也就是说傅里叶变换
对于时域信号特性
和频域特性之间的关系
是相互确定的
那么这是指对于同一信号而言
那么下面我们在讨论
傅里叶变换的性质的时候
它的主要目的就在于
了解特性的内在的联系
用性质来求F(w)
大家要记住
我们要采用傅里叶的性质
来去求傅里叶变换
那么另外呢
我们要了解
在测试技术领域当中应用的情况
接下来我们看一看
傅里叶变换与连续频谱
从周期矩形脉冲信号周期
与脉宽变化与频谱关系的
研究当中可知
当信号脉宽不变
而周期趋向于无穷大的时候
那么这个时候
原周期信号
可以作为非周期信号来处理
另外呢
就是信号相邻的谱线之间
它的间隔是趋向于无穷小
它的谱线的密度变密集
最终会形成一条连续的谱线
那么最后是信号的
各个频率分量也趋向于无穷小
但是分量之间
仍保持一定的比例关系
从图2.20当中
我们可以看到
信号周期与频谱的关系
就是我们上面谈到的这三条
那么下面我们首先
看一看傅里叶变换与连续频谱
首先看一下
假设x(t)为(-T/2,T/2)区间上的
一个周期的函数
它可以表达为傅里叶级数的形式
那么它的具体的傅里叶级数的形式
x(t)我们可以看到2.49式
那么同时我们可以看到Cn
这个表达式
也就是2.50式
我们将2.50式代入到2.49式
我们就可以得到
2.51式x(t)的具体表达式
当T趋于无穷的时候
首先我们可以看到
在区间(-T/2,T/2)
这个区间内
就变成了(-∞，∞)这样一个区间
另外呢
频率间隔△w=w0=2π/T变为无穷小量
离散频率nw0变成连续频率w
那么我们可以
还是参考一下
图2.20的这样一个图示
那么在图2.20当中
信号周期与频谱的关系当中
我们可以看到
信号的脉冲宽度相同
而周期不同时
频谱的带宽相同
那么谱线间隔就很小
幅值也很小
那么从上面的2.51式当中
我们可以得到2.52式
也就是x(t)
那么在2.52式当中
我们把括号当中的积分
我们把它记为
X(w)=x(t)e(-jwt)
在负无穷到正无穷之间内求积分
其中X(w) 是变量函数
那么这个时候我们可以把
2.52式写为
x(t)=(1/2π)X(w)e(jwt)
在负无穷和正无穷的区间内
求它的积分
那么将X(w)称为
x(t)的傅里叶变换
它们俩记为傅里叶变换的变换对
接下来我们看一看
非周期函数x(t)
它要是有傅里叶变换的充分条件
首先是x(t)在区间
(-∞,∞)上应该是绝对可积的
也就是|x(t)|在
负无穷到正无穷这个区间内的积分
要小于无穷
上述的条件并非是必要条件
因为当我们引入了
广义函数的概念之后呢
许多原本不满足绝对可积条件的函数
也能进行傅里叶变换
那么这个时候我们把
上述变换公式中的角频率w
用频率f来替代的话
那么我们知道w=2πf
我们把式2.53和2.54
就分别变为2.56式和2.57式
那么2.56式X(f)就可以写成
x(t)e(-j2πft)
在负无穷到正无穷这个区间内求积分
那么x(t)等于X(f)e(j2πft)
在负无穷到正无穷
对df求它的积分
那么小结一下
从上面的2.57式我们可以知道
一个非周期的函数
可以分解成频率f连续变化的
谐波的叠加
其中X(f)df是谐波ej2πf的系数
它决定了信号的振幅和相位
X(f)或X(w)
为x(t)的连续的频谱
那么一般来说
X(f)为实变量f的复函数
我们可以把它写为2.59式X(f)
那么我们把上面的式子
|X(f)|或者|X(w)|
称为非周期信号x(t)的幅值谱
φ(f)或者φ(w)
我们称为x(t)的相位谱
对于非周期函数
与周期函数的幅值谱
尽管它们的名称相同
但前面的是连续的谱
后面的是离散的谱
那么从量纲上来讲
由2.25式我们可以得知
周期函数的频谱|Cn|
与信号幅值量纲是一致的
而由式2.57我们可以得到
非周期函数的幅值谱|X(f)|
与信号的幅值是不同的
那么x(t)与X(f)df的量纲
是相同的
|X(f)|是单位频宽上的幅值
严格的讲
X(f)我们把它称之为
频谱密度函数
好同学们
这一课的内容我们就讲到这里
我们下节课再见
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-测量的本质与基本前提 (The precondition and foundation of measurement)
-标准及其单位 (Standards and Units)
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-本章小结 (Chapter summary)
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-非周期信号的频域描述 (Fourier transform)
--非周期信号的频域描述 (Fourier transform)
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-Homework1
-傅里叶变换的性质 (The property of Fourier transform)
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-功率信号的傅里叶变换 (Fourier transform of power signal)
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-随机过程主要特征参数 (Characteristic parameters of stochastic process)
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-数字信号处理概述 (Outline of digital signal processing)
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-离散傅里叶变换 (Discrete Fourier transform)
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-离散傅里叶变换的性质 (The property of discrete Fourier transform)
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